- Mỗi cách xếp có 4 + 5 = 9 học sinh thành hàng dọc là một hoán vị của 9 học sinh đó. Vậy có tất cả 9! cách xếp. Chọn đáp án là C

Nhận xét: học sinh có thể nhầm lẫn xếp nam và nữ riêng nên cho kết quả 4!.5! (phương án A); hoặc vừa xếp nam và nữ riêng và sử dụng quy tắc cộng để cho kết quả 4!+5! (phương án B); hoặc chọn 4 học sinh nam trong 9 học sinh và 5 học sinh nữ trong 9 học sinh để cho kết quả A₉⁴.A₉⁵ ( phương án D)

b) Do số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam là 1 bạn nên để nam, nữ đứng xen kẽ thì nữ đứng trước.

- Nếu đánh số theo hàng dọc từ 1 đến 9 thì cần xếp 5 học nữ vào 5 vị trí lẻ nên có 5!cách xếp; và xếp 4 học sinh nam vào 4 vị trí chẵn nên có 4!cách xếp. Theo quy tắc nhân ta có, ta có 4!.5! Cách xếp 9 học sinh thành hàng dọc xen kẽ nam nữ.

a) Mỗi số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được tạo ra từ các chữ số của tập A là một chỉnh hợp chập 4 của 9 phần tử.

Vậy có A₉⁴ số cần tìm. Chọn đáp án B

Nhận xét: học sinh có thể nhầm coi mỗi số có bốn chữ số là một hoán vị của 4 phần tử nên chọn kết quả là 4! (phương án A); hoặc là một tổ hợp tập 4 của 9 phần tử nên chọn kết quả C₉⁴ (phương án D); hoặc suy luận có 9 cách chọn chữ số hàng nghìn và có C₉³ cách chọn 3 chữ số còn lại nên có kết quả 9C₉³ (phương án C)

b) Gọi số có bốn chữ số khác nhau là

Do a ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9} nên có 9 cách chọn a.

Ứng với mỗi cách chọn a, còn 10 - 1 = 9 chữ số để viết

(b, c, d có thể bằng 0), mỗi cách viết

là một chỉnh hợp chập 3 của 9 chữ số, nên có A₉³ số

Theo quy tắc nhân, có 9A₉³ số cần tìm. Chọn đáp án là B.

- Chọn 3 điểm trong 18 điểm đã cho làm 3 đỉnh của một tam giác. Mỗi tam giác là một tổ hợp chập 3 của 18. Vì vậy số tam giác là C₁₈³ (chọn phương án B)

Nhận xét: học sinh có thể nhầm cho rằng mỗi tam giác là một chỉnh hợp chập 3 của 18, nên số tam giác là A₁₈³ (phương án A); hoặc suy luận một tam giác có 3 đỉnh nên 18 điểm cho ta 18/3 = 6 tam giác (phương án C); hoặc suy luận 18 điểm có 18! cách và mỗi tam giác có 3 đỉnh nên số tam giác là 18!/3 cách (phương án D)

- Do

Nên mỗi vecto là một chỉnh hợp chập hai của 18.

Vì vậy, số vecto là A₁₈²

Chọn đáp án A

Có 5 bì thư khác nhau, chọn 3 bì thư có C₅³ cách chọn

Có 8 tem khác nhau, chọn 3 con tem thì có C₈³ cách chọn

Dán 3 con tem lên 3 bì thư thì có 3!cách dán khác nhau. Theo quy tắc nhân ta có 3!C₅³.C₈³ cách dán 3 con tem lên 3 bì thư

Chọn đáp án D

Nhận xét: học sinh có thể nhầm lẫn: số cách chọn 3 bì thư là A₅³, số cách chọn 3 con tem là A₈³ hoặc không tính cách dán 3 con tem lên 3 bì thư dẫn đến có thể chọn các phương án A, B và C.

