Trả lời nhanh
Dãy số (un) bị chặn khi nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là có hai số thực m, M sao cho m ≤ un ≤ M với mọi n ∈ ℕ*. Muốn xét dãy tăng hay giảm, ta xét dấu của hiệu un+1 − un. Nếu các số hạng đều dương thì có thể so sánh thương un+1/un với 1. Muốn xét tính bị chặn, ta đánh giá trực tiếp un, tách phân thức hoặc chứng minh bằng quy nạp.
1. Kiến thức cần nhớ
Dãy số tăng, dãy số giảm
- Dãy (un) là dãy tăng nếu un+1 > un với mọi n ∈ ℕ*.
- Dãy (un) là dãy giảm nếu un+1 < un với mọi n ∈ ℕ*.
- Dãy tăng và dãy giảm được gọi chung là dãy đơn điệu. Có những dãy không tăng cũng không giảm, ví dụ un = (−1)n.
Dãy số bị chặn
- Bị chặn trên: tồn tại số M sao cho un ≤ M với mọi n ∈ ℕ*.
- Bị chặn dưới: tồn tại số m sao cho un ≥ m với mọi n ∈ ℕ*.
- Bị chặn: vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Điều này tương đương với việc tồn tại số K > 0 sao cho |un| ≤ K với mọi n.
Mẹo nhớ: có thể hình dung “chặn” như hai bức tường. Tường trên là M, tường dưới là m, và mọi số hạng của dãy đều nằm giữa hai bức tường đó. Một dãy chỉ cần “vượt tường” ở một phía thì đã không bị chặn.
2. Phương pháp xét tính tăng, giảm của dãy số
Cách 1: Xét hiệu (dùng được cho mọi dãy)
Tính kn = un+1 − un rồi rút gọn về dạng dễ xét dấu.
- kn > 0 với mọi n ∈ ℕ* thì dãy tăng.
- kn < 0 với mọi n ∈ ℕ* thì dãy giảm.
- kn đổi dấu thì dãy không đơn điệu. Để kết luận, chỉ cần chỉ ra cụ thể ba số hạng liên tiếp có u1 < u2 nhưng u2 > u3 (hoặc ngược lại).
Cách 2: Xét thương (chỉ dùng khi un > 0 với mọi n)
Tính tn = un+1/un. Nếu tn > 1 với mọi n thì dãy tăng, nếu tn < 1 với mọi n thì dãy giảm. Cách này rất tiện với các dãy chứa lũy thừa an hoặc giai thừa n!.
Cách 3: Biến đổi un về dạng quen thuộc
Với dãy phân thức bậc nhất un = (an + b)/(cn + d), ta tách thành hằng số cộng một phân thức có tử là hằng số. Với dãy chứa căn dạng √(n+1) − √n, ta nhân liên hợp. Sau khi biến đổi, tính tăng giảm hiện ra ngay mà không cần tính nhiều.
3. Phương pháp xét dãy số bị chặn
- Đánh giá trực tiếp: dùng các bất đẳng thức quen thuộc như −1 ≤ sin x ≤ 1, n² ≥ 1, 1/n ≤ 1…
- Tách phân thức: chẳng hạn un = 2 − 5/(n + 3). Khi đó vì 5/(n + 3) > 0 nên un < 2.
- Tận dụng tính đơn điệu: dãy tăng luôn bị chặn dưới bởi u1, dãy giảm luôn bị chặn trên bởi u1. Như vậy chỉ cần tìm thêm chặn còn lại.
- Quy nạp: thường dùng cho dãy cho bởi hệ thức truy hồi. Ta dự đoán chặn (thường là nghiệm của phương trình x = f(x)) rồi chứng minh bằng quy nạp. Có thể ôn lại phương pháp này ở Phương pháp quy nạp toán học.
- Làm trội: dùng cho dãy là tổng. Ta thay mỗi số hạng bằng một biểu thức lớn hơn sao cho tổng mới rút gọn được (tổng sai phân).
Muốn chứng minh một dãy không bị chặn trên, ta chỉ ra với mọi M luôn có số hạng un > M. Thông thường ta đánh giá un ≥ một biểu thức lớn tùy ý theo n, chẳng hạn un ≥ n/2.
4. Ví dụ minh họa có lời giải
Ví dụ 1: Dãy phân thức bậc nhất
Đề: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy un = (2n + 1)/(n + 3).
Lời giải. Ta có un+1 − un = (2n + 3)/(n + 4) − (2n + 1)/(n + 3) = [(2n + 3)(n + 3) − (2n + 1)(n + 4)] / [(n + 3)(n + 4)].
Tử số bằng (2n² + 9n + 9) − (2n² + 9n + 4) = 5. Vậy un+1 − un = 5/[(n + 3)(n + 4)] > 0, nên dãy tăng.
