Trả lời nhanh
Với bài toán tập hợp chứa tham số m, em biểu diễn các tập (khoảng, đoạn, nửa khoảng) trên trục số rồi chuyển yêu cầu thành bất đẳng thức giữa các đầu mút: A ⊂ B khi A “nằm trong” B; A ∩ B = ∅ khi A nằm hẳn bên trái hoặc bên phải B. Điểm quyết định đúng sai là xét kĩ dấu “=” ở đầu mút và trường hợp tập rỗng.
Kiến thức nền cần nhớ
| Kí hiệu | Tập hợp | Điều kiện khác rỗng |
|---|---|---|
| [a; b] | {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} | a ≤ b |
| (a; b) | {x ∈ ℝ | a < x < b} | a < b |
| [a; b), (a; b] | nửa khoảng | a < b |
| (−∞; a], [a; +∞) | nửa khoảng vô hạn | luôn khác rỗng |
- Giao A ∩ B: phần chung của hai tập. Hợp A ∪ B: gộp cả hai tập.
- Hiệu A \ B: phần thuộc A nhưng không thuộc B. Phần bù trong ℝ: CℝA = ℝ \ A, ví dụ Cℝ[m; +∞) = (−∞; m).
Phương pháp chung: “dịch chuyển trên trục số”
- Viết đầu mút của từng tập theo m, chỉ rõ đầu mút nào đóng (ngoặc vuông), đầu mút nào mở (ngoặc tròn).
- Nếu đề cho tập có hai đầu mút đều chứa m, kiểm tra điều kiện để tập đó tồn tại (khác rỗng).
- Vẽ tập không chứa m cố định trên trục số, rồi tưởng tượng tập chứa m “trượt” trái – phải để tìm vị trí thỏa mãn.
- Viết hệ bất phương trình theo đầu mút, xét riêng trường hợp dấu “=” bằng cách thử trực tiếp.
| Yêu cầu | Điều kiện (A = [a; b], B = [c; d] khác rỗng) |
|---|---|
| A ⊂ B | c ≤ a và b ≤ d |
| A ∩ B = ∅ | b < c hoặc d < a |
| A ∩ B ≠ ∅ | a ≤ d và c ≤ b (phủ định của dòng trên) |
Khi đầu mút là ngoặc tròn, dấu “≤” có thể phải đổi thành “<” và ngược lại. Đừng học thuộc máy móc, hãy thử giá trị biên.
Dạng 1. Tìm m để A là tập con của B
Câu 1. Cho A = [m; m + 2] và B = [−1; 2]. Tìm m để A ⊂ B.
A. m ≤ −1 hoặc m ≥ 0 B. −1 ≤ m ≤ 0 C. 1 ≤ m ≤ 2 D. m < 1 hoặc m > 2
Lời giải. A luôn là một đoạn dài 2 đơn vị. Để A nằm trong B cần −1 ≤ m và m + 2 ≤ 2, tức −1 ≤ m ≤ 0. Chọn B. Phương án A là điều kiện ngược (gần với A ⊄ B); C và D sai do nhầm đầu mút của B.
Câu 2. Cho A = [−2; 3] và B = (m; m + 6). Điều kiện để A ⊂ B là:
A. −3 ≤ m ≤ −2 B. −3 < m < −2 C. m < −3 D. m ≥ −2
Lời giải. B là khoảng mở nên các đầu mút −2 và 3 của A phải nằm hẳn bên trong: m < −2 và m + 6 > 3 ⇔ −3 < m < −2. Chọn B. Phương án A sai vì khi m = −2 thì B = (−2; 4) không chứa −2; khi m = −3 thì B = (−3; 3) không chứa 3.
Bài 3 (bẫy tập rỗng). Cho A = [2m − 1; m + 3] và B = (−4; 4). Tìm m để A ⊂ B.
Lời giải.
- Trường hợp A = ∅: 2m − 1 > m + 3 ⇔ m > 4. Tập rỗng là tập con của mọi tập nên thỏa mãn.
