Xét hàm số y=2sin x + cos 2x trên đoạn

y’=2cos x- 2sin 2x = 2cos x(1- 2sin x)

Trên đoạn [0; π]

Giá trị lớn nhất của hàm số này trên [0; π] là y = $\frac{3}{2}$ .

Dựa vào định nghĩa, hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Hàm số đạt cực đại tại x=0 và cực tiểu tại x=1.

Bảng biến thiên

Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.

Hình hộp có đáy là hình vuông cạnh: 12 - 2x

Chiều cao của hình hộp là: x

Thể tích hình hộp là y = x(12 - 2x)²

Bài toán đưa về tìm x ∈ (0; 6) để hàm số y = f(x) = x(12 - 2x)² có giá trị lớn nhất.

y' = 1(12 - 2x)² + x.2.(12 - 2x).(-2)

12x² - 96x + 144;

y' xác định ∀ x ∈ (0; 6)

Bảng biến thiên

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=2

Ta có x ∈ (0; 250) ,P’(x) = -16x+3200.

Khi đó P’(x)=0 ⇔ -16x + 3200 = 0 ⇔ x = 200 (loại).

P(0)= - 8000; P(250) = 292 000

Do đó lợi nhuận tối đa họ thu được là P(250)=292000.

Ta có x ∈ (0; 60000)

Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại x = 50000.

Nên x=50000 là số sản phẩm cần sản xuất mỗi ngày để tối thiểu chi phí.

Xét hàm số y = x⁴ - 8x² + 16 trên đoạn [-1;3]

y(0) = 16, y(2) = 0; y(-1) = 9; y(3) = 25

GTLN của hàm số y = x⁴ - 8x + 16 trên đoạn [-1;3] là 25 khi x = 3.

Xét hàm số

Ta có bảng biến thiên

Hàm số không có GTNN

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 GTNN của hàm số y = x + 2 + $\frac{1}{\left(x-1\right)}$ trên khoảng (1; +∞) là?

Bài 2 Xét tính đồng biến, nghịch biến và tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y = x² trên đoạn [-3; 0];

b) y = $\frac{\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)}$ trên đoạn [3; 5].

Bài 3 Cho hàm số có đồ thị như Hình 10. Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2; 3] và nêu cách tính.

Bài 4 Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) = $\frac{\left(-1\right)}{\left(1+x^2\right)}$. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập xác định.

Bài 5 Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

a) y = x³ - 3x² - 9x + 35 trên các đoạn [-4; 4] và [0; 5] ;

b) y = x⁴ - 3x² + 2 trên các đoạn [0; 3] và [2; 5] ;

c)  trên các đoạn [2 ; 4] và [-3 ; -2] ;

d)  trên đoạn [-1 ; 1].

Bài 6 Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Bài 7 Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48 m², hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

Bài 8 Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) $y=x^3-3x^2-9x+35$ trên các đoạn $[-4;4]$ và $[0;5]$;

b) $y=x^4-3x^2+2$ trên các đoạn $[0;3]$ và $[2;5]$;

c) $y=\frac{2-x}{1-x}$ trên các đoạn $[2;4]$ và $[-3;-2]$;

d) $y=\sqrt{5-4x}$ trên đoạn $[-1;1]$.

Bài 9 Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Bài 10 Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 48m², hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

B. Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

I. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu $f\left(x\right)\le M$ với mọi x thuộc D và tồn tại x₀$\in$D sao cho f(x₀) = M.

Kí hiệu: $M=\underset{D}{max}f\left(x\right)$

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu $f\left(x\right)\ge m$ với mọi x thuộc D và tồn tại x₀$\in$D sao cho f(x₀) = m.

Kí hiệu: $m=\underset{D}{\min }f\left(x\right)$.

- Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số không có giá trị lớn nhất.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 9 tại x = – 3.

II. Cách tính giá trị  lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

1. Định lí.

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

- Nhận xét:

Nếu đạo hàm f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, f(x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn.

Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm x_i (x_i < x_{i+ 1}) mà tại đó f’(x) bằng 0 hoặc không xác định thì hàm số y = f(x) đơn điệu trên mỗi khoảng (x_i;  x_i+1). Rõ ràng, giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn [a; b] là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút a; b và tại các điểm x_i nói trên.

- Quy tắc:

1. Tìm các điểm x₁; x₂; …; x_n trên khoảng (a; b), tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.

2. Tính f(a); f(x₁); f(x₂); ….; f(x_n); f(b).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

$M=\underset{\text{[}a;b\text{]}}{\max }f\left(x\right);$$\hspace{0.17em}m=\underset{\text{[}a;b\text{]}}{\min }f\left(x\right)$

- Chú ý: Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Chẳng hạn hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0; 1).

Tuy nhiên, cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên một khoảng như ví dụ sau:

Ví dụ 2. Tìm giá trị lón nhất, nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{2x-x^2}$ trên khoảng $\left(0;\frac{3}{2}\right)$.

Lời giải:

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên trên ta thấy, trên khoảng $\left(0;\frac{3}{2}\right)$ hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất là điểm cực đại x = 1 và tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất $\underset{\left(0;\frac{3}{2}\right)}{Max}f\left(x\right)=f\left(1\right)=1$.