Số cách lấy 3 điểm từ 10 điểm phân biệt là .

Số cách lấy 3 điểm bất kì trong 4 điểm A1, A2, A3, A4 là .

Khi lấy 3 điểm bất kì trong 4 điểm A1, A2, A3, A4 thì sẽ không tạo thành tam giác.

Như vậy, số tam giác tạo thành : 120 - 4 = 116 tam giác.

Một tam giác được tạo bởi ba điểm phân biệt nên ta xét:

TH1. Chọn 1 điểm thuộc d1 và 2 điểm thuộc d2: có  tam giác.

TH2. Chọn 2 điểm thuộc d1 và 1 điểm thuộc d2: có  tam giác.

Như vậy, ta có  +  = 5950 tam giác cần tìm.

III. Bài tập vận dụng

Bài 5: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập các số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau. Hỏi:

a) Có tất cả bao nhiêu số?

b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?

c) Có bao nhiêu số bé hơn 432 000?

Bài 6: Có bao nhiêu cách để sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành một dãy?

Bài 7: Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông)?

Bài 8: Có bao cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau?

Bài 9: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu:

a) Các bông hoa khác nhau?

b) Các bông hoa như nhau?

Bài 10: Trong mặt phẳng, cho sáu điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?

Bài 11: Có 7 học sinh nữ và 3 học sinh nam. Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để:

a) Sắp xếp tùy ý

b) Các bạn nam ngồi cạnh nhau và các bạn nữ ngồi cạnh nhau.

c) 3 học sinh nam ngồi kề nhau.

d) Không có 2 bạn nam nào ngồi cạnh nhau.

Lời giải

a) Sắp xếp 10 bạn tùy ý là hoán vị của 10: có 10! cách xếp.

b) Xếp các 7 bạn nữ ngồi cạnh nhau và 3 bạn nam ngồi cạnh nhau. Ta ghép tất cả 7 bạn nữ vào 1 “bó”, 3 bạn nam vào 1 “bó”

Rồi mang sắp xếp 2 “bó” ta được 2! cách xếp.

Trong 7 bạn nữ: ta có 7! cách xếp

Trong 3 bạn nam: ta có 3! cách xếp

Vậy có 2! . 7! . 3! = 60480 cách xếp.

c) Xếp 3 bạn nam ngồi cạnh nhau. Ta ghép 3 bạn nam vào 1 “bó”

Rồi mang sắp xếp 7 bạn nữ và 1 “bó” ta được 8! cách xếp

Trong 3 bạn nam: ta có 3! cách xếp

Vậy có 8! . 3! = 241920 cách xếp.

d) Để xếp không có bạn nam nào ngồi cạnh nhau, ta sắp xếp 7 bạn nữ vào bàn dài trước: ta được 7! cách xếp

Khi đó tạo ra 8 khoảng trống (là 6 khoảng trống giữa 2 bạn nữ và 2 khoảng trống ngoài cùng)

Ta xếp 3 bạn nam vào 3 khoảng trống bất kì (mỗi bạn ở 1 khoảng trống): ta được  .

Vậy có cách xếp.

Bài 12: Từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn

a) Số có 7 chữ số khác nhau

b) Số có 5 chữ số khác nhau

c) Số có 7 chữ số khác nhau và có chữ số 1 là hàng chục nghìn

d) Số có 7 chữ số khác nhau và chữ số 2 không ở hàng đơn vị

Lời giải

a) Số các số có 7 chữ số khác nhau được lập từ 7 chữ số trên là 7! = 5040

b) Số các số có 5 chữ số khác nhau được lập từ 7 chữ số trên là 

c) Số có 7 chữ số khác nhau và có chữ số 1 là hàng chục nghìn

Chữ số hàng chục nghìn có 1 cách chọn (là chữ số 1)

Các hàng khác, số cách chọn là một hoán vị của 6 chữ số còn lại: 6!

Vậy có 1.6! = 720 số có 7 chữ số khác nhau và có chữ số 1 là hàng chục nghìn.

d) Số có 7 chữ số khác nhau và chữ số 2 không ở hàng đơn vị

Số các số có 7 chữ số khác nhau là 7!

Ta lập số có 7 chữ số khác nhau có chữ số 2 ở hàng đơn vị

Chữ số hàng đơn vị có 1 cách chọn (là chữ số 2)

Các hàng khác, số cách chọn là một hoán vị của 6 chữ số còn lại: 6!

Số các số có 7 chữ số và chữ số 2 ở hàng đơn vị là: 1.6!

Vậy có 7! – 6! = 4320 số có 7 chữ số khác nhau và chữ số 2 không ở hàng đơn vị.

Bài 13: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn

a) Số có 10 chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần

b) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau

c) Số có 6 chữ số khác nhau, trong đó chữ số 1 là hàng đơn vị

d) Số có 6 chữ số khác nhau, trong đó chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau.

Lời giải

a) Giả sử số có 10 chữ số cần lập ở 10 vị trí như hình dưới

+ Số các số có 10 chữ số, chữ số 3 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần (Kể cả chữ số 0 đứng đầu)

Chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, ta chọn 3 vị trí để đặt số 3: cócách chọn

Các chữ số khác có mặt đúng 1 lần là hoán vị của 7: có 7! cách chọn

Do đó cósố (kể cả số 0 đứng đầu).

