Trả lời nhanh
Muốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp trực tiếp, em dựng đoạn nối điểm đó với hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng, rồi tính độ dài đoạn ấy. Với hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy, đoạn này thường là đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông của một tam giác vuông xuống cạnh huyền.
Các bước của phương pháp trực tiếp
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) là độ dài đoạn MH, trong đó H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống (α). Phương pháp trực tiếp là cách chỉ ra được ngay đoạn MH ấy, không đổi sang khoảng cách của một điểm khác.
Dạng gặp nhiều ở hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, cần khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Em làm bốn bước.
- Chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng (SAB). Thường BC vuông góc AB vì đáy vuông tại B, và BC vuông góc SA vì SA vuông góc đáy. Hai đường AB và SA cắt nhau, cùng nằm trong (SAB), nên BC vuông góc cả mặt (SAB).
- Trong mặt phẳng (SAB), kẻ AH vuông góc với SB tại H. Khi đó AH vuông góc SB.
- AH cũng vuông góc BC, vì mọi đường trong (SAB) đều vuông góc BC. SB và BC cắt nhau và nằm trong (SBC), nên AH vuông góc (SBC).
- Khoảng cách cần tìm là AH. Tam giác SAB vuông tại A, nên đường cao kẻ từ A tới cạnh huyền SB có độ dài AH = (SA × AB) / SB.
Công thức ở bước 4 chỉ dùng khi góc tại A vuông. Nếu tam giác không vuông tại chân đường cần tính, em không được lấy tích hai cạnh rồi chia cho cạnh thứ ba theo kiểu ấy.
Mỗi kết quả bên dưới được tính lại bằng thể tích. Với cùng một hình chóp, V = (1/3) × diện tích đáy × chiều cao. Cũng chính khối ấy, nếu lấy mặt bên làm đáy, thì V = (1/3) × diện tích mặt bên × khoảng cách từ đỉnh đối diện tới mặt bên. Suy ra khoảng cách d = 3V / S. Hai cách phải ra cùng một số.
Năm ví dụ đã giải và kiểm lại
Ví dụ 1. Đáy vuông tại B
Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC vuông tại B, AB = 3, BC = 4, SA vuông góc đáy và SA = 6. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
BC vuông góc AB và BC vuông góc SA, nên BC vuông góc (SAB). Kẻ AH vuông góc SB trong mặt (SAB). Khi ấy AH vuông góc (SBC). Cạnh huyền SB = √(SA² + AB²) = √(36 + 9) = √45 = 3√5. Do tam giác SAB vuông tại A, AH = (SA × AB) / SB = (6 × 3) / (3√5) = 6/√5 = 6√5/5.
Kiểm bằng thể tích. Diện tích đáy ABC là (1/2) × 3 × 4 = 6. Chiều cao SA = 6, nên V = (1/3) × 6 × 6 = 12. Mặt SBC vuông tại B vì BC vuông góc SB, diện tích (1/2) × SB × BC = (1/2) × 3√5 × 4 = 6√5. Khoảng cách d thỏa (1/3) × 6√5 × d = 12, nên d = 36 / (6√5) = 6/√5 = 6√5/5. Khớp.
Ví dụ 2. Từ A tới mặt bên đối trong hình chóp đáy vuông
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh 4, SA vuông góc đáy và SA = 4. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
CD vuông góc AD và CD vuông góc SA, nên CD vuông góc mặt phẳng (SAD). Trong mặt (SAD), kẻ AH vuông góc SD. AH vuông góc CD và vuông góc SD, nên AH vuông góc (SCD). Tam giác SAD vuông cân tại A, SD = √(16 + 16) = 4√2. AH = (SA × AD) / SD = (4 × 4) / (4√2) = 4/√2 = 2√2.
Kiểm. Tứ diện S.ACD có đáy ACD là nửa hình vuông, diện tích (1/2) × 4 × 4 = 8, chiều cao SA = 4, thể tích (1/3) × 8 × 4 = 32/3. Mặt SCD vuông tại D vì CD vuông góc SD, diện tích (1/2) × CD × SD = (1/2) × 4 × 4√2 = 8√2. Suy ra (1/3) × 8√2 × d = 32/3, nên d = 32 / (8√2) = 4/√2 = 2√2. Khớp.
Ví dụ 3. Đáy cân, hạ vuông góc qua trung điểm
Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc đáy, AB = AC = 5, BC = 6, SA = 4. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Gọi M là trung điểm BC, BM = 3. AM = √(AB² − BM²) = √(25 − 9) = 4, và AM vuông góc BC. Kết hợp SA vuông góc BC, ta có BC vuông góc mặt phẳng (SAM). Kẻ AH vuông góc SM trong mặt này thì AH vuông góc (SBC). SM = √(SA² + AM²) = √(16 + 16) = 4√2. Tam giác SAM vuông tại A, AH = (4 × 4) / (4√2) = 2√2.
Kiểm. Diện tích ABC = (1/2) × BC × AM = (1/2) × 6 × 4 = 12. V = (1/3) × 12 × 4 = 16. SM vuông góc BC nên diện tích SBC = (1/2) × 6 × 4√2 = 12√2. Suy ra d = 3 × 16 / (12√2) = 48 / (12√2) = 4/√2 = 2√2. Khớp.
Ví dụ 4. Đáy chữ nhật
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 6, AD = 3, SA vuông góc đáy và SA = 6. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
BC = AD = 3. BC vuông góc AB và vuông góc SA, nên BC vuông góc (SAB). Kẻ AH vuông góc SB. SB = √(36 + 36) = √72 = 6√2. AH = (6 × 6) / (6√2) = 6/√2 = 3√2.
