Nếu chọn một học sinh nam có 280 cách.

Nếu chọn một học sinh nữ có 325 cách.

Theo qui tắc cộng, ta có 280 + 325 = 605 cách chọn.

Chọn đáp án D

Vì các quả cầu trắng hoặc đen đều được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kì là một lần chọn.

Nếu chọn một quả trắng có 6 cách.

Nếu chọn một quả đen có 3 cách.

Theo qui tắc cộng, ta có 6 + 3 = 9 cách chọn.

Chọn đáp án B

Nếu đi bằng ô tô có 10 cách.

Nếu đi bằng tàu hỏa có 5 cách.

Nếu đi bằng tàu thủy có 3 cách.

Nếu đi bằng máy bay có 2 cách.

Theo qui tắc cộng, ta có 10 + 5+ 3+ 2= 20 cách chọn.

Chọn đáp án A

Để chọn một chiếc đồng hồ, ta có:

Có 3 cách chọn mặt.

Có 4 cách chọn dây.

Vậy theo qui tắc nhân ta có:3.4 = 12 cách.

Chọn đáp án C

Để chọn một bộ quần-áo-cà vạt , ta có:

Có 4 cách chọn quần.

Có 6 cách chọn áo.

Có 3 cách chọn cà vạt.

Vậy theo qui tắc nhân ta có : 4.6.3 = 72 cách.

Chọn đáp án B

a) Theo quy tắc cộng có: 23 +17 = 40 cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi môi trường. Vì vậy chọn đáp án C

b) Việc chọn hai học sinh (nam và nữ) phải tiến hành hai hành động liên tiếp

Hành động 1: chọn 1 học sinh nữ trong số 23 học sinh nữ nên có 23 cách chọn

Hành động 2: chọn 1 học sinh nam nên có 17 cách chọn

Theo quy tắc nhân, có 23.17 = 391 cách chọn hai học sinh tham gia hội trại có cả nam và nữ.

Vì vậy chọn phương án B

a) Việc chọn 3 viên bi khác màu phải tiến hành 3 hành động liên tiếp: chọn 1 bi đỏ trong 7 bi đỏ nên có 7 cách chọn, tương tự có 8 cách chọn 1 bi xanh và 5 cách chọn 1 bi vàng. Theo quy tắc nhân ta có: 7.8.5 = 280 cách. Vậy đáp án là B

b) Muốn lấy được 2 viên bi khác màu từ trong túi đã cho xảy ra các trường hợp sau:

- Lấy 1 bi đỏ và 1 bi xanh: có 7 cách để lấy 1 bi đỏ và 8 cách để lấy 1 bi xanh. Do đó có 7.8 = 56 cách lấy

- Lấy 1 bi đỏ và 1 bi vàng: có 7 cách lấy 1 bi đỏ và 5 cách lấy 1 bi vàng. Do đó co 7.5 = 35 cách lấy

- Lấy 1 bi xanh và 1 bi vàng: có 8 cách để lấy 1 bi xanh và 5 cách để lấy 1 bi vàng. Do đó có 8.5 = 40 cách để lấy

- Áp dụng quy tắc cộng cho 3 trường hợp, ta có 56 + 35 + 40 = 131 cách

Vì vậy chọn đáp án là C

Gọi tập hợp E = {0,1,2,3,4,5}

a) Số tự nhiên có hai chữ số khác nhau có dạng:

Với b = 0 thì có 5 cách chọn a ( vì a ≠ 0)

Với b = 5 thì có 4 cách chọn a ( vì a ≠ b và a ≠ 0)

Theo quy tắc cộng, có tất cả 5 + 4 = 9 số tự nhiên cần tìm. Chọn đáp án là C.

b) Số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng

Trong E có các bộ chữ số thoả mãn (*) là:

(0,1,2);(0,1,5);(0,2,4);(1,2,3);(1,3,5);(2,3,4);(3,4,5)

Mỗi bộ gồm ba chữ số khác nhau và khác 0 nên ta viết được 3.2.1 = 6 số có ba chữ số chia hết cho 3

Mỗi bộ gồm ba chữ số khác nhau và có một chữ số 0 nên ta viết được 2.2.1 = 4 số có ba chữ số chia hết cho 3

Vậy theo quy tắc cộng ta có: 6.4 + 4.3 = 36 số có 3 chữ số chia hết cho 3

Chọn đáp án là A

c) Số tự nhiên có 3 chữ số có dạng

Có ba cách chọn chữ số c ( vì c ∈ {0,2,4}).

Ứng với mỗi cách chọn c , có 6 cách chọn chữ số b (vì b ∈ E)

Ứng với mỗi cách chọn c, b có 5 cách chọn chữ số a (vì a ∈ E và a≠ 0)

Áp dụng quy tắc nhân ta có 3.6.5 = 90 số có 3 chữ số. Vì vậy đáp án là B

Nếu chọn áo size S thì sẽ có 5 cách.

Nếu chọn áo size M thì sẽ có 4 cách.

