Ta có 8 = 2. 4 nên công bội q = 4

Do đó, x = 2.q² = 2.4² = 32

Bài 11: Tìm tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân, biết 

Lời giải:

Bài 12: Cho bốn số nguyên biết rằng ba số hạng đầu lập thành một cấp số nhân, ba số hạng sau lập thành một cấp số cộng. Tổng của hai số hạng đầu và cuối bằng 14, còn tổng hai số ở giữa bằng 12. Tổng của bốn số nguyên đó là?

Lời giải:

Gọi 4 số cần tìm là a,b,c,d. Dựa vào giả thiết ta có hệ:

Vậy tổng 4 số nguyên đó là: 2 + 4 + 8 +12 = 26.

Bài 13: Một cấp số nhân dương có 4 số hạng, công bội q bằng 1/4 lần số hạng thứ nhất, tổng của hai số hạng đầu bằng 24. Tìm tích các số hạng cấp số nhân đó?

Lời giải:

Gọi 4 số lập thành cấp số cộng là u₁,u₂,u₃,u₄

u₁=8,u₂=16,u₃=32,u₄=64. Khi đó tích cần tìm là: 8.6.32.64 = 98304.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Các số x + 6y ; 5x + 2y ; 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời, các số x + $\frac{5}{3}$; y - 1; 2x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y

Bài 2 Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q. Tìm q ?

Bài 3 Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288 m²). Tính diện tích mặt trên cùng.

Bài 4 Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: . Số $\frac{2}{6561}$ là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ?

Bài 5 Xác định x để 3 số 2x - 1; x; 2x + 1 lập thành một cấp số nhân?

Bài 6 Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 3 và 15u₁ - 4u₂ + u₃ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho.

Bài 7 Tính các tổng sau: 

Bài 8 Cho cấp số nhân với công bội $q$.

a) Biết $u_1=2,u_6=486$. Tìm $q$

b) Biết $q=\frac{2}{3}$, $u_4=\frac{8}{21}$. Tìm $u_1$

c) Biết $u_1=3,q=-2$. Hỏi số $192$ là số hạng thứ mấy?

Bài 9 Tìm các số hạng của cấp số nhân $(u_n)$ có năm số hạng, biết:

a) $u_3=3$ và $u_5=27$;                    

b) $u_4–u_2=25$ và $u_3–u_1=50$ 

Bài 10 Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là  và tổng của năm số hạng sau là ?

B. Lý thuyết cấp số nhân

I. Định nghĩa

- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

- Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

u_{n + 1} = u_n. q với $n\in \mathbb{N}*$.

- Đặc biệt

Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁, 0, 0, …., 0,…..

Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁, u₁, u₁, …., u₁,…

Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, 0, 0,…, 0..

- Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân: 2, 4, 8, 16, 32 với số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 2.

II. Số hạng tổng quát.

- Định lí: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức: u_n = u₁.q^{n - 1} với n ≥ 2.

- Ví dụ 2. Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = – 1; q = – 2.

a) Tính u₆;

b) Hỏi 128 là số hạng thứ mấy.

Lời giải:

a) Ta có: u₆ = u₁. q⁵ = –1. (– 2)⁵ = 32.

b) Ta có: u_n = u₁.q^{n - 1} nên 128 = – 1. (– 2)^{n - 1}

$\iff$(– 2)^{n - 1} = – 128 = (– 2)⁷.

$\iff$n – 1 = 7 nên n = 8.

Vậy 128 là số hạng thứ 8.

III. Tính chất các số hạng của cấp số nhân

- Định lí: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_k^2=u_{k-1}.u_{k+\text{}1};k\ge 2$

( hay $\left|u_k\right|=\sqrt{u_{k-1}.u_{k+\text{}1}}$).

IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.

- Định lí: Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 1. Đặt S_n = u₁ + u₂ + …+ u_n .

Khi đó: $S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$.

- Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁, u₁, u₁,….u₁,….Khi đó, S_n = n.u₁.

Ví dụ 3. Cho cấp số nhân (u_n) biết u₁ = 3; u₂ = 9. Tính tổng của 8 số hạng đầu tiên?

Lời giải:

Ta có: u₂ = u₁.q nên 9 = 3q.

Suy ra, công bội q = 3.

Khi đó, tổng của 8 số hạng đầu tiên là:

$$\begin{gathered} S_8=\frac{u_1(1-q^8)}{1-q} \\ =\frac{3.(1-3^8)}{1-3}=9840 \end{gathered}$$