Cách tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác lớp 10
Lớp 10Toán

Cách tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác lớp 10

Trả lời nhanh

Với A(xA; yA), B(xB; yB), trung điểm M của AB có xM = (xA + xB)/2 và yM = (yA + yB)/2. Trọng tâm G của tam giác ABC có xG = (xA + xB + xC)/3 và yG = (yA + yB + yC)/3. Nói gọn: trung điểm là trung bình cộng của 2 điểm, trọng tâm là trung bình cộng của 3 đỉnh.

1. Công thức cần nhớ

Đối tượng Công thức
M là trung điểm đoạn AB xM = (xA + xB)/2; yM = (yA + yB)/2
G là trọng tâm tam giác ABC xG = (xA + xB + xC)/3; yG = (yA + yB + yC)/3
Hai vectơ bằng nhau u = (x; y), v = (x’; y’) thì u = v ⟺ x = x’ và y = y’

Thầy lưu ý: mẫu số bằng số điểm đem cộng. Cộng 2 điểm thì chia 2, cộng 3 điểm thì chia 3. Nhớ như vậy sẽ không nhầm.

2. Vì sao có công thức này?

Nếu M là trung điểm AB thì với mọi điểm O ta có OM = (OA + OB)/2 (các chữ in đậm là vectơ). Chọn O là gốc tọa độ, tọa độ của vectơ OM chính là tọa độ điểm M. Cộng tọa độ hai vectơ rồi nhân với 1/2, ta được ngay công thức trung điểm.

Tương tự, G là trọng tâm tam giác ABC khi GA + GB + GC = 0, hay OG = (OA + OB + OC)/3. Từ đó có công thức trọng tâm. Hiểu nguồn gốc này, các em sẽ tự dựng lại công thức khi quên.

3. Hình minh hoạ: trọng tâm và trung tuyến

Hình dưới lấy tam giác A(2; 6), B(−1; 0), C(5; 0). Trung điểm BC là M(2; 0), trọng tâm là G(2; 2). Ta thấy G nằm trên trung tuyến AM và AG = 2·GM (AG = 4, GM = 2).

Tam giác ABC với ba trung tuyến cắt nhau tại trọng tâm G(2; 2), M(2; 0) là trung điểm BC
Trọng tâm G nằm trên trung tuyến AM và chia AM theo tỉ lệ AG = 2·GM.

4. Phương pháp giải theo dạng

  • Dạng 1 – Tìm trung điểm, trọng tâm: thay số vào công thức.
  • Dạng 2 – Biết trung điểm và một đầu mút, tìm đầu mút còn lại: từ xM = (xA + xB)/2 suy ra xB = 2xM − xA, yB = 2yM − yA.
  • Dạng 3 – Biết trọng tâm và hai đỉnh, tìm đỉnh thứ ba: xC = 3xG − xA − xB, yC = 3yG − yA − yB.
  • Dạng 4 – Hình bình hành: ABCD là hình bình hành khi hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm, nên xA + xC = xB + xD và yA + yC = yB + yD.
  • Dạng 5 – Điểm nằm trên trục: điểm thuộc Ox có tung độ 0, điểm thuộc Oy có hoành độ 0. Đặt ẩn rồi giải.
  • Dạng 6 – Biết ba trung điểm ba cạnh, tìm ba đỉnh: dùng tính chất hình bình hành (xem ví dụ 6).

5. Ví dụ minh hoạ có lời giải

Ví dụ 1. Cho A(−3; 2), B(5; −6). Tìm tọa độ trung điểm M của AB.

Giải. xM = (−3 + 5)/2 = 1; yM = (2 − 6)/2 = −2. Vậy M(1; −2).

Ví dụ 2. Biết M(1; −2) là trung điểm của AB và A(4; 3). Tìm B.

Giải. xB = 2·1 − 4 = −2; yB = 2·(−2) − 3 = −7. Vậy B(−2; −7). Kiểm tra: (4 − 2)/2 = 1 và (3 − 7)/2 = −2, đúng.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có A(2; 6), B(−1; 0), C(5; 0). Tìm trọng tâm G.

Giải. xG = (2 − 1 + 5)/3 = 2; yG = (6 + 0 + 0)/3 = 2. Vậy G(2; 2). Kết quả khớp với hình ở mục 3.

Ví dụ 4. Tam giác ABC có A(0; 2), B(4; −3) và trọng tâm G(1; −1). Tìm C.

Giải. xC = 3·1 − 0 − 4 = −1; yC = 3·(−1) − 2 − (−3) = −2. Vậy C(−1; −2). Kiểm tra: (0 + 4 − 1)/3 = 1 và (2 − 3 − 2)/3 = −1.

Ví dụ 5. Cho A(1; 2), B(4; 3), C(6; 7). Tìm D để ABCD là hình bình hành.