Tách phân thức: un = 2 − 5/(n + 3) < 2. Vì dãy tăng nên un ≥ u1 = 3/4. Vậy 3/4 ≤ un < 2, tức là dãy bị chặn.
Ví dụ 2: Dãy chứa lũy thừa, dùng phương pháp xét thương
Đề: Xét dãy un = n/3n.
Lời giải. Mọi un đều dương. Ta có un+1/un = (n + 1)/(3n). Bất đẳng thức (n + 1)/(3n) < 1 tương đương n + 1 < 3n, tức là n > 1/2, luôn đúng với n ∈ ℕ*. Vậy dãy giảm.
Do dãy giảm và dương nên 0 < un ≤ u1 = 1/3. Dãy bị chặn.
Ví dụ 3: Dãy đan dấu
Đề: Xét dãy un = (−1)n/n.
Lời giải. Ta có u1 = −1, u2 = 1/2, u3 = −1/3. Vì u1 < u2 và u2 > u3 nên dãy không tăng cũng không giảm. Mặt khác |un| = 1/n ≤ 1, nên −1 ≤ un ≤ 1 và dãy bị chặn.
Nhận xét: ví dụ này cho thấy một dãy có thể bị chặn mà không đơn điệu. Hai tính chất này độc lập với nhau.
Ví dụ 4: Dãy chứa căn, dùng nhân liên hợp
Đề: Xét dãy un = √(n + 1) − √n.
Lời giải. Nhân liên hợp, ta được un = 1/(√(n + 1) + √n). Khi n tăng thì mẫu số dương và tăng, nên un giảm. Từ đó 0 < un ≤ u1 = √2 − 1, dãy bị chặn.
Ví dụ 5: Dãy bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên
Đề: Xét dãy un = n² − 4n.
Lời giải. Ta có un+1 − un = 2n − 3. Hiệu này âm khi n = 1 và dương khi n ≥ 2. Cụ thể u1 = −3, u2 = −4, u3 = −3, nên dãy không đơn điệu.
Viết un = (n − 2)² − 4 ≥ −4, vậy dãy bị chặn dưới. Với n ≥ 4 thì un = n(n − 4) ≥ n − 4, có thể lớn hơn mọi số M cho trước. Do đó dãy không bị chặn trên và không phải dãy bị chặn.
Ví dụ 6: Dãy truy hồi, dùng quy nạp
Đề: Cho u1 = 1, un+1 = √(un + 2). Chứng minh dãy tăng và bị chặn.
Lời giải. Ta dự đoán chặn trên từ phương trình x = √(x + 2), có nghiệm x = 2.
- Chứng minh 0 < un < 2 bằng quy nạp: với n = 1 thì u1 = 1 thỏa mãn. Giả sử 0 < uk < 2. Khi đó uk+1 = √(uk + 2) < √4 = 2 và rõ ràng uk+1 > 0.
- Chứng minh dãy tăng: un+1 > un tương đương un + 2 > un² (vì un > 0), tức là (un − 2)(un + 1) < 0. Điều này đúng vì 0 < un < 2.
Kết luận: dãy tăng và 1 ≤ un < 2 với mọi n, nên dãy bị chặn.
Ví dụ 7: Dãy là tổng, dùng làm trội
Đề: Chứng minh dãy Sn = 1 + 1/2² + 1/3² + … + 1/n² bị chặn.
Lời giải. Dãy tăng vì Sn+1 − Sn = 1/(n + 1)² > 0, nên Sn ≥ S1 = 1. Với k ≥ 2, ta có 1/k² < 1/[(k − 1)k] = 1/(k − 1) − 1/k. Cộng các bất đẳng thức này từ k = 2 đến k = n:
Sn < 1 + (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + … + (1/(n − 1) − 1/n) = 2 − 1/n < 2.
Vậy 1 ≤ Sn < 2 và dãy bị chặn.
5. Bảng tóm tắt: dạng dãy và cách xử lý nhanh
| Dạng un | Xét tăng, giảm | Xét bị chặn |
|---|---|---|
| (an + b)/(cn + d) | Xét hiệu, dấu phụ thuộc ad − bc | Tách: a/c + hằng số/(cn + d) |
| Chứa an, n! | Xét thương, so sánh với 1 | Kết hợp tính đơn điệu và un > 0 |
| Chứa căn | Nhân liên hợp | Đánh giá mẫu số |
| Có (−1)n, sin n, cos n | Thường không đơn điệu, tính u1, u2, u3 | Dùng |sin|, |cos|, |(−1)n| ≤ 1 |
| Truy hồi un+1 = f(un) | Quy nạp hoặc xét un+1 − un | Dự đoán chặn từ x = f(x), chứng minh quy nạp |
| Tổng Sn | Sn+1 − Sn là số hạng cuối | Làm trội về tổng sai phân |
Mẹo với dãy (an + b)/(cn + d) có c, d > 0: nếu ad − bc < 0 thì dãy tăng, nếu ad − bc > 0 thì dãy giảm. Thử với Ví dụ 1: a = 2, b = 1, c = 1, d = 3 cho ad − bc = 6 − 1 = 5 > 0? Cần cẩn thận, ở đây hiệu un+1 − un cùng dấu với ad − bc = 2·3 − 1·1 = 5 > 0, nên dãy tăng. Như vậy quy tắc đúng là: dãy tăng khi ad − bc > 0, giảm khi ad − bc < 0 (với cn + d > 0 mọi n). Khi làm trắc nghiệm, các em nên tự kiểm tra lại bằng cách tính nhanh u1 và u2.
