+) Tìm tập xác định của hàm số.

+) Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm $x_i(i=1,2,3,\dots ,n)$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

+) Sắp xếp các điểm $x_i$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

+) Dựa vào bảng biến thiên, khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số trên tập xác định của nó để suy ra GTNN

Phương pháp giải:

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên đoạn $\left[a;b\right]$ ta làm như sau :

+) Tìm các điểm $x_1;x_2;x_3;...;x_n$ thuộc đoạn $\left[a;b\right]$ mà tại đó hàm số có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=0$ hoặc không có đạo hàm.

+) Tính $f\left(x_1\right);f\left(x_2\right);f\left(x_3\right);...;f\left(x_n\right)$ và $f\left(a\right);f\left(b\right).$

+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên $\left[a;b\right]$ và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên $\left[a;b\right]$.

$\begin{array}{rl}& \underset{x\in \left[a;b\right]}{max}f\left(x\right)\\ & =max\left\{f\left(x_1\right);f\left(x_2\right);...;f\left(x_m\right);f\left(a\right);f\left(b\right)\right\}.\\ & \underset{x\in \left[a;b\right]}{min}f\left(x\right)\\ & =min\left\{f\left(x_1\right);f\left(x_2\right);...;f\left(x_m\right);f\left(a\right);f\left(b\right)\right\}.\end{array}$

Lời giải:

a)

${\displaystyle y=x^3-3x^2-9x+35}$

+) Xét ${\displaystyle D=\left[-4;4\right]}$ có :

${\displaystyle y^{\prime }=3x^2-6x-9}$ $\Rightarrow y^{\prime }=0\iff 3x^2-6x-9=0$ $\iff [\begin{array}{rl}& x=3\in D\\ & x=-1\in D\end{array}.$

Ta có : ${\displaystyle y\left(-4\right)=-41;y\left(-1\right)=40;}$ $y\left(3\right)=8;y\left(4\right)=15.$

Vậy ${\displaystyle \underset{x\in \left[-4;4\right]}{max}y=40khix=-1}$ và ${\displaystyle \underset{x\in \left[-4;4\right]}{min}y=-41khix=-4.}$

+) Xét ${\displaystyle D=\left[0;5\right]}$ có:

${\displaystyle y^{\prime }=3x^2-6x-9}$ $\Rightarrow y^{\prime }=0\iff 3x^2-6x-9=0$ $\iff [\begin{array}{rl}& x=3\in D\\ & x=-1\notin D\end{array}.$

Ta có : ${\displaystyle y\left(0\right)=35;y\left(3\right)=8;}$ $y\left(5\right)=40.$

Vậy ${\displaystyle \underset{x\in \left[0;5\right]}{max}y=40khix=5}$ và ${\displaystyle \underset{x\in \left[0;5\right]}{min}y=8khix=3.}$

b)

${\displaystyle y=x^4-3x^2+2}$

Ta có:${\displaystyle y^{\prime }=4x^3-6x}$ $\Rightarrow y^{\prime }=0\iff 4x^3-6x=0$ $\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\\ & x=-\sqrt{\frac{3}{2}}=-\frac{\sqrt{6}}{2}\end{array}$

+) Xét ${\displaystyle D=\left[0;3\right]}$ có: ${\displaystyle x=-\frac{\sqrt{6}}{2}\notin D.}$

Có: ${\displaystyle y\left(0\right)=2;y\left(3\right)=56;}$ $y\left({\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}.$

Vậy ${\displaystyle \underset{x\in \left[0;3\right]}{min}y=-\frac{1}{4}khix=\frac{\sqrt{6}}{2}}$  và ${\displaystyle \underset{x\in \left[0;3\right]}{max}y=56khix=3.}$

+) Xét ${\displaystyle D=\left[2;5\right]}$ ta thấy ${\displaystyle x=0;x=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}\notin D.}$

Có ${\displaystyle y\left(2\right)=6;y\left(5\right)=552.}$

Vậy ${\displaystyle \underset{x\in \left[2;5\right]}{min}y=6khix=2}$  và ${\displaystyle \underset{x\in \left[2;5\right]}{max}y=552khix=5.}$

c)

${\displaystyle y=\frac{2-x}{1-x}=\frac{x-2}{x-1}}$. Tập xác định: ${\displaystyle R\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}.}$  

Ta có: ${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1.\left(-1\right)-1.\left(-2\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}>0\mathrm{\forall }x\ne 1.}$

+) Với ${\displaystyle D=\left[2;4\right]}$ có: ${\displaystyle y\left(2\right)=0;y\left(4\right)=\frac{2}{3}.}$

Vậy ${\displaystyle \underset{x\in \left[2;4\right]}{min}y=0khix=2}$  và ${\displaystyle \underset{x\in \left[2;4\right]}{max}y=\frac{2}{3}khix=4.}$