Theo qui tắc cộng, ta có 5+ 4= 9 cách chọn mua áo.

Chọn đáp án A

Nếu chọn một cái quần thì sẽ có 4 cách.

Nếu chọn một cái áo thì sẽ có 6 cách.

Nếu chọn một cái cà vạt thì sẽ có 3 cách.

Theo qui tắc cộng, ta có 4 + 6 + 3 = 13 cách chọn.

II. Bài tập tự luận có giải

Bài 1: Số 253125000 có bao nhiêu ước số tự nhiên?

Lời giải:

Ta có 253125000 = 23.34.58 nên mỗi ước số tự nhiên của số đã cho đều có dạng 2m*3n*5p trong đó m, n, p ≠ N sao cho 0 ≤ m ≤ 3; 0 ≤ n ≤ 4; 0 ≤ p ≤ 8.

Có 4 cách chọn m; m ∈{0; 1; 2; 3}

Có 5 cách chọn n; n ∈{0; 1; 2; 3; 4}

Có 9 cách chọn p; p ∈{0; 1; 2; 3; 4; ....; 8}

Vậy theo qui tắc nhân ta có: 4.5.9 = 180 ước số tự nhiên.

Bài 2: Từ các chữ số 1; 5; 6; 7 có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên có 4 chữ số (không nhất thiết phải khác nhau) ?

Lời giải:

Gọi số cần tìm có dạng abcd với (a, b, c, d) ∈ A = {1, 5, 6, 7}.

Vì số cần tìm có 4 chữ số không nhất thiết khác nhau nên:

a được chọn từ tập A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.

b được chọn từ tập A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.

c được chọn từ tập A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.

d được chọn từ tập A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.

Như vậy, ta có 4.4.4.4 = 256 số cần tìm.

Bài 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn 100 ?

Lời giải:

Các số bé hơn 100 chính là các số có một chữ số và hai chữ số được hình thành từ tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Từ tập A có thể lập được 6 số có một chữ số.

Gọi số có hai chữ số có dạng ab với (a, b) ∈ A.

Trong đó:

a được chọn từ tập A (có 6 phần tử) nên có 6 cách chọn.

b được chọn từ tập A (có 6 phần tử) nên có 6 cách chọn.

Như vậy, ta có 6.6 = 36 số có hai chữ số.

Vậy, từ A có thể lập được 6 + 36 = 42 số tự nhiên bé hơn 100.

Bài 4: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3 ;4; 5 có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau ?

Lời giải:

Gọi số cần tìm có dạng abcd với (a, b, c, d) ∈ A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Vì abcd là số lẻ ⇒ d = {1, 3, 5} ⇒ d có 3 cách chọn.

Khi đó, a có 4 cách chọn (khác 0 và d),.

b có 4 cách chọn và c có 3 cách chọn.

Vậy có tất cả 3.4.4.3 = 144 số cần tìm.

Bài 5: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau ?

Lời giải:

Gọi số cần tìm có dạng abcd với (a, b, c, d) ∈ A= {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Vì abcd là số chẵn ⇒ d = {0, 2, 4}.

TH1. Nếu d = 0, số cần tìm là abc0 Khi đó:

a được chọn từ tập A\{0} nên có 5 cách chọn.

b được chọn từ tập A\{0, a} nên có 4 cách chọn.

c được chọn từ tập A\{0, a, b} nên có 3 cách chọn.

Như vậy, ta có 5.4.3 = 60 số có dạng abc0

TH2. Nếu d ∈ {2, 4} ⇒ d có 2 cách chọn.

Khi đó, a có 4 cách chọn (khác 0 và d),

b có 4 cách chọn và c có 3 cách chọn.

Như vậy, ta có 2.4.4.3 = 96 số cần tìm như trên.

Vậy có tất cả 60 +96 = 156 số cần tìm.

Bài 6: Một bó hoa có 5 hoa hồng trắng, 6 hoa hồng đỏ và 7 hoa hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy ba bông hoa có đủ cả ba màu.

Lời giải:

Để chọn ba bông hoa có đủ cả ba màu (nghĩa là chọn một bông hoa hồng trắng- một bông hoa hồng đỏ- hoa hồng vàng), ta có:

Có 5 cách chọn hoa hồng trắng.

Có 6 cách chọn hoa hồng đỏ.

Có 7 cách chọn hoa hồng vàng.

Vậy theo qui tắc nhân ta có 5.6.7 = 210 cách.

Bài 7: Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm một món ăn trong năm món, một loại quả tráng miệng trong năm loại quả tráng miệng và một nước uống trong ba loại nước uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn.

Lời giải:

Để chọn thực đơn, ta có:

Có 5 cách chọn món ăn.

Có 5 cách chọn quả tráng miệng.

Có 3 cách chọn nước uống.

Vậy theo qui tắc nhân ta có 5.5.3 = 75 cách.

Bài 8: Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người phụ nữ trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó không là vợ chồng?

Lời giải:

Để chọn một người đàn ông và một người phụ nữ không là vợ chồng, ta có

Có 10 cách chọn người đàn ông.