- Trường hợp A ≠ ∅ (m ≤ 4): cần −4 < 2m − 1 và m + 3 < 4 ⇔ m > −3/2 và m < 1.
Kết luận: −3/2 < m < 1 hoặc m > 4. Rất nhiều bạn quên trường hợp A rỗng nên chỉ ghi −3/2 < m < 1.
Bài 4. Cho A = [m; m + 1] và B = (2m − 1; 2m + 3]. Tìm m để A ⊂ B.
Lời giải. Cả hai tập luôn khác rỗng. Cần 2m − 1 < m (đầu trái của B mở) và m + 1 ≤ 2m + 3 (đầu phải của B đóng), tức m < 1 và m ≥ −2. Đáp số: −2 ≤ m < 1.
Dạng 2. Tìm m để giao rỗng hoặc khác rỗng
Câu 5. Cho X = (0; 3] và Y = (a; 4) với a ≤ 4. Tìm a để X ∩ Y ≠ ∅.
A. a < 3 hoặc a ≥ 4 B. a < 3 C. a < 0 D. a > 3
Lời giải. Cách nhanh là tìm điều kiện để giao rỗng rồi lấy phần còn lại. X ∩ Y = ∅ khi đầu trái a của Y không nhỏ hơn 3, tức 3 ≤ a ≤ 4 (a = 4 thì Y rỗng). Vậy X ∩ Y ≠ ∅ ⇔ a < 3. Chọn B. Phương án C chỉ là một phần nghiệm; phương án A sai vì a = 4 làm Y rỗng.
Bài 6. Cho A = (m − 1; 4] và B = (−2; 2m + 2), trong đó A, B khác rỗng. Tìm m để A ∩ B ≠ ∅.
Lời giải. A ≠ ∅ ⇔ m − 1 < 4 ⇔ m < 5; B ≠ ∅ ⇔ 2m + 2 > −2 ⇔ m > −2. Giao khác rỗng khi đầu trái của mỗi tập nhỏ hơn đầu phải của tập kia: m − 1 < 2m + 2 (luôn đúng với m > −3) và −2 < 4 (luôn đúng). Kết hợp: −2 < m < 5.
Bài 7. Cho A = [1; 5] và B = (m; m + 3). Tìm m để A \ B = A.
Lời giải. A \ B = A nghĩa là B không lấy đi phần tử nào của A, tức A ∩ B = ∅. Điều này xảy ra khi B nằm bên trái A: m + 3 ≤ 1 ⇔ m ≤ −2 (B mở tại m + 3 nên được lấy dấu “=”), hoặc B nằm bên phải A: m ≥ 5. Đáp số: m ≤ −2 hoặc m ≥ 5.
Bài 8. Cho A = [m; m + 1] và B = [0; 3]. Tìm m để A ∩ B có đúng một phần tử.
Lời giải. Hai đoạn chỉ chạm nhau tại một điểm khi đầu phải của A trùng đầu trái của B (m + 1 = 0 ⇔ m = −1, giao là {0}) hoặc đầu trái của A trùng đầu phải của B (m = 3, giao là {3}). Đáp số: m = −1 hoặc m = 3.
Dạng 3. Hợp bằng ℝ, phần bù và độ dài phần giao
Bài 9. Cho A = (−∞; m + 1] và B = [2m − 3; +∞). Tìm m để A ∪ B = ℝ.
Lời giải. Hai tia phủ kín trục số khi chúng chồng lên nhau hoặc chạm nhau: 2m − 3 ≤ m + 1 ⇔ m ≤ 4. Vì cả hai đầu mút đều đóng nên được lấy dấu “=”.
Bài 10. Cho A = (−∞; m) và B = (3; +∞). Tìm m để A ∪ B = ℝ.
Lời giải. Cần m > 3. Nếu m = 3 thì số 3 không thuộc A cũng không thuộc B, hợp bị “thủng” một điểm. So sánh với Bài 9 để thấy ngoặc tròn làm mất dấu “=”.