Giải. Tâm hình bình hành là trung điểm chung của AC và BD, nên A + C = B + D (cộng từng tọa độ). Do đó xD = 1 + 6 − 4 = 3; yD = 2 + 7 − 3 = 6. Vậy D(3; 6). Kiểm tra: trung điểm AC là (3,5; 4,5), trung điểm BD cũng là (3,5; 4,5).

Ví dụ 6. Cho M(1; 1), N(3; 2), P(2; 4) lần lượt là trung điểm BC, CA, AB của tam giác ABC. Tìm A, B, C.

Giải. Tứ giác APMN là hình bình hành (PM, MN là các đường trung bình), nên đỉnh A đối diện M có A + M = P + N. Suy ra A = P + N − M = (2 + 3 − 1; 4 + 2 − 1) = (4; 5). Làm tương tự:

  • B = M + P − N = (1 + 2 − 3; 1 + 4 − 2) = (0; 3).
  • C = M + N − P = (1 + 3 − 2; 1 + 2 − 4) = (2; −1).

Kiểm tra: trung điểm BC là (1; 1) = M; trung điểm CA là (3; 2) = N; trung điểm AB là (2; 4) = P. Đúng. Ngoài ra, trọng tâm ABC là (2; 7/3) trùng với trọng tâm tam giác MNP. Đây là tính chất đáng nhớ, có thể dùng để kiểm tra nhanh.

Ví dụ 7. Cho A(2; 3), B(−4; 1). Tìm điểm C thuộc trục Ox sao cho trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Oy.

Giải. Đặt C(c; 0). G nằm trên Oy nên xG = 0: (2 − 4 + c)/3 = 0, suy ra c = 2. Vậy C(2; 0). Khi đó yG = (3 + 1 + 0)/3 = 4/3, tức G(0; 4/3).

6. Lỗi sai thường gặp

  • Chia nhầm mẫu số: tính trọng tâm mà chia cho 2 (hoặc trung điểm mà chia cho 3). Hãy đếm số điểm đã cộng.
  • Chỉ tính một tọa độ: quên tính tung độ, hoặc tính hoành độ rồi chép lại cho tung độ.
  • Sai dấu khi tìm đầu mút: viết xB = xA − 2xM. Công thức đúng là xB = 2xM − xA.
  • Nhầm thứ tự đỉnh hình bình hành: với ABCD thì AC và BD là hai đường chéo, nên A + C = B + D. Hãy vẽ phác hình trước khi tính.
  • Quên điều kiện thuộc trục: điểm trên Ox có y = 0, điểm trên Oy có x = 0.

7. Mẹo kiểm tra đáp án trong 10 giây

  1. Trung điểm luôn nằm giữa hai đầu mút: hoành độ của nó lớn hơn số nhỏ và nhỏ hơn số lớn.
  2. Trọng tâm luôn nằm trong tam giác, nên tọa độ của nó nằm giữa giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của ba đỉnh.
  3. Thay ngược kết quả vào công thức ban đầu, như các phần kiểm tra ở trên.

8. Bài tập tự luyện

  1. Cho A(−1; 4), B(7; −2). Tìm trung điểm AB.
  2. Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(5; 3), C(0; −1). Tìm trọng tâm G.
  3. M(0; 3) là trung điểm AB, biết B(−2; 5). Tìm A.
  4. Cho A(−1; 0), B(2; 3), D(0; −2). Tìm C để ABCD là hình bình hành.
  5. Tam giác ABC có A(1; 4), B(3; −2), trọng tâm G(2; 0). Tìm C.

Đáp án:

  1. M(3; 1).
  2. G(2; 1) vì (1 + 5 + 0)/3 = 2 và (1 + 3 − 1)/3 = 1.
  3. A(2; 1) vì xA = 0 + 2 = 2, yA = 6 − 5 = 1.
  4. C = B + D − A = (3; 1).
  5. C(2; −2) vì xC = 6 − 1 − 3 = 2, yC = 0 − 4 + 2 = −2.

9. Tài liệu vectơ lớp 10 nên xem tiếp

Câu hỏi thường gặp

Công thức tọa độ trung điểm đoạn thẳng là gì?

Nếu M là trung điểm AB thì x_M = (x_A + x_B)/2 và y_M = (y_A + y_B)/2. Mỗi tọa độ của M là trung bình cộng tọa độ tương ứng của hai đầu mút.

Tọa độ trọng tâm tam giác tính thế nào?

Cộng tọa độ tương ứng của ba đỉnh rồi chia cho 3: x_G = (x_A + x_B + x_C)/3, y_G = (y_A + y_B + y_C)/3.

Biết trung điểm và một đầu mút, tìm đầu mút còn lại ra sao?

Dùng x_B = 2x_M − x_A và y_B = 2y_M − y_A. Ví dụ M(1; −2), A(4; 3) thì B(−2; −7).

Làm sao tìm đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD?

Hai đường chéo AC và BD có chung trung điểm, nên A + C = B + D. Suy ra D = A + C − B, tính riêng cho hoành độ và tung độ.

Bài học liên quan