6. Lỗi sai thường gặp
- Kết luận dãy tăng chỉ từ vài số hạng đầu. Việc thấy u1 < u2 < u3 không chứng minh được dãy tăng. Chỉ khi muốn kết luận dãy không đơn điệu thì ta mới được dùng vài số hạng cụ thể.
- Xét thương khi dãy có số hạng âm. Nếu un < 0 thì tn > 1 lại có nghĩa là dãy giảm. Phải kiểm tra un > 0 trước khi dùng thương.
- Nhầm “bị chặn” với “bị chặn trên”. Dãy un = −n bị chặn trên bởi −1 nhưng không bị chặn dưới, nên không phải dãy bị chặn.
- Quên chiều thứ hai của chặn. Chẳng hạn khi viết un = 2 − 5/(n + 3) < 2, nhiều bạn dừng lại ở đó mà quên chỉ ra chặn dưới.
- Dãy truy hồi: chứng minh tăng trước khi có chặn. Ở Ví dụ 6, muốn chứng minh dãy tăng thì cần biết 0 < un < 2 trước. Thứ tự các bước rất quan trọng.
7. Bài tập luyện tập có đáp án
Bài 1. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy un = (n + 2)/(2n + 1).
Đáp án: un+1 − un = −3/[(2n + 1)(2n + 3)] < 0, nên dãy giảm. Tách un = 1/2 + 3/[2(2n + 1)], suy ra 1/2 < un ≤ u1 = 1. Dãy bị chặn.
Bài 2. Xét dãy un = 2n/(n + 1).
Đáp án: un+1/un = 2(n + 1)/(n + 2) > 1, vì bất đẳng thức này tương đương n > 0. Vậy dãy tăng và bị chặn dưới bởi u1 = 1. Dùng khai triển nhị thức, 2n = (1 + 1)n ≥ 1 + n + n(n − 1)/2 > n(n + 1)/2, nên un > n/2. Do đó dãy không bị chặn trên.
Bài 3 (trắc nghiệm). Trong các dãy sau, dãy nào bị chặn?
A. un = n² B. un = 2n C. un = cos n + 1/n D. un = −n
Đáp án C. Ta có |cos n + 1/n| ≤ |cos n| + 1/n ≤ 2. Các dãy A và B không bị chặn trên, dãy D không bị chặn dưới.
Bài 4. Cho u1 = 2, un+1 = (un + 4)/2. Chứng minh dãy tăng và bị chặn.
Đáp án: Phương trình x = (x + 4)/2 cho x = 4. Quy nạp: nếu uk < 4 thì uk+1 < (4 + 4)/2 = 4. Ngoài ra un+1 − un = (4 − un)/2 > 0, nên dãy tăng. Vậy 2 ≤ un < 4.
8. Tài liệu ôn tập tiếp theo
- Giải Toán 11 Bài 2: Dãy số
- Cách tìm số hạng tổng quát của dãy số
- 50 bài tập Dãy số có đáp án
- 30 câu trắc nghiệm Dãy số
- Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân
- 30 bài tập cấp số cộng và cấp số nhân nâng cao
Câu hỏi thường gặp
Dãy số bị chặn là gì?
Dãy số bị chặn là dãy vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là có hai số m, M sao cho m ≤ u_n ≤ M với mọi n ∈ ℕ*. Điều này tương đương với việc có số K > 0 sao cho |u_n| ≤ K với mọi n.
Khi nào nên xét thương thay vì xét hiệu?
Nên xét thương u_(n+1)/u_n khi mọi số hạng đều dương và công thức của dãy chứa lũy thừa hoặc giai thừa. Thương lớn hơn 1 thì dãy tăng, nhỏ hơn 1 thì dãy giảm.
Dãy tăng có luôn bị chặn không?
Không. Dãy tăng luôn bị chặn dưới bởi u_1 nhưng có thể không bị chặn trên, ví dụ u_n = n². Ta phải xét riêng chặn trên.
Làm sao chứng minh một dãy không tăng không giảm?
Chỉ cần chỉ ra ba số hạng cụ thể, chẳng hạn u_1 u_3. Khi đó dãy không thể là dãy tăng cũng không thể là dãy giảm.