Tailieumoi.vn xin giới thiệu chuyên đề Quy tắc đếm thuộc chương trình Toán 11. Chuyên đề gồm 22 trang với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải các dạng bài tập và trên 200 bài tập có lời giải chi tiết từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh ôn luyện kiến thức, nâng cao kĩ năng làm bài tập môn Toán 11.

Chuyên đề Quy tắc đếm

Tài liệu gồm các phần sau:

Phần 1: Quy tắc nhân: tóm tắt lý thuyết và 9 ví dụ

Phần 2: Quy tắc cộng: tóm tắt lý thuyết và 5 ví dụ

Phần 3: Chỉnh hợp: tóm tắt lý thuyết và 21 ví dụ

1. Định nghĩa và công thức

2. Phương pháp chung để giải bài toán về chỉnh hợp

3. Các dạng toán

- Dạng 1: Tập A không chứa số 0

- Dạng 2: Tập A có chứa số 0

Một số bài toán về quy tắc đếm

TỔ HỢP – XÁC SUẤT. CÁC PHÉP ĐẾM         

I. Quy tắc nhân

Một công việc H được thực hiện qua K giai đoạn H₁, H₂, H₃ ….H_k ,trong đó:

Giai đoạn H₁ có n₁ cách thực hiện

Giai đoạn H₂ có n₂ cách thực hiện

Giai đoạn H₃ có n₃ cách thực hiện

………………………………….

Giai đoạn H_k có n_k cách thực hiện

Khi đó để hoàn thành công việc H phải thực hiện đồng thời K giai đoạn thì suy ra có (n₁.n₂.n₃….n_k ) cách để hoàn thành công việc H

Ví dụ 1: Đề thi cuối khó môn toán khối 12 ở một trường trung học gồm hai loại đề tự luận và trắc nghiệm. Một học sinh dự thi phải thực hiện hai đề thi gồm 1 tự luận và một trắc nghiệm, trong đó tự luận có 12 đề, trắc nghiệm có 15 đề. Hỏi mỗi học sinh có bao nhiêu cách chọn đề thi?

Giải:

Số cách chọn 1 đề tự luận là 12 cách

Số cách chọn 1 đề trắc nghiệm là 15 cách

Vì một học sinh phải làm đồng thời 2 loại đề nên có tất cả 12.15 = 180 cách chọn đề thi.

Ví dụ 2: Cho tập hợp A = {1,2,3,5,7,9}

a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau

b. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau.

Giải:

a. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là: \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4} \]

Để có số n ta phải chọn đồng thời a₁ ,a₂,a₃,a₄ trong đó:

a₁ có 6 cách chọn

a₂ có 5 cách chọn

a₃ có 4 cách chọn

a₄ có 3 cách chọn

Vậy có 6.5.4.3 = 360 số n cần tìm

b. Gọi số cần tìm là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}} \] trong đó:

a₅ chỉ có 1 cách chọn (bằng 2)

a₁ có 5 cách chọn

a₂ có 4 cách chọn

a₃ có 3 cách chọn

a₄ có 2 cách chọn

Vậy số n cần tìm là:1.2.3.4.5 = 120 số

Ví dụ 3: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau lấy ra từ tập A

Giải:

Gọi số cần tìm là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}} \] trong đó:

a₁ có 9 cách chọn (vì a₁ ≠ 0 )

a₂ có 9 cách chọn

a₃ có 8 cách chọn

a₄ có 7 cách chọn

a₅ có 6 cách chọn

Vậy có tất cả 9.9.8.7.6 = 27216 cách

Ví dụ 4: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}

a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số này lẻ,chia hết cho 5

b. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đứng cuối chia hết cho 4

Giải

Gọi số cần tìm là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}} \] trong đó: n là số lẻ, chia hết cho 5 nên a₅ = 5

a₁ có 5 cách chọn (vì a₁ ≠ 0, ≠ 5 )

a₂ có 5 cách chọn

a₃ có 4 cách chọn

a₄ có 3 cách chọn

Vậy có tất cả 5.5.4.3 = 300 số

b. Gọi số cần tìm là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}{a_6}} \] trong đó:

Vì chữ số cuối cùng chia hết cho 4 nên a₆ = 8 hoặc a₆ = 0 ta chia làm hai trường hợp

Trường hợp 1 a₆ =8

a₁ có 5 cách chọn (vì a₁ ≠ 0, ≠ 8 )

a₂ có 5 cách chọn

a₃ có 4 cách chọn

a₄ có 3 cách chọn

a₅ có 2 cách chọn

Vậy có 5.5.4.3.2 = 600 số

Trường hợp 2 a₆ = 0

a₁ có 6 cách chọn

a₂ có 5 cách chọn

a₃ có 4 cách chọn

a₄ có 3 cách chọn

a₅ có 2 cách chọn

Vậy có 6.5.4.3.2 = 720 số

Vậy có tất cả 600 + 720 = 1320 số

Ví dụ 5: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,8,9}

a.Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và > 50.000

b. Từ tập A có thể lậ được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đứng ở vị trí thứ 3 chia hết cho 5 và chữ số cuối lẻ.

Giải

Gọi số cần tìm là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}} \] vì n > 50.000 nên a₁ có thể chọn trong các chữ số {5,6,8,9}

a₁ có 4 cách chọn

a₂ có 7 cách chọn

a₃ có 6 cách chọn

a₄ có 5 cách chọn

a₅ có 4 cách chọn

Vậy có 4.7.6.5.4 = 3360 số cần tìm

b. Gọi số cần tìm là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}{a_6}} \] theo đề ta có:

a₃ chia hết cho 5 nên a₃ = 5, chữ số cần tìm là số lẻ

\[ \Rightarrow \]a₆ = {1,3,9} có 3 cách chọn

a₁ có 6 cách chọn

a₂ có 5 cách chọn

a₄ có 4 cách chọn

a₅ có 3 cách chọn

Vậy có tất cả 3.6.5.4.3 = 1080 số cần tìm

Ví dụ 7: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ sô đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 luôn có mặt

Giải: Gọi số cần tìm là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}} \] để có được số n ta làm hai bước sau :

Chọn vị trí cho chữ số 2: có 5 vị trí 2.

