Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ Dạng bài tập Ứng dụng thực tế của bài toán Min, Max Toán lớp 12, tài liệu bao gồm 5 trang, tuyển chọn Dạng bài tập Ứng dụng thực tế của bài toán Min, Max đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và bài tập có đáp án (có lời giải), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Tài liệu Dạng bài tập Ứng dụng thực tế của bài toán Min, Max gồm các nội dung chính sau:

A. Phương phương giải

- Tóm tắt lý thuyết ngắn gọn và phương pháp giải Ứng dụng thực tế của bài toán Min, Max.

B. Bài tập

- Gồm 22 bài tập tự luyện có đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các Dạng bài tập Ứng dụng thực tế của bài toán Min, Max.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Bài giảng Toán học 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

BÀI TOÁN MIN – MAX LOGARIT

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Công thức lôgarit

Giả sử $a>0,a\ne 1$ và các số A, B, N,… > 0 ta có các công thức sau đây:

$\boxed{{\log }_a\left(AB\right)={\log }_{a}A+{\log }_{b}B}$· .

Mở rộng ${\log }_a\left(A_1{A}_2\mathrm{...}{A}_N\right)={\log }_a{A}_1+{\log }_a{A}_2+\mathrm{...}+{\log }_a{A}_N$.

·$\boxed{{\log }_a\frac{A}{B}={\log }_{a}A-{\log }_{a}B}$ . Hệ quả  ${\log }_a\frac{1}{N}=-\log N$.

$\boxed{{\log }_a{N}^{\alpha }=\alpha .{\log }_a\left|N\right|}$·

$\boxed{{\log }_a\sqrt[n]{N}=\frac{1}{n}.{\log }_{a}N}$·

Công thức đổi cơ số: Giả sử a, b dương và khác 1; $c,x>0$ ta có

· ${\log }_{a}b.{\log }_{b}c={\log }_{a}c$ và ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a};{\log }_{\frac{1}{a}}x=-{\log }_{a}x$.

· ${\log }_{a^{\alpha }}x=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}x$ và ${\log }_{\sqrt[n]{a}}x=n.{\log }_{a}x$.

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D( f(x) xác định và liên tục trên D)

Phương pháp giải

- Bước 1: Tính $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)$, tìm tất cả các nghiệm $x_i$ của phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ và các điểm làm cho  không xác định.

- Bước 2:

· Trường hợp 1: $D\in \left[a;b\right]$. Tính các giá trị $f\left(a\right),f\left(b\right),f\left(x_i\right),f\left({\alpha }_i\right)$.

Với  $x_i,{\alpha }_i\in \left[a;b\right]\stackrel{}{\to }\left\{\begin{array}{l}\underset{D}{\min }f\left(x\right)=\min \left\{f\left(a\right),f\left(b\right),f\left(x_i\right),f\left({\alpha }_i\right)\right\}\\ \underset{D}{\max }f\left(x\right)=\max \left\{f\left(a\right),f\left(b\right),f\left(x_i\right),f\left({\alpha }_i\right)\right\}\end{array}\right.$.

· Trường hợp 2: $D\notin \left[a;b\right]\stackrel{}{\to }$Lập bảng biến thiên suy ra min, max.

Chú ý: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đơn điệu trên đoạn .

Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến với $\forall x\in \left[a;b\right]\Rightarrow \boxed{\underset{\left[a;b\right]}{\min }y=f\left(a\right);\underset{\left[a;b\right]}{\max }y=f\left(b\right)}$.

Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến với  $\forall x\in \left[a;b\right]\Rightarrow \boxed{\underset{\left[a;b\right]}{\min }y=f\left(b\right);\underset{\left[a;b\right]}{\max }y=f\left(a\right)}$.

3. Các bất đẳng thức quen thuộc

a) Bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực dương: $a+b\ge 2\sqrt{ab}$.

Mở rộng bất đẳng thức AM – GM cho ba số thực dương: $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$.

b) Bất đẳng thức Bunhiacopxki: ${\left(ab+cd\right)}^2\le \left(a^2+c^2\right)\left(b^2+d^2\right)$.

c) Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge \frac{{\left(x+y\right)}^2}{a+b}$.

B. BÀI TẬP

Lời giải:

Ta có: $P={\log }_a^{2}b+16{\log }_{b}a={\left({\log }_{a}b\right)}^2+\frac{16}{{\log }_{a}b}$

Đặt $t={\log }_{a}b$ vì $a,b>1\Rightarrow {\log }_{a}b=t>0$

Khi đó  $P=t^2+\frac{16}{t}=t^2+\frac{8}{t}+\frac{8}{t}\ge \sqrt[3]{t^2.\frac{8}{t}.\frac{8}{t}}=12$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  $t^2=\frac{8}{t}\iff t=2\iff {\log }_{a}b=2$.

