Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Dạng Bài toán đếm người và vật môn Toán lớp 11, tài liệu bao gồm 5 trang, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi  môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

DẠNG 3. BÀI TOÁN ĐẾM NGƯỜI VÀ ĐỒ VẬT

Câu 1: Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kể sách dài, nếu các cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau?

Đ/s: 207360 cách

Lời giải:

Hoán vị 2 cuốn sách Toán với nhau có 2! cách

Hoán vị 4 cuốn sách Văn với nhau có 4! cách

Hoán vị 6 cuốn sách Anh với nhau có 6! cách

Hoán vị 3 nhóm sách của 3 môn có 3! cách

Vậy số cách xếp tất cả các cuốn sách đó là 2!.4!.6!.3!= 207360 

 Câu 2: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:

a) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau.

b) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.

Đ/s: a) 1036800 cách              b) 33177600 cách

Lời giải:

a. Xếp chỗ ngồi cho 2 nhóm học sinh có 2 cách xếp

Trong nhóm học sinh trường A, có 6! cách xếp 6 học sinh vào 6 chỗ ngồi

Trong nhóm học sinh trường B, có 6! cách xếp 6 học sinh vào 6 chỗ ngồi

Vậy có 2.6!.6!=1036800 cách xếp

b. Học sinh thứ nhất của trường A có 12 cách chọn ghế

Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thứ nhất trường A có 6 cách

Chọn học sinh thức hai trường A có 10 cách chọn ghế

Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thức hai trường A có 5 cách

Chọn học sinh thức ba trường A có 8 cách chọn ghế

Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thức ba trường A có 4 cách

Chọn học sinh thức tư trường A có 6 cách chọn ghế

Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thức tư trường A có 3 cách

Chọn học sinh thức năm trường A có 4 cách chọn ghế

Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thức năm trường A có 2 cách

Chọn học sinh thức sáu trường A có 2 cách chọn ghế

Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thức sáu trường A có 1 cách Vậy có 12.6.10.5.8.4.6.3.4.2.2.1 = 33177600 cách xếp

Câu 3: Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống. Hỏi:

a) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?

b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?

Đ/s: a) 840 cách                      b) 36 cách

Lời giải:

a. Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau vào 7 ô trống có A₇³ cách

Xếp 3 viên bi xanh giống nhau vào 4 ô còn lại có C₄³ 

Vậy có  840 cách xếp

b. Xem 3 viên bi đỏ là 1 bộ, 3 viên bi xanh là 1 bộ, còn ô trống còn lại là 1 bộ ⇒ có 3! cách xếp các bộ Mà 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau nên hoán bị 3 viên bi đỏ có 3! Vậy có 3!.3!= 36 cách xếp

 Câu 4: Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau? Đ/s: 120960 cách

Lời giải:

Xem 7 nam là 1 bộ, hoán vị 3 nữ và 1 bộ học sinh nam có 4! cách

Hoán vị 7 nam trong bộ đó có 7! cách Vậy có 4!.7!=120960 cách xếp

Câu 5: Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ. (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cách xếp mới). Đ/s: 21600 cách

Câu 6: Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi mọt khác nhau trong đó có 5 cuốn sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn sách Hoạ. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.

a. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng?

b. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Đ/s: a) 60480 cách                  b) 579600 cách

Câu 7: Một lớp có 18 nam và 12 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn làm ban cán sự lớp sao cho:

a) Mọi người đều vui vẻ tham gia.

b) Bạn A và B không thể làm việc chung với nhau.

Lời giải:

a. Chọn 5 bạn làm ban cán sự lớp khi mọi người vui vẻ tham gia sẽ có C₃₀⁵ =142506

b. Khi có 2 bạn A, B không thể làm việc chung với nhau thì ta sẽ có C₂₈⁵ + C₂₉⁴ =145782

c. Khi C, D từ chối thì sẽ còn 28 người, do đó số cách chọn là C₂₈⁵ = 98280

Câu 8: Có 5 nam và 5 nữ ngồi vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế. Hỏi:

a) Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hai người đối diện khác phái?

b) Có bao nhiêu cách sắp xếp mà nam và nữ ngồi xen kẽ và đối diện?

Đ/s: a) 46080 cách                  b) 28800 cách 

Lời giải:

 a. Có 5!=120cách chia 5 nam, 5 nữ thành 5 cặp nam – nữ

Có 5!=120cách chọn 5 cặp ghế đối diện cho 5 cặp nam – nữ 

Có 2 cách xếp mỗi cặp nam nữ vào cặp ghế đã chọn

⇒ Có 120.120.2⁵ = 46080 cách

b. Để nam nữ ngồi xen kẽ thì nam ngồi vào 6 vị trí chẵn và nữ ngồi vào 6 vị trí lẻ mà 2 người đối diện và xen kẽ có thể đổi chỗ cho nhau nên có 2.5!.5!= 28800

 Câu 9: Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào 1 hàng ghế có 7 chỗ ngồi sao cho 3 nam ngồi kề nhau và 2 nữ ngồi kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách.

Đ/s: 72 cách

Lời giải:

Ta coi 3 nam và 2 nữ ngồi cùng nhau  là 2 nhóm a và b.

Số cách sắp xếp trong nhóm a là 3!= 6 và trong nhóm b là 2!= 2 cách.

Trong 7 chỗ ngồi gồm 3 nam và 2 nữ nên số ghế trống là 2, nếu ta coi 3 nam và 2 nữ ngồi cạnh nhau là các nhóm riêng biệt thì số chỗ ngồi mặc định là 4, từ đó số cách sắp xếp 2 nhóm a và b vào 4 chỗ ngồi là C₄² = 6 cách.

Vậy số cách là 3!.2!.C²₄ = 72.

 Câu 10: Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu từ 1 đến 5 cạnh nhau.

a. Có bao nhiêu cách sắp xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau.

b. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành các nhóm chẵn lẻ riêng biệt.

Đ/s: a) 48 cách                        b) 24 cách        

Lời giải:

a. Coi như 2 phiếu chẵn cạnh nhau là 1 phiếu : có thể là 24 hoặc 42 ⇒có 2 cách chọn .

Khi coi 2 phiếu chẵn cạnh nhau là 1 phiếu thì từ 5 phiếu cần sắp xếp thì giờ ta có 4 phiếu để sắp xếp nên số cách sắp 4 phiếu này là 4!= 24. Vậy nên số cách sắp xếp là 2.4! = 48.

b. Coi 2 phiếu chẵn cạnh nhau (số 2,4) là 1 phiếu a và 3 phiếu lẻ cạnh nhau (1,3,5) là 1 phiếu b.

Số cách tạo ra phiếu a là 2!= 2.

Số cách tạo ra phiếu b là 3!= 6.

Khi ta coi như vậy thì từ việc sắp xếp 5 phiếu thì giờ ta phải sắp xếp 2 phiếu a và b nên số cách sắp xếp là 2!= 2.

Vậy số cách sắp xếp là 2!.3!.2!= 24 cách.

 Câu 11: Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học sinh để đi làm công tác “Mùa hè xanh”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đó phải có ít nhất:

a) Hai học sinh nữ và hai học sinh nam.

b) Một học sinh nữ và một học sinh nam.

Đ/s: a) 10800 cách                  b) 15000 cách