Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Lớp 10Toán

Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng: lý thuyết, bài tập

Trả lời nhanh

Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng Δ là vectơ khác 0 có giá song song hoặc trùng Δ; vectơ pháp tuyến (VTPT) là vectơ khác 0 có giá vuông góc Δ. Nếu VTCP là u = (u1; u2) thì VTPT là n = (−u2; u1), và ngược lại: n = (A; B) thì u = (−B; A). Hai vectơ này luôn vuông góc nhau.

1. Định nghĩa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ. Ta có hai khái niệm “chỉ hướng” của đường thẳng:

  • Vectơ chỉ phương (VTCP): vectơ u = (u1; u2) ≠ 0 và giá của u song song hoặc trùng với Δ. Hiểu đơn giản: u cho biết đường thẳng “đi theo hướng nào”.
  • Vectơ pháp tuyến (VTPT): vectơ n = (n1; n2) ≠ 0 và giá của n vuông góc với Δ. Hiểu đơn giản: n là mũi tên “đâm thẳng ra khỏi” đường thẳng.

Một đường thẳng có vô số VTCP và vô số VTPT. Nếu u là một VTCP thì k·u (k ≠ 0) cũng là VTCP; tương tự với VTPT. Vì vậy khi làm bài, ta thường chọn vectơ có tọa độ nguyên, nhỏ nhất có thể.

Đường thẳng d với vectơ chỉ phương u nằm dọc d và vectơ pháp tuyến n vuông góc với d
VTCP u nằm theo hướng đường thẳng, VTPT n vuông góc với đường thẳng.

2. Mối quan hệ giữa VTCP và VTPT

Hai vectơ này vuông góc nên tích vô hướng bằng 0. Từ đó có quy tắc “đổi chỗ, đổi dấu một tọa độ”:

  • Δ có VTCP u = (u1; u2) thì có VTPT n = (−u2; u1) hoặc n = (u2; −u1).
  • Δ có VTPT n = (A; B) thì có VTCP u = (−B; A) hoặc u = (B; −A).

Kiểm tra nhanh: với u = (u1; u2) và n = (−u2; u1), ta có u·n = −u1u2 + u2u1 = 0. Luôn nên thử lại bằng tích vô hướng sau khi tìm xong.

3. Tìm VTCP, VTPT theo từng dạng phương trình

Dạng đường thẳng VTPT VTCP
Tổng quát: ax + by + c = 0 n = (a; b) u = (−b; a)
Tham số: x = x0 + at, y = y0 + bt n = (b; −a) u = (a; b)
Chính tắc: (x − x0)/a = (y − y0)/b n = (b; −a) u = (a; b)
Hệ số góc: y = kx + m n = (k; −1) u = (1; k)
Đi qua hai điểm A, B n vuông góc AB u = AB (vectơ từ A đến B)
Song song trục Ox n = (0; 1) u = (1; 0)
Song song trục Oy n = (1; 0) u = (0; 1)

Mẹo nhớ: trong phương trình tổng quát, hệ số của x và y chính là VTPT; trong phương trình tham số, hệ số đứng cạnh t chính là VTCP. Hai thứ này hay bị nhầm với nhau nhất.

4. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tìm một VTPT và một VTCP của đường thẳng d: 3x − 4y + 5 = 0.

Giải. Hệ số a = 3, b = −4 nên n = (3; −4). VTCP u = (−b; a) = (4; 3). Thử lại: 3·4 + (−4)·3 = 0 ✓.

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 2), B(4; −2) và chỉ ra VTCP, VTPT.

Giải. AB = (3; −4) là một VTCP. VTPT: n = (4; 3). Phương trình: 4(x − 1) + 3(y − 2) = 0 ⇔ 4x + 3y − 10 = 0. Thử với B: 16 − 6 − 10 = 0 ✓.

Ví dụ 3. Cho d: x = 2 − 3t, y = 1 + 5t. Tìm VTCP, VTPT và viết phương trình tổng quát.

Giải. Hệ số của t là (−3; 5) nên u = (−3; 5). VTPT n = (5; 3). Phương trình: 5(x − 2) + 3(y − 1) = 0 ⇔ 5x + 3y − 13 = 0. Thử với t = 1 ta có điểm (−1; 6): −5 + 18 − 13 = 0 ✓.

Ví dụ 4. Tìm VTCP, VTPT của đường thẳng y = 2x − 3.

Giải. Viết lại 2x − y − 3 = 0 nên n = (2; −1), u = (1; 2). Đúng theo công thức u = (1; k) với k = 2.

Ví dụ 5. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(3; −1) và vuông góc với d’: 2x − y + 1 = 0.

Giải. d’ có VTPT n’ = (2; −1). Vì d ⊥ d’ nên n’ là VTCP của d, suy ra d có VTPT (1; 2). Phương trình: 1(x − 3) + 2(y + 1) = 0 ⇔ x + 2y − 1 = 0. Thử M: 3 − 2 − 1 = 0 ✓.