Có 9 cách chọn người phụ nữ ( trừ 1 người là vợ của người đàn ông đã chọn trước đó).

Vậy theo qui tắc nhân ta có 10.9 = 90 cách

Bài 9: Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?

Lời giải:

Từ A đến B có 4 cách.

Từ B đến C có 2 cách.

Từ C đến D có 2 cách.

Vậy theo qui tắc nhân ta có 4.2.3 = 24 cách.

Bài 10: Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (thăm một bạn không quá một lần)?

Lời giải:

Một tuần có bảy ngày và mỗi ngày thăm một bạn.

Có 12 cách chọn bạn vào ngày thứ nhất.

Có 11 cách chọn bạn vào ngày thứ hai ( khác bạn ngày thứ nhất).

Có 10 cách chọn bạn vào ngày thứ ba ( khác bạn ngày thứ nhất, thứ 2)

Có 9 cách chọn bạn vào ngày thứ tư.

Có 8 cách chọn bạn vào ngày thứ năm.

Có 7 cách chọn bạn vào ngày thứ sáu.

Có 6 cách chọn bạn vào ngày thứ bảy.

Vậy theo qui tắc nhân ta có 12.11.10.9.8.7.6 = 3 991 680 cách.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a) Một chữ số ?       

b) Hai chứ số ?    

c) Hai chữ số khác nhau ?

Bài 2 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100 ?

Bài 3 Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da,, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây ?

Bài 4 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a) Một chữ số?

b) Hai chứ số?

c) Hai chữ số khác nhau?

Bài 5 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100? Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?

Bài 6 Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?

Bài 7 Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc cỡ 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu sự lựa chon ( về màu sắc và kích cỡ)?

Bài 8 Một người có 4 cái quần khác nhau, 6 cái áo khác nhau, 3 chiếc cà vạt khác nhau. Để chọn một cái quần hoặc một cái áo hoặc 1 cái cà vạt thì số cách chọn khác nhau là?

Bài 9 Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhua và 10 cuốn tập khác nhau. Một học sinh muốn chọn một đồ vật duy nhất hoặc một cây bút chì hoặc một cây bút bi hoặc một cuốn tập thì số cách chọn khác nhau là?

Bài 10 Trong lớp học có 20 học sinh nam và 24 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn 2 học sinh: 1 nam và 1 nữ tham gia đội cờ đỏ. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn?

B. Lý thuyết Quy tắc đếm

I. Quy tắc cộng

- Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

- Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau, được phát biểu như sau:

Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn và không giao nhau thì:

$n(A\cup B)=n\left(A\right)+n\left(B\right)$

- Chú ý: Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.

- Ví dụ 1. Một lớp học có 21 bạn nữ và 19 bạn nam. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một bạn để làm lớp trưởng. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

+ Trường hợp 1. Giáo viên chọn 1 bạn nam: có 19 cách.

+ Trường hợp 2. Giáo viên chọn 1 bạn  nữ: có 21 cách

Theo quy tắc cộng, giáo viên sẽ có: 19 + 21 = 40 cách chọn 1 bạn làm lớp trưởng.

- Ví dụ 2. Bạn Lan có 10 quyển sách khác nhau; 12 chiếc bút khác nhau và 5 cục tẩy khác nhau. Bạn Lan cần chọn một món đồ để đem tặng Hoa. Hỏi bạn Lan có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

Bạn Lan có thể chọn:

+ Một quyển sách: có 10 cách chọn

+ Một chiếc bút: có 12 cách chọn.

+ Một cục tẩy: có 5 cách chọn.

Theo quy tắc cộng, bạn Lan có: 10 + 12 + 5 =  27 cách chọn.

II. Quy tắc nhân

- Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

- Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên liếp.

- Ví dụ 3. Cho tập A = {1; 3; 4; 5; 6}. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số đôi một khác nhau từ tập A?

Lời giải:

Để tạo ra một số tự nhiên có 2 chữ số đôi một khác nhau từ tập A, ta phải thực hiện liên tiếp hai hành động:

- Hành động 1: Chọn chữ số hàng chục có 5 cách.

- Hành động 2. Chọn chữ số hàng đơn vị. Ứng với mỗi cách chọn chữ số hàng chục, ta có 4 cách chọn chữ số hàng đơn vị (vì chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị).

Theo quy tắc nhân, số các số tự nhiên thỏa mãn đầu bài là: 5.4 = 20 số.

- Ví dụ 4. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 10 món, 1 loại quả tráng miệng trong 6 loại quả tráng miệng và 1 nước uống giải khát trong 4 loại nước uống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn thực đơn?

Lời giải:

Để chọn một thực đơn, ta cần thực hiện liên tiếp ba hành động:

- Chọn 1 món ăn trong 10 món có 10 cách.

- Chọn 1 loại quả tráng miệng trong 6 loại quả tráng miệng có 6 cách.

- Chọn 1 nước uống trong 4 loại nước uống có 4 cách.

Theo quy tắc nhân, số cách cách chọn thực đơn là 10.6.4 = 240 cách.