Công thức vectơ lớp 10: Tổng hợp đầy đủ, dễ nhớ

Trả lời nhanh

Các công thức vectơ lớp 10 quan trọng nhất gồm: quy tắc ba điểm AB→ + BC→ = AC→, quy tắc hình bình hành AB→ + AD→ = AC→, quy tắc trừ OB→ − OA→ = AB→, hệ thức trung điểm và trọng tâm, điều kiện hai vectơ cùng phương a→ = k·b→, toạ độ vectơ và tích vô hướng a→·b→ = |a→|·|b→|·cos(a→, b→) = x₁x₂ + y₁y₂.

Quy ước kí hiệu: trong bài, AB→ là vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B; |AB→| là độ dài vectơ (bằng độ dài đoạn AB); 0→ là vectơ – không.

Khái niệm vectơ cần nắm vững

Khái niệm	Định nghĩa ngắn gọn
Vectơ	Đoạn thẳng có hướng, xác định bởi điểm đầu và điểm cuối.
Giá của vectơ	Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ.
Hai vectơ cùng phương	Có giá song song hoặc trùng nhau.
Hai vectơ bằng nhau	Cùng hướng và cùng độ dài.
Hai vectơ đối nhau	Ngược hướng và cùng độ dài; vectơ đối của AB→ là BA→.
Vectơ – không	Vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối, cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ, độ dài bằng 0.

Lưu ý: hai vectơ cùng phương thì mới xét được cùng hướng hay ngược hướng. “Cùng phương” là điều kiện rộng hơn “cùng hướng”.

Công thức tổng và hiệu hai vectơ

Quy tắc ba điểm (phép cộng): với ba điểm A, B, C bất kì: AB→ + BC→ = AC→.
Quy tắc hình bình hành: nếu ABCD là hình bình hành thì AB→ + AD→ = AC→.
Quy tắc trừ: với ba điểm O, A, B bất kì: OB→ − OA→ = AB→.
Tính chất phép cộng: giao hoán a→ + b→ = b→ + a→; kết hợp (a→ + b→) + c→ = a→ + (b→ + c→); a→ + 0→ = a→; a→ + (−a→) = 0→.

Mẹo nhớ quy tắc ba điểm: “điểm cuối của vectơ trước trùng điểm đầu của vectơ sau” thì “nối điểm đầu đầu tiên với điểm cuối cuối cùng”. Quy tắc này mở rộng cho nhiều điểm: AB→ + BC→ + CD→ = AD→.

Mẹo nhớ quy tắc trừ: hai vectơ cùng điểm đầu O, lấy “cuối trừ đầu”: OB→ − OA→ = AB→ (đi từ A đến B).

Hệ thức trung điểm và trọng tâm

Điều kiện	Hệ thức
I là trung điểm AB	IA→ + IB→ = 0→
I là trung điểm AB, M bất kì	MA→ + MB→ = 2MI→
G là trọng tâm tam giác ABC	GA→ + GB→ + GC→ = 0→
G là trọng tâm tam giác ABC, M bất kì	MA→ + MB→ + MC→ = 3MG→
G là trọng tâm, AM là trung tuyến	AG→ = (2/3)AM→

Tích của một số với một vectơ

Cho số thực k ≠ 0 và vectơ a→ ≠ 0→. Tích k·a→ là một vectơ:

cùng hướng với a→ nếu k > 0, ngược hướng với a→ nếu k < 0;
có độ dài |k·a→| = |k| · |a→|.

Tính chất: k(a→ + b→) = k·a→ + k·b→; (h + k)a→ = h·a→ + k·a→; h(k·a→) = (hk)·a→; 1·a→ = a→; (−1)·a→ = −a→.

Điều kiện cùng phương: hai vectơ a→ và b→ (b→ ≠ 0→) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho a→ = k·b→.

Ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k ≠ 0 để AB→ = k·AC→.

Phân tích vectơ: nếu a→, b→ không cùng phương thì mọi vectơ x→ đều phân tích được duy nhất dưới dạng x→ = m·a→ + n·b→.

Công thức toạ độ vectơ trong mặt phẳng Oxy

Cho a→ = (x₁; y₁), b→ = (x₂; y₂), A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C).

