Với giải Khám phá 3 trang 75 Toán 8 Tập 1 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 4: Hình bình hành – Hình thoi giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 4: Hình bình hành – Hình thoi

Khám phá 3 trang 75 Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có P là giao điểm của hai đường chéo. Giải thích tại sao AB // CD và AD // BC trong mỗi trường hợp sau:

Trường hợp 1: AB = CD và AD = BC (Hình 7a).

Trường hợp 2: AB // CD và AB = CD (Hình 7b).

Trường hợp 3: AD // BC và AD = BC (Hình 7c).

Trường hợp 4: $\widehat{A}=\widehat{C},\widehat{B}=\widehat{D}$ (Hình 7d).

Trường hợp 5: PA = PC, PB = PD (Hình 7e).

Lời giải:

• Hình 7a):

Xét DABC và DCDA có:

AB = CD; BC = DA; AC là cạnh chung

Do đó DABC = DCDA (c.c.c)

Suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ và $\widehat{BCA}=\widehat{DAC}$ (các cặp góc tương ứng).

Vì $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ và hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Vì $\widehat{BCA}=\widehat{DAC}$ và hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

• Hình 7b):

Ta có $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ và hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Xét DABC và DCDA có:

AC là cạnh chung; $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$; AB = CD

Do đó DABC = DCDA (c.g.c)

Suy ra $\widehat{BCA}=\widehat{DAC}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

• Hình 7c):

Ta có: $\widehat{BCA}=\widehat{DAC}$ và hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Xét DABC và DCDA có:

AC là cạnh chung; $\widehat{BCA}=\widehat{DAC}$; BC = AD

Do đó DABC = DCDA (c.g.c)

Suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

• Hình 7d):

Xét tứ giác ABCD ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°$ (định lí tổng các góc của một tứ giác)

Mà $\widehat{A}=\widehat{C},\widehat{B}=\widehat{D}$ nên ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{A}+\widehat{B}=360°$

Suy ra $\widehat{A}+\widehat{B}=\frac{360°}{2}=180°$ và $\widehat{A}+\widehat{D}=180°$

Do đó AD // BC và AB // CD.

• Hình 7e):

Xét DPAB và DPCD có:

PA = PC; $\widehat{APB}=\widehat{CPD}$ (đối đỉnh); PB = PD

Do đó DPAB = DPCD (c.g.c)

Suy ra $\widehat{BAP}=\widehat{DCP}$ (hai góc tương ứng)

Hay $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$, mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Tương tự ta cũng chứng minh được DPAD = DPCB (c.g.c)

Suy ra $\widehat{DAP}=\widehat{BCP}$ (hai góc tương ứng)

Hay $\widehat{DAC}=\widehat{BCA}$, mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Lý thuyết Hình bình hành

1.1. Định nghĩa hình bình hành

Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

ABCD là hình bình hành có AB // CD và AD // BC.

2.2. Tính chất của hình bình hành

Định lí:

Trong hình bình hành:

– Các cạnh đối bằng nhau.

– Các góc đối bằng nhau.

– Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại E. Hãy chỉ ra các đoạn thẳng và các góc bằng nhau có trong hình.

Hướng dẫn giải

Trong hình bình hành ABCD, ta có:

– Các cạnh đối bằng nhau nên: AD = BC, AB = DC.

– Các góc đối bằng nhau nên: $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}$, $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$.

– Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên: EA = EC, EB = ED.

– Theo tính chất của hai đường thẳng song song, các cặp góc so le trong bằng nhau:

• Do AB // CD nên $\widehat{BAC}=\widehat{ACD}$, $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$.

• Do AD // BC nên $\widehat{BCA}=\widehat{CAD}$ , $\widehat{DBC}=\widehat{BDA}$ .

– Các cặp góc đối đỉnh bằng nhau: $\widehat{AEB}=\widehat{DEC}$ , $\widehat{AED}=\widehat{BEC}$.

– Các góc bẹt bằng nhau: $\widehat{AEC}=\widehat{BED}$.

2.3. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành

Ta có các dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình bình hành như sau:

(1) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

(2) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

(3) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

(4) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

(5) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Ví dụ 2. Trong các tứ giác dưới đây, tứ giác nào là hình bình hành. Vì sao?

Hướng dẫn giải

– Tứ giác PONQ có hai đường chéo PN và OQ cắt nhau tại R là trung điểm của mỗi đường chéo nên tứ giác PONQ là hình bình hành.

– Tứ giác FIHG có các cạnh đối FI = GH và FG = IH nên tứ giác FIGH là hình bình hành.

– Tứ giác JKML có góc đối $\hat{J}\ne \hat{M}$nên tứ giác JKML không phải là hình bình hành.

– Tứ giác SUVT có các góc đối bằng nhau: $\hat{S}=\hat{V}$, $\hat{T}=\hat{U}$nên tứ giác SUVT là hình bình hành.