+) Với ${\displaystyle D=\left[-3;-2\right]}$ có: ${\displaystyle y\left(-3\right)=\frac{5}{4};y\left(-2\right)=\frac{4}{3}.}$

Vậy ${\displaystyle \underset{x\in \left[-3;-2\right]}{min}y=\frac{5}{4}khix=-3}$  và ${\displaystyle \underset{x\in \left[-3;-2\right]}{max}y=\frac{4}{3}khix=-2.}$

d)

${\displaystyle y=\sqrt{5-4x}}$ . Tập xác định: ${\displaystyle \left(-\mathrm{\infty };\frac{5}{4}\right].}$

Xét tập ${\displaystyle D=\left[-1;1\right]:}$

Có: ${\displaystyle y^{\prime }=\frac{{\left(5-4x\right)}^{\prime }}{2\sqrt{5-4x}}=\frac{-2}{\sqrt{5-4x}}<0\mathrm{\forall }x\in \left[-1;1\right].}$

Ta có: ${\displaystyle y\left(-1\right)=3;y\left(1\right)=1.}$

Vậy ${\displaystyle \underset{x\in \left[-1;1\right]}{min}y=1khix=1}$  và ${\displaystyle \underset{x\in \left[-1;1\right]}{max}y=3khix=-1.}$

Cho hình chữ nhật có chiều dài là x và chiều rộng là y.

+) Chu vi hình chữ nhật: $P=2\left(x+y\right).$

+) Diện tích hình chữ nhật: $S=xy.$

Lập hàm số diện tích $S\left(x\right)$, xét hàm suy ra GTLN.

+) Cho hình chữ nhật có chiều dài là $x$ và chiều rộng là $y.$

+) Chu vi của hình chữ nhật đó là: $P=2\left(x+y\right).$

+) Diện tích của hình chữ nhật đó là: $S=xy.$

Lập hàm số $P(x)$, xét hàm suy ra GTNN.

Phương pháp giải:

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên đoạn $\left[a;b\right]$ ta làm như sau :

+) Tìm các điểm $x_1;x_2;x_3;...;x_n$ thuộc đoạn $\left[a;b\right]$ mà tại đó hàm số có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=0$ hoặc không có đạo hàm.

+) Tính $f\left(x_1\right);f\left(x_2\right);f\left(x_3\right);...;f\left(x_n\right)$ và $f\left(a\right);f\left(b\right).$

+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên $\left[a;b\right]$ và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên $\left[a;b\right]$.

$\begin{array}{rl}& \underset{x\in \left[a;b\right]}{max}f\left(x\right)\\ & =max\left\{f\left(x_1\right);f\left(x_2\right);...;f\left(x_m\right);f\left(a\right);f\left(b\right)\right\}.\\ & \underset{x\in \left[a;b\right]}{min}f\left(x\right)\\ & =min\left\{f\left(x_1\right);f\left(x_2\right);...;f\left(x_m\right);f\left(a\right);f\left(b\right)\right\}.\end{array}$

Quy ước : Nếu đề bài yêu cầu tìm GTLN và GTNN của hàm số $y=f\left(x\right)$ nhưng không chỉ rõ tìm GTLN và GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN và GTNN trên tập xác định của hàm số $y=f\left(x\right).$

Lời giải:

a)

$y={\displaystyle \frac{4}{1+x^2}}.$

Tập xác định: $D=R.$

Ta có: $y^{\prime }={\displaystyle \frac{-2x.4}{{\left(1+x^2\right)}^2}}={\displaystyle \frac{-8x}{{\left(1+x^2\right)}^2}}$ $\Rightarrow y^{\prime }=0\iff 8x=0\iff x=0.$

$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}y=0$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại $x=0;$ $y_{max}=4$

Cách khác:

Ta thấy: $1+x^2\ge 1,\mathrm{\forall }x$ nên ${\displaystyle \frac{4}{1+x^2}}\le {\displaystyle \frac{4}{1}}=4\Rightarrow y\le 4$.

Vậy $maxy=4$. Dấu "=" xảy ra khi $x=0$.

b)

$y=4x^3-3x^4.$

Tập xác định: $D=R.$

Ta có: $y^{\prime }=12x^2-12x^3$ $\Rightarrow y^{\prime }=0\iff 12x^2-12x^3=0$ $\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=1\end{array}.$

$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\left(4x^3-3x^4\right)=-\mathrm{\infty }$

Ta có bảng biến thiên:

Theo bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại $x=1;$ $y_{max}=1$.

- Tìm TXĐ.

- Tính đạo hàm và tìm nghiệm.

- Lập bảng biến thiên rồi kết luận.