Kiểm trên tứ diện S.ABC. Diện tích ABC = (1/2) × AB × BC = (1/2) × 6 × 3 = 9. V = (1/3) × 9 × 6 = 18. Mặt SBC vuông tại B, diện tích (1/2) × 3 × 6√2 = 9√2. Suy ra d = 3 × 18 / (9√2) = 54 / (9√2) = 6/√2 = 3√2. Khớp.
Ví dụ 5. Ba cạnh đôi một vuông góc
Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc và SA = AB = AC = 6. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Đặt A ở gốc tọa độ, B và C trên hai trục đáy, S trên trục còn lại. Trung điểm M của BC thỏa AM vuông góc BC. Mặt phẳng qua SA và AM vuông góc với BC. Độ dài AM = 6/√2 = 3√2, SM = √(SA² + AM²) = √(36 + 18) = √54 = 3√6. Tam giác SAM vuông tại A, đường cao từ A tới SM là AH = (SA × AM) / SM = (6 × 3√2) / (3√6) = 6√2 / √6 = 6/√3 = 2√3. AH vuông góc (SBC), nên khoảng cách bằng 2√3.
Kiểm bằng công thức thể tích góc ba mặt vuông: V = (1/6) × SA × AB × AC = (1/6) × 6 × 6 × 6 = 36. Tam giác SBC đều, cạnh SB = SC = BC = 6√2, diện tích (√3/4) × (6√2)² = (√3/4) × 72 = 18√3. Suy ra d = 3 × 36 / (18√3) = 108 / (18√3) = 6/√3 = 2√3. Mặt phẳng SBC có phương trình x + y + z = 6, khoảng cách từ A(0, 0, 0) tới mặt này là 6/√3 = 2√3. Ba cách cùng một kết quả.
| Ví dụ | Đoạn khoảng cách | Kết quả |
|---|---|---|
| 1. SA = 6, AB = 3, BC = 4 | A tới (SBC) | 6√5/5 |
| 2. Đáy vuông cạnh 4, SA = 4 | A tới (SCD) | 2√2 |
| 3. AB = AC = 5, BC = 6, SA = 4 | A tới (SBC) | 2√2 |
| 4. AB = 6, AD = 3, SA = 6 | A tới (SBC) | 3√2 |
| 5. SA = AB = AC = 6, đôi một vuông góc | A tới (SBC) | 2√3 |
Bài luyện có đáp số
Bài 1. Hình chóp S.ABC, đáy vuông tại B, AB = 5, BC = 12, SA vuông góc đáy, SA = 9. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Đáp số: 45/√106, viết chuẩn mẫu là 45√106/106. Cách làm giống ví dụ 1. SB = √(81 + 25) = √106, AH = (9 × 5) / √106 = 45/√106. Thể tích V = (1/3) × 30 × 9 = 90, diện tích SBC = 6√106, và 3 × 90 / (6√106) = 45/√106.
Bài 2. Hình chóp S.ABCD, đáy vuông cạnh 6, SA vuông góc đáy, SA = 8. Tính khoảng cách từ A đến (SCD).
Đáp số: 24/5. SD = √(64 + 36) = 10, AH = (8 × 6) / 10 = 24/5. Thể tích tứ diện S.ACD bằng (1/3) × 18 × 8 = 48, diện tích SCD = 30, d = 144 / 30 = 24/5.
Bài 3. Hình chóp S.ABC, SA vuông góc đáy, tam giác ABC đều cạnh 6, SA = 3√3. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Đáp số: 3√6/2. Đường cao đáy AM = 3√3, SM = √(27 + 27) = 3√6, AH = (3√3 × 3√3) / (3√6) = 9/√6 = 3√6/2. Thể tích V = (1/3) × 9√3 × 3√3 = 27, diện tích SBC = 9√6, d = 81 / (9√6) = 3√6/2.
Bài 4. Hình chóp S.ABC có SA vuông góc đáy, đáy vuông tại A, AB = 7. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
Đáp số: 7. AB vuông góc SA và AB vuông góc AC, nên AB vuông góc (SAC). Chân đường vuông góc từ B xuống (SAC) chính là A, khoảng cách bằng độ dài AB.
Trước khi chép đáp số, em kiểm hai điều: đoạn em vừa gọi là khoảng cách đã vuông góc với hai đường cắt nhau của mặt phẳng chưa, và góc dùng trong công thức tích chia có đúng là góc vuông chưa. Thiếu một trong hai điều ấy thì số dù đẹp vẫn chưa phải khoảng cách.
Câu hỏi thường gặp
Phương pháp trực tiếp là gì?
Là cách dựng đúng đoạn vuông góc từ điểm cần tính xuống mặt phẳng, rồi lấy độ dài đoạn ấy. Đoạn này thường là đường cao của một tam giác vuông.
Công thức đường cao nào hay dùng?
Nếu tam giác SAB vuông tại A và H nằm trên SB thì AH = (SA × AB) / SB. Chỉ dùng khi góc tại A vuông.
Vì sao phải chứng minh vuông góc với hai đường?
Một đường vuông góc với hai đường cắt nhau của mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng ấy. Thiếu một đường thì chưa kết luận được khoảng cách.
Có cách nào kiểm số vừa tính?
Có. Lấy thể tích hình chóp theo hai đáy: 3V chia cho diện tích mặt đang xét phải ra đúng khoảng cách vừa tìm.