+ Số các số có 10 chữ số, chữ số 3 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần và chữ số 0 đứng đầu

Vị trí đầu tiên có 1 cách chọn (là chữ số 0)

Chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, ta chọn 3 vị trí trong 9 vị trí còn lại để đặt số 3: cócách chọn

Các chữ số khác có mặt đúng 1 lần là hoán vị của 6: có 6! cách chọn.

Do đó có 

Vậy cósố có 10 chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần.

b) Gọi sốlà số chẵn có 5 chữ số trong các số trên

 Vìlà số chẵn nên e ∈{0;2;4;6}

+ Trường hợp 1: e = 0

Số cách chọn a, b, c, d trong 7 số còn lại là 

Do đó có .

+ Trường hợp 2: e ∈{2;4;6}

Chọn e: có 3 cách chọn

Chọn a từ các số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}\{e}: có 6 cách chọn

Chọn b, c, d từ các số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}\{a, e}: có 

Do đó cósố

Vậy cósố chẵn có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số trên.

c) Giả sử số có 6 chữ số cần lập ở 6 vị trí như hình dưới

Lập số có 6 chữ số khác nhau, chữ số 1 ở hàng đơn vị

Vị trí (6) có 1 cách chọn (là chữ số 1)

Vị trí (1) có 6 cách chọn (là các chữ số 2; 3; 4; 5; 6; 7)

Bốn vị trí còn lại là chỉnh hợp chập 4 của 6 số còn lại: có số

Vậy cósố có 6 chữ số, trong đó chữ số 1 là hàng đơn vị.

d) Để lập số có số 2 và 3 đứng cạnh nhau ta ghép số 2 và 3 với nhau, đặt vào 1 vị trí.

Giả sử số có 6 chữ số cần lập ở 5 vị trí như hình dưới

Vị trí (1) có 6 cách chọn (là 1; 2 và 3; 4; 5; 6; 7)

Các vị trí còn lại có là chỉnh hợp chập 4 của 6 số còn lại: có 

Ở vị chí chứa số 2 và 3: có 2! cách sắp xếp chữ số 2 và 3.

Vậy cósố có 6 chữ số khác nhau, trong đó chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau.

B. Lý thuyết Hoán vị- Chỉnh hợp- Tổ hợp

I. Hoán vị

1. Định nghĩa

- Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

- Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử khác nhau ở thứ tự sắp xếp.

Chẳng hạn, hai hoán vị abc và cab của ba phần tử a; b; c là khác nhau.

2. Số các hoán vị

Kí hiệu: P_n là số các hoán vị của n phần tử.

- Định lí: P_n = n.(n – 1).(n – 2)….2.1

- Chú ý: Kí hiệu n.(n – 1)…2.1 là n! (đọc là n là giai thừa), ta có: P_n = n!.

- Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang.

Lời giải:

Số cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là 10! cách.

II. Chỉnh hợp

1. Định nghĩa.

- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Ví dụ 2. Lớp 11A2 có 40 học sinh. Khi đó; mỗi cách chọn ra 4 bạn làm tổ trưởng tổ 1; tổ 2; tổ 3; tổ 4 chính là số chỉnh hợp chập 4 của 40 học sinh.

2. Số các chỉnh hợp

- Kí hiệu $A_n^k$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) .

- Định lí:

$A_n^k=n(n-1)\mathrm{...}(n-k+\text{\hspace{0.17em}}1)$

- Ví dụ 3. Từ năm điểm phần biệt A; B; C; D; E  ta lập được bao nhiêu vectơ khác $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho.

Lời giải:

Một vectơ được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

Số vecto khác $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho chính là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử:

Do đó, ta có: $A_5^2=\mathrm{5.4.3}=60$ vectơ thỏa mãn đầu bài.

- Chú ý:

a) Với quy ước 0! = 1 ta có: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!};1\le k\le n$.

b) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.

Vì vậy: $P_n=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{A}_n^n$.

III. Tổ hợp

1. Định nghĩa.

- Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 ≤ k ≤ n. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

- Ví dụ 4. Cho tập A = {3; 4; 5; 6}.

Ta liệt kê các tổ hợp chập 3 của A là: {3; 4; 5}; {3; 4; 6}; {3; 5; 6}; {4; 5; 6}.

2. Số các tổ hợp.

Kí hiệu $C_n^k$ là số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 ≤ k ≤ n).

- Định lí: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Ví dụ 5. Cho 8 điểm phân biệt A; B; C; D; E; F; G; H, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, ta lập được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho.

Lời giải:

Mỗi tam giác được lập là 1 tổ hợp chập 3 của 8 (điểm).

Vì vậy số tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho là $C_8^3=$56.

3. Tính chất của các số $C_n^k$

a) Tính chất 1.

$C_n^k=C_n^{n-k};0\le k\le n$

Ví dụ 7. $C_8^4+C_8^5=C_9^5=126$.