Lại có $m={\log }_a\left(\sqrt[3]{ab}\right)={\log }_a{\left(ab\right)}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}{\log }_{a}ab=\frac{1}{3}\left(1+{\log }_{a}b\right)=1$. Chọn B.

Lời giải:

Ta có $\ln x+\ln y\ge \ln \left(x^2+y\right)\iff \ln \left(xy\right)\ge \ln \left(x^2+y\right)\iff xy\ge x^2+y\iff y\left(x-1\right)\ge x^2$.

Mà $x,y>0$ suy ra $y\left(x-1\right)\ge x^2>0\iff x-1>0\iff x>1$. Khi đó  $y\left(x-1\right)\ge x^2\iff y\ge \frac{x^2}{x-1}$.

Do đó, biểu thức $P=x+y=x+\frac{x^2}{x-1}\stackrel{}{\to }f\left(x\right)=\frac{2x^2-x}{x-1}$.

Xét hàm số $f\left(x\right)$ trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$, có  $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{2x^2-4x+1}{{\left(x-1\right)}^2},\forall x\ne 1$.

Phương trình  $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left\{\begin{array}{l}x>1\\ x^2-4x+1=0\end{array}\right.\iff x=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$.

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra $\min f\left(x\right)=f\left(\frac{2+2\sqrt{2}}{2}\right)=3+2\sqrt{2}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là $P_{\min }=3+2\sqrt{2}$. Chọn B.

Nhận xét. Vì hàm số $y=\ln x$ đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ nên 

$f\left(x\right)>g\left(x\right)\iff \ln f\left(x\right)>\ln g\left(x\right)$ .

Ví dụ 3: Người ta tiêm một loại thuốc vào mạch máu ở cánh tay phải của một bệnh nhân. Sau thời gian là t giờ, nồng độ thuốc hấp thu trong máu của bệnh nhân đó được xác định theo công thức  $C(t)=\frac{0,28t}{t^2+4}(0<t<24)$. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì nồng độ thuốc hấp thu trong máu của bệnh nhân đó là cao nhất?

A. 24 giờ. B. 4 giờ. C. 2 giờ. D. 1 giờ.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị của $t\in (0;24)$ để $C(t)=\frac{0,28t}{t^2+4}$ đạt giá trị lớn nhất

Xét hàm số $C(t)=\frac{0,28t}{t^2+4}$trên $(0;24)$, có $C^{\prime }(t)=\frac{0,28(t^2+4)-0,28t.2t}{{(t^2+4)}^2}=\frac{-0,28t^2+1,12}{{(t^2+4)}^2}$

Phương trình null Tính $C(2)=0,07$

Suy ra $\underset{(0;24)}{max}C(t)=C(2)=0,07.$ Vậy sau 2 giờ thì nồng độ hấp thu là cao nhất.

Ví dụ 4: Người ta giới thiệu một loại thuốc kích thích sự sinh sản của một loại vi khuẩn. Sau ít phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức $N(t)=1000+30t^2-t^3(0\le t\le 30)$. Hỏi sau bao nhiêu phút thì số vi khuẩn lớn nhất?

A. 10 phút. B. 20 phút. C. 30 phút. D. 15 phút.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị của $t\in [0;30]$ để $N(t)=1000+30t^2-t^3$ đạt giá trị lớn nhất

Xét hàm số $N(t)=1000+30t^2-t^3$ trên [0;3], có $N^{\prime }(t)=60t-3t^2$

Phương trình null. Tính null

Suy ra $\underset{[0;30]}{max}N(t)=N(20)=5000.$ Vậy sau 20 phút thì số vi khuẩn là lớn nhất.

Ví dụ 5: Ông A muốn mua một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích bằng 100m² để làm khu vườn. Hỏi người đó phải mua mảnh đất có kích thước như thế nào để chi phí xây dựng bờ rào là ít tốn kém nhất?

A. 10m x 10m. B. 4m x 25m. C. 5m x 20m. D. 25m x 8m.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Yêu cầu bài toán: Cho diện tích và tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi hình chữ nhật

Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều dài của hình chữ nhật

Diện tích hình chữ nhật là $S=xy=100\iff y=\frac{100}{x}$

Chu vi hình chữ nhật (bờ rào mảnh đất) là $C=2x+2y=2x+\frac{200}{x}$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có $2x+\frac{200}{x}\ge 2\sqrt{2.\frac{200}{x}}=40\Rightarrow C_{min}=40$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2x=\frac{200}{x}\iff x^2=100\iff x=10\Rightarrow y=10$