Điều kiện x ∈ N và x ≥ 3, ta có:

Chọn đáp án B

Số cách chọn 2 số chẵn trong tập hợp {2; 4; 6; 8} là:  cách.

Số cách chọn 2 số lẻ trong tập hợp {1; 3; 5; 7; 9} là:  cách.

Số cách hoán vị 4 chữ số đã chọn lập thành 1 số tự nhiên là: 4! cách.

Vậy có 4!** số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án C

Các viên bi lấy ra có đủ cả 2 màu nên ta có các trường hợp:

Cách 2. Dùng phần bù. Số cách chọn 4 viên bi tùy ý từ 11 viên bi là:  cách.

Số cách chọn 4 viên bi màu trắng là:  cách.

Số cách chọn 4 viên bi là màu xanh là:  cách.

Vậy có  - ( + ) = 310 cách chọn 4 viên bi trong đó có cả 2 màu.

Chọn đáp án B

Chọn đáp án A

Nhóm thứ 1: chọn 7 nam từ 21 bạn nam, chọn 5 nữ từ 15 bạn nữ nên số cách chọn nhóm thứ nhất là:  cách.

Nhóm thứ 2: chọn 7 nam từ 14 bạn nam còn lại, chọn 5 nữ từ 10 bạn nữ còn lại nên số cách chọn nhóm thứ hai là:  cách.

Số cách chọn nhóm thứ ba là:  cách.

Vậy có  cách chia nhóm.

Chọn đáp án D

Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 10 ( hay 6 học sinh từ khối 11 và 12) là:  cách.

Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 11 (hay 6 học sinh từ khối 10 và 12) là:  cách.

Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 12 (hay 6 học sinh từ khối 10 và 11) là:  cách.

Vậy có  - ( +  + ) = 805 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án D

Câu 18: Cho 10 điểm phân biệt A₁, A₂, ..., A₁₀ trong đó có 4 điểm A₁, A₂, A₃, A₄ thẳng hàng, ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy trong 10 điểm trên?

A. 96 tam giác.

B. 60 tam giác.

C. 116 tam giác.

D. 80 tam giác.

Câu 19: Cho hai đường thẳng song song d₁ và d₂. Trên d₁ lấy 17 điểm phân biệt, trên d₂ lầy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ 37 điểm này.

A. 5690

B.5960

C. 5950

D. 5590

Câu 20: Số giao điểm tối đa của 5 đường tròn phân biệt là:

A. 10

B. 20

C. 18

D. 22

Câu 21: Với đa giác lồi 10 cạnh thì số đường chéo là

A. 90

B. 45

C. 35

D. Một số khác.

Câu 22: Cho đa giác đều n đỉnh, n ∈ N và n ≥ 3 Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo.

A. n = 15

B.n = 27

C.n = 8

D.n = 18

Tổng số bi lấy ra có 4 viên mà bi đỏ nhiều hơn bi vàng nên có 2 trường hợp xảy ra:

TH1: Không có bi vàng, khi đó số bi đỏ phải từ 1 viên trở lên.

Số cách lấy 4 viên bi bất kì trong tổng số 9 viên bi (gồm 5 đỏ và 4 xanh) là:  cách.

Số cách lấy 4 viên bi xanh ( khi đó bi đỏ không được lấy ra) là:  cách.

Số cách lấy thỏa mãn trong trường hợp này là:  -  = 125 cách.

TH2: Có 1 viên bi vàng, khi đó số bi đỏ phải từ 2 viên trở lên.

Số cách lấy 1 viên bi vàng:  cách.

Số cách lấy 3 viên bi còn lại trong đó có 2 bi đỏ và 1 bi xanh là:  cách.

Số cách lấy 3 viên bi còn lại đều là bi đỏ là:  cách.

Số cách lấy thỏa mãn trong trường hợp này là:

 * ( + ) = 150 cách.

Vậy có 125 + 150 = 275 cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án B

Chọn đáp án A