Chọn 4 chữ số còn lại. Do vai trò 5 số này giống nhau nên ta giả sử a₁ =2 ta có:

a₁ có 1 cách chọn

a₂ có 8 cách chọn

a₃ có 7 cách chọn

a₄ có 6 cách chọn

a₅ có 5 cách chọn

Vậy có tất cả 5(8.7.6.5) = 8400 số cần tìm

Ví dụ 8: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}

a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này không bắt đầu bằng 246

b. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 1 có mặt đúng một lần.

Giải

Gọi số cần tìm là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}{a_6}} \]

1. Chọn tùy ý

a₁ có 6 cách chọn (vì a₁ \[ \ne \]0)

a₂ có 6 cách chọn

a₃ có 5 cách chọn

a₄ có 4 cách chọn

a₅ có 3 cách chọn

a₆ có 2 cách chọn

Þ có 6.6.5.4.3.2 = 4320 số có 6 chữ số đôi một khác nhau

2. Chọn số có 6 chữ số bắt đầu từ 246

a₄ có 4 cách chọn

a₅ có 3 cách chọn

a₆ có 2 cách chọn

Þ 4.3.2 = 24 số bắt đầu bằng 246

Vậy ycbt = tùy ý - phần bù = 4320 - 24 = 4296 số cần tìm.

b. Gọi số cần tìm là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}} \] để có được số n ta làm hai bước sau :

Trường hợp 1: nếu a₁ = 1 thì số cần tìm có dạng \[n = \overline {1{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}} \]

a₂ có 6 cách chọn

a₃ có 5 cách chọn

a₄ có 4 cách chọn

a₅ có 3 cách chọn

Þ có 6.5.4.3= 360 số

Trường hợp 2: Nếu a₁ ≠ 1 ta có

a₁ có 5 cách chọn (vì a₁ ≠ 0)

có 4 vị trí cho số 1 giả sử a₂ = 1

a₃ có 5 cách chọn

a₄ có 4 cách chọn

a₅ có 3 cách chọn

Þ có 5.4.5.4.3 = 1200 số cần tìm

Þ vậy 1200 + 360 = 1560 kết quả

Ví dụ 9: Cho tập A= {0,1,2,3,4,5,6}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 và 5 không đứng cạnh nhau.

Giải:

1. Tìm số có 5 chữ số khác nhau đôi một tùy ý là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}} \]

a₁ có 6 cách chọn (vì a₁ ≠ 0)

a₂ có 6 cách chọn

a₃ có 5 cách chọn

a₄ có 4 cách chọn

a₅ có 3 cách chọn

Þ có 6.6.5.4.3 = 2160 số

2. Tìm số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một và 2,5 đứng cạnh nhau

Giả sử 2,5 là một chữ số a nào đó do vậy ta đi tìm số có 4 chữ số

Trường hợp 1:

a₁ = a

a₂ có 5 cách chọn

a₃ có 4 cách

a₄ có 3 cách

Þ có 5.4.3 = 60 số

Trường hợp 2:

a₁ ≠ a nên a₁ có 4 cách chọn ( a₁ ≠ 0,2,5)

có 3 vị trí cho số a giả sử a₂ = a

a₃ có 4 cách

a₄ có 3 cách

Þ có 4.3.4.3 = 204 mà 2,5 có thể đổi chỗ cho nhau nên ta đc 204.2 = 408 số

Vậy YCBT = 2160 - 408 = 1572 cách, có 4 vị trí cho a.

II. Qui tắc cộng:

Một công việc H bao gồm K công việc H₁, H₂, H₃ ….H_k, trong đó:

Giai đoạn H₁ có n₁ cách thực hiện

Giai đoạn H₂ có n₂ cách thực hiện

Giai đoạn H₃ có n₃ cách thực hiện

 ………………………………….

Giai đoạn H_k có n_k cách thực hiện Khi đó để hoàn thành công việc H chỉ phải thực hiện 1 trong các công việc trên thì suy ra có (n₁+ n₂ + n₃ + n_k ) cách để hoàn thành công việc H.

Ví dụ 1: Một nữ sinh trung học khi đến trường có thể chọn một trong hai bộ trang phục là quần trắng áo dài hoặc quần xanh áo sơ mi. Nữ sinh có 7 chiếc quần trắng, 5 áo dài, 4 quần xanh và 6 áo sơ mi thì có bao nhiêu cách chọn trang phục

Giải:

Nữ sinh được chọn một trong hai bộ trang phục

Trường hợp 1: Quần trắng + áo dài

có 7 cách chọn quần trắng

5 cách chọn áo dài

Þ có 5.7 cách chọn bộ trang phục thứ nhất.

Trường hợp 2: Quần xanh + áo sơ mi

có 4 cách chọn quần xanh

có 6 cách chọn áo sơ mi

Þ có 4.6 = 24 cách chọn bộ trang phục thứ 2.

Vậy theo quy tắc cộng thì nữ sinh có 35 + 24 = 59 cách

Ví dụ 2: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số khác nhau

b. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho các số này chia hết cho 5

Giải:

a.Tìm Số có 5 chữ số khác nhau đôi một là \[n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}a{}_4{a_5}} \]

\[{a_5}\]= {1,3,5,7,9} có 5 cách chọn

…………………………..