Bài 11. Cho A = [m; +∞) và B = (−1; 5]. Tìm m để CℝA ∩ B = ∅.
Lời giải. CℝA = (−∞; m). Giao với (−1; 5] rỗng khi m ≤ −1. Với m = −1: (−∞; −1) ∩ (−1; 5] = ∅ nên nhận dấu “=”. Đáp số: m ≤ −1.
Bài 12. Cho A = [m; m + 4] và B = [2; 6]. Tìm m để A ∩ B là một đoạn có độ dài bằng 3.
Lời giải. Độ dài phần giao = min(m + 4; 6) − max(m; 2).
- Nếu m ≤ 2: giao là [2; m + 4], độ dài m + 2 = 3 ⇔ m = 1 (thỏa mãn).
- Nếu m > 2: giao là [m; 6], độ dài 6 − m = 3 ⇔ m = 3 (thỏa mãn).
Đáp số: m = 1 hoặc m = 3.
Lỗi sai thường gặp và mẹo kiểm tra
- Bỏ quên tập rỗng: khi cả hai đầu mút chứa m, luôn xét trường hợp tập rỗng (như Bài 3).
- Nhầm “<” và “≤”: mẹo là thay đúng giá trị biên vào rồi viết lại hai tập để kiểm tra, mất 10 giây nhưng tránh mất điểm.
- Lấy giao/hợp sai khi kết hợp điều kiện: các điều kiện “và” lấy giao trên trục số, điều kiện “hoặc” lấy hợp.
- Dùng phủ định: với A ∩ B ≠ ∅, thường nhanh hơn nếu tìm điều kiện A ∩ B = ∅ rồi lấy phần bù trong miền xác định của m.
Bài tự luyện có đáp số
- Cho A = (m; m + 5) và B = [1; 4]. Tìm m để B ⊂ A. Đáp số: −1 < m < 1.
- Cho A = [m − 2; m] và B = [3; 7]. Tìm m để A ∩ B = ∅. Đáp số: m < 3 hoặc m > 9.
- Cho A = (−∞; 2m] và B = (m + 1; +∞). Tìm m để A ∪ B = ℝ. Đáp số: m ≥ 1 (khi m = 1 thì A = (−∞; 2], B = (2; +∞) vẫn phủ kín ℝ).
Muốn ôn lại các phép toán cơ bản trước khi làm dạng có tham số, xem bài tập tìm giao của các tập hợp, bài tập tìm hợp của các tập hợp và bài tập hiệu và phần bù của hai tập hợp. Sau đó, tự kiểm tra với trắc nghiệm Tập hợp có đáp án.
Câu hỏi thường gặp
Điều kiện để đoạn [a; b] là tập con của đoạn [c; d] là gì?
Với hai đoạn khác rỗng, [a; b] ⊂ [c; d] khi và chỉ khi c ≤ a và b ≤ d. Nếu tập lớn là khoảng mở thì phải dùng dấu bất đẳng thức nghiêm ngặt.
Vì sao phải xét trường hợp tập rỗng trong bài toán chứa tham số m?
Vì tập rỗng là tập con của mọi tập hợp. Khi cả hai đầu mút của A phụ thuộc m, có những giá trị m làm A rỗng và khi đó A ⊂ B luôn đúng; bỏ qua trường hợp này sẽ thiếu nghiệm.
Làm sao biết có lấy dấu bằng ở đầu mút hay không?
Thay chính giá trị biên của m vào, viết lại hai tập và kiểm tra yêu cầu đề bài. Đầu mút đóng (ngoặc vuông) thường cho phép dấu bằng, đầu mút mở (ngoặc tròn) thường không.
Tìm m để A ∩ B ≠ ∅ nên làm thế nào cho nhanh?
Tìm điều kiện để A ∩ B = ∅ (A nằm hẳn bên trái hoặc bên phải B), rồi lấy phần còn lại trong tập giá trị của m làm A, B có nghĩa.