Ví dụ 6. Tìm m để đường thẳng d: (m − 1)x + 2y − 5 = 0 nhận u = (2; −3) làm VTCP.

Giải. VTPT của d là n = (m − 1; 2). Để u là VTCP thì u·n = 0: 2(m − 1) + (−3)·2 = 0 ⇔ 2m − 8 = 0 ⇔ m = 4. Khi đó n = (3; 2), thử lại 3·2 + 2·(−3) = 0 ✓.

5. Luyện lại các câu trắc nghiệm cơ bản

Câu 1. VTCP của đường thẳng song song với trục Ox? Phương án đúng là vectơ (1; 0), vì đường song song Ox nằm ngang nên vectơ hướng cũng nằm ngang, tung độ bằng 0. Các vectơ (0; −1), (−1; 1), (1; 1) đều có tung độ khác 0 hoặc hoành độ bằng 0 nên chỉ hướng khác.

Câu 2. VTCP của đường thẳng song song với trục Oy? Đúng là (0; 1): đường thẳng thẳng đứng nên hoành độ vectơ bằng 0. Các vectơ (1; −1), (1; 0), (1; 1) có hoành độ khác 0, không thẳng đứng.

Câu 3. Đường thẳng đi qua A(−3; 2), B(1; 4): AB = (4; 2), cùng phương với (2; 1). Vậy (2; 1) là một VTCP. Loại (−1; 2) vì 4·2 − 2·(−1) = 10 ≠ 0 (không cùng phương); loại (−2; 6) và (1; 1) tương tự.

Câu 4. Đường thẳng qua O(0; 0) và M(a; b) (M khác O): OM = (a; b) là một VTCP. Các vectơ (0; a + b), (a; −b), (−a; b) nói chung không cùng phương với (a; b).

6. Lỗi sai thường gặp

  • Nhầm VTPT thành VTCP: lấy (a; b) của ax + by + c = 0 làm VTCP. Hãy nhớ (a; b) là pháp tuyến.
  • Đổi chỗ nhưng quên đổi dấu, dẫn đến vectơ không vuông góc. Luôn thử u·n = 0.
  • Lấy vectơ (0; 0) làm VTCP/VTPT. Vectơ không bị loại ngay từ định nghĩa.
  • Khi cho hai điểm A, B mà tính BA hoặc AB đều được, nhưng không được tính sai dấu tọa độ (lấy tọa độ điểm đầu trừ điểm cuối nhầm). Hai kết quả chỉ khác nhau một hệ số −1 nên vẫn đúng.
  • Với đường y = kx + m, quên chuyển về dạng tổng quát nên suy ra n = (k; 1) thay vì (k; −1).

7. Bài tập tự luyện (có đáp án)

  1. Tìm một VTPT và một VTCP của d: 5x + 2y − 7 = 0.
  2. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(−1; 3), N(2; −1) và chỉ ra VTCP, VTPT.
  3. Tìm m để d: x = 1 + (m + 1)t, y = 2 − t nhận n = (1; 2) làm VTPT.
  4. Đường thẳng d đi qua P(3; 5) và song song trục Oy. Chỉ ra VTCP, VTPT và viết phương trình.

Đáp án.

  1. n = (5; 2); u = (−2; 5). Thử: 5·(−2) + 2·5 = 0.
  2. MN = (3; −4) là VTCP; n = (4; 3); phương trình 4(x + 1) + 3(y − 3) = 0 ⇔ 4x + 3y − 5 = 0 (thử N: 8 − 3 − 5 = 0).
  3. VTCP u = (m + 1; −1). Cần u·n = 0: (m + 1) − 2 = 0 ⇔ m = 1.
  4. u = (0; 1); n = (1; 0); phương trình x = 3 (tức x − 3 = 0).

8. Học tiếp ở đâu

Khi đã thạo VTCP, VTPT, bạn có thể luyện thêm các bài về phương trình đường thẳng qua các tài liệu sau: Phương trình đường thẳng Toán lớp 10, Vị trí tương đối của hai đường thẳng, Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng (phần 1).

Câu hỏi thường gặp

Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến khác nhau thế nào?

VTCP có giá song song hoặc trùng với đường thẳng, còn VTPT có giá vuông góc với đường thẳng. Hai vectơ này luôn vuông góc nhau, tích vô hướng bằng 0.

Làm sao đổi từ VTCP sang VTPT nhanh nhất?

Đổi chỗ hai tọa độ rồi đổi dấu một trong hai: từ u = (u1; u2) suy ra n = (−u2; u1). Thử lại bằng tích vô hướng u·n = 0.

Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương?

Có vô số, tất cả cùng phương với nhau. Nếu u là một VTCP thì k·u với mọi k khác 0 cũng là VTCP; VTPT cũng tương tự.

Với phương trình ax + by + c = 0, VTCP và VTPT là gì?

VTPT là n = (a; b) còn VTCP là u = (−b; a) hoặc u = (b; −a).

Bài học liên quan