Nội dung	Công thức
Toạ độ vectơ AB→	AB→ = (x_B − x_A; y_B − y_A)
Độ dài vectơ	\|a→\| = √(x₁² + y₁²)
Khoảng cách AB	AB = √[(x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²]
Tổng, hiệu	a→ ± b→ = (x₁ ± x₂; y₁ ± y₂)
Tích với số	k·a→ = (kx₁; ky₁)
Hai vectơ bằng nhau	a→ = b→ ⇔ x₁ = x₂ và y₁ = y₂
Cùng phương (b→ ≠ 0→)	x₁y₂ − x₂y₁ = 0
Trung điểm I của AB	I((x_A + x_B)/2; (y_A + y_B)/2)
Trọng tâm G của tam giác ABC	G((x_A + x_B + x_C)/3; (y_A + y_B + y_C)/3)

Công thức tích vô hướng của hai vectơ

Định nghĩa: a→·b→ = |a→| · |b→| · cos(a→, b→).
Biểu thức toạ độ: a→·b→ = x₁x₂ + y₁y₂.
Góc giữa hai vectơ (a→, b→ khác 0→): cos(a→, b→) = (x₁x₂ + y₁y₂) / [√(x₁² + y₁²) · √(x₂² + y₂²)].
Vuông góc: a→ ⊥ b→ ⇔ a→·b→ = 0 ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0.
Bình phương vô hướng: a→² = |a→|².
Tính chất: a→·b→ = b→·a→; a→·(b→ + c→) = a→·b→ + a→·c→; (k·a→)·b→ = k(a→·b→).
Hằng đẳng thức: (a→ + b→)² = a→² + 2a→·b→ + b→²; (a→ − b→)² = a→² − 2a→·b→ + b→²; (a→ + b→)(a→ − b→) = a→² − b→².

Dấu của tích vô hướng: a→·b→ > 0 khi góc giữa hai vectơ nhọn; bằng 0 khi vuông; nhỏ hơn 0 khi góc tù. Nhờ vậy, chỉ cần xét dấu là biết ngay loại góc.

Ví dụ vận dụng có lời giải

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức vectơ

Đề: Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh AB→ + CD→ = AD→ + CB→.

Lời giải: Áp dụng quy tắc ba điểm: AB→ = AD→ + DB→. Khi đó vế trái = AD→ + DB→ + CD→ = AD→ + (CD→ + DB→) = AD→ + CB→. Đẳng thức được chứng minh.

Mẹo: với bài chứng minh đẳng thức vectơ, hãy “chèn điểm” bằng quy tắc ba điểm để biến đổi vế phức tạp về vế còn lại.

Ví dụ 2: Toạ độ và tích vô hướng

Đề: Trong mặt phẳng Oxy, cho A(1; 2), B(4; 6), C(5; −1). Tính AB→·AC→ và cho biết góc BAC nhọn, vuông hay tù.

Lời giải:

AB→ = (3; 4), AC→ = (4; −3).
AB→·AC→ = 3·4 + 4·(−3) = 12 − 12 = 0.
Vậy AB→ ⊥ AC→, góc BAC = 90°, tam giác ABC vuông tại A.

Ví dụ 3: Ba điểm thẳng hàng

Đề: Cho A(1; 1), B(3; 5), C(4; 7). Ba điểm A, B, C có thẳng hàng không?

Lời giải: AB→ = (2; 4), AC→ = (3; 6). Xét 2·6 − 3·4 = 0 nên AB→, AC→ cùng phương (cụ thể AC→ = (3/2)AB→). Hai vectơ có chung điểm A nên A, B, C thẳng hàng.

Lỗi sai thường gặp với công thức vectơ

Lấy toạ độ AB→ bằng “đầu trừ cuối” (x_A − x_B) thay vì “cuối trừ đầu”.
Viết |a→ + b→| = |a→| + |b→|. Đẳng thức này chỉ đúng khi hai vectơ cùng hướng.
Nhầm tích vô hướng là một vectơ. Tích vô hướng là một số thực.
Cho rằng hai vectơ cùng phương thì bằng nhau, trong khi chúng có thể ngược hướng hoặc khác độ dài.
Quên giả thiết vectơ khác 0→ khi tính góc giữa hai vectơ.

Câu hỏi thường gặp

Quy tắc ba điểm trong vectơ là gì?

Với ba điểm A, B, C bất kì, ta luôn có AB→ + BC→ = AC→ (quy tắc cộng) và OB→ − OA→ = AB→ với mọi điểm O (quy tắc trừ).

Làm sao chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng vectơ?

Chứng minh tồn tại số k ≠ 0 sao cho AB→ = k·AC→. Trong hệ toạ độ, chỉ cần kiểm tra hai vectơ AB→, AC→ có toạ độ tỉ lệ (x1y2 − x2y1 = 0).

Tích vô hướng của hai vectơ bằng 0 khi nào?

Khi một trong hai vectơ là vectơ - không, hoặc khi hai vectơ vuông góc với nhau.

Hệ thức trọng tâm tam giác viết như thế nào?

G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi GA→ + GB→ + GC→ = 0→; với điểm M bất kì, MA→ + MB→ + MC→ = 3MG→.