Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Video bài giảng Bất phương trình bậc nhất hai ẩn - Chân trời sáng tạo

Giải toán lớp 10 trang 29 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khởi động trang 29 Toán lớp 10: Đường thẳng d:y = x + 1 chia mặt phẳng tọa độ thành hai miền (không tính đường thẳng d) như hình bên. Dùng các nhãn dưới đây đặt vào miền phù hợp để đặt tên cho các miền đó.

Lời giải:

Đường thẳng $d:y=x+1$

Xét điểm O(0;0) ta có: $0<0+1$ hay $y_O<x_O+1$.

Vậy điểm O thuộc miền $y<x+1$

1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn

HĐ Khám phá 1 trang 29 Toán lớp 10: Bạn Nam để dành được 700 nghìn đồng. Trong một đợt ủng hộ các bạn học sinh ở vùng bị bão lụt, Nam đã ủng hộ x tờ tiền có mệnh giá 20 nghìn đồng, y tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng từ tiền để dành của mình.

a) Biểu diễn tổng số tiền bạn Nam đã ủng hộ theo x và y.

b) Giải thích tại sao ta lại có bất đẳng thức $20x+50y\le 700$

Lời giải:

a) Nam ủng hộ x tờ tiền mệnh giá 20 nghìn đồng, tương ứng 20.x nghìn đồng

Và y tờ tiền mệnh giá 50 nghìn đồng, tương ứng 50.y nghìn đồng

Tổng số tiền ủng hộ là: $20x+50y$ (nghìn đồng)

b) Vì số tiền ủng hộ ($20x+50y$nghìn đồng) phải nhỏ hơn hoặc bằng có tiền Nam có (700 nghìn đồng) nên ta có bất đẳng thức: $20x+50y\le 700$

Thực hành 1 trang 29 Toán lớp 10: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $2x-3y+1\le 0$

b) $x-3y+1\ge 0$

c) $y-5>0$

d) $x-y^2+1>0$

Phương pháp giải:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng:

$ax+by+c<0;ax+by+c>0;ax+by+c\le 0;ax+by+c\ge 0;$

Trong đó a,b không đồng thời bằng 0.

Lời giải:

Các bất phương trình a), b), c) là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bất phương trình d) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa $y^2.$

2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải toán lớp 10 trang 30 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 2 trang 30 Toán lớp 10: Trường hợp nào sau đây thỏa mãn tình huống được nêu trong Hoạt động khám phá 1?

Trường hợp 1: Nam ủng hộ 2 tờ tiền mệnh giá 20 nghìn đồng và 3 tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng.

Trường hợp 2: Nam ủng hộ 15 tờ tiền mệnh giá 20 nghìn đồng và 10 tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng.

Lời giải:

Trường hợp 1: $x=2,y=3$

$\Rightarrow$Số tiền Nam ủng hộ là: $2.20+3.50=190$ (nghìn đồng) $<700$ nghìn đồng (thỏa mãn).

Trường hợp 2: $x=15,y=10$

$\Rightarrow$Số tiền Nam ủng hộ là: $15.20+10.50=800$ (nghìn đồng) $>700$ nghìn đồng (không thỏa mãn).

Thực hành 2 trang 30 Toán lớp 10: Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình $4x-7y-28\ge 0?$

a) $(9;1)$

b) $(2;6)$

c) $(0;-4)$

Phương pháp giải:

Cặp số $(x_0;y_0)$ là nghiệm của bất phương trình $4x-7y-28\ge 0$ nếu nó thỏa mãn $4x_0-7y_0-28\ge 0$

Lời giải:

a) Vì $4.9-7.1-28=1\ge 0$nên $(9;1)$ là nghiệm của bất phương trình $4x-7y-28\ge 0.$

b) Vì $4.2-7.6-28=-62<0$nên $(2;6)$ không là nghiệm của bất phương trình $4x-7y-28\ge 0.$

c) Vì $4.0-7.(-4)-28=0\ge 0$nên $(0;-4)$ là nghiệm của bất phương trình $4x-7y-28\ge 0.$

Vận dụng 1 trang 30 Toán lớp 10: Cho biết mỗi 100 g thịt bò chứa khoảng 26,1 g protein, một quả trứng nặng 44 g chứa khoảng 5,7 g protein (nguồn: https://www.vinmec.com). Giả sử có một người mỗi ngày cần không quá 60 g protein. Gọi số gam thịt bò và số quả trứng mà người đó ăn trong một ngày lần lượt là x và y.

a) Lập bất phương trình theo x, y diễn tả giới hạn về lượng protein trong khẩu phần ăn hằng ngày của người đó.

b) Dùng bất phương trình ở câu a) để trả lời hai câu hỏi sau:

- Nếu người đó ăn 150 g thịt bò và 2 quả trứng (mỗi quả 44 g) trong một ngày thì có phù hợp không?

- Nếu người đó ăn 200 g thịt bò và 2 quả trứng (mỗi quả 44 g) trong một ngày thì có phù hợp không?

Lời giải:

a) Mỗi gam thịt bò chứa 0,261 g protein.

Người đó ăn x gam thịt bò, tương ứng 0,261.x g protein

Mỗi quả trứng nặng 44 g chứa 5,7 g protein.

Người đó ăn y quả trứng, tương ứng 5,7.x g protein

Như vậy lượng protein trong khẩu phần ăn hằng ngày của người đó là: $0,261x+5,7y$

Mỗi ngày, người đó cần không quá 60 g protein nên ta có bất phương trình: $0,261x+5,7y\le 60$

b)

- Nếu người đó ăn 150 g thịt bò và 2 quả trứng (mỗi quả 44 g) trong một ngày thì lượng protein tương ứng: $150.0,261+2.5,7=50,55\le 60$ $\Rightarrow$Kết luận: phù hợp.

- Nếu người đó ăn 200 g thịt bò và 2 quả trứng (mỗi quả 44 g) trong một ngày thì lượng protein tương ứng: $200.0,261+2.5,7=63,6>60$ $\Rightarrow$Kết luận: Không phù hợp.

3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

HĐ Khám phá 3 trang 30 Toán lớp 10: Cho bất phương trình $2x-y+1<0$

a) Vẽ đường thẳng $y=2x+1$

b) Các cặp số $(-2;0),(0;0),(1;1)$ có là nghiệm của bất phương trình đã cho không?

Lời giải:

a) Đường thẳng $y=2x+1$ đi qua điểm $A(0;1)$ và $B\left(-\frac{1}{2};0\right)$

b)

Vì $2.(-2)-0+1=-3<0$nên $(-2;0)$ là nghiệm của bất phương trình $2x-y+1<0$

Vì $2.0-0+1=1>0$nên $(0;0)$ không là nghiệm của bất phương trình $2x-y+1<0$

Vì $2.1-1+1=2>0$nên $(-2;0)$ không là nghiệm của bất phương trình $2x-y+1<0$

Giải toán lớp 10 trang 32 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 32 Toán lớp 10: Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau:

a) $2x+y-2\le 0$

b) $x-y-2\ge 0$

Lời giải:

a) Vẽ đường thẳng $\mathrm{\Delta }:2x+y-2=0$ đi qua hai điểm $A(0;2)$ và $B\left(1;0\right)$

Xét gốc tọa độ $O(0;0).$ Ta thấy $O\notin \mathrm{\Delta }$ và $2.0+0-2=-2<0$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ $\mathrm{\Delta }$, chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

b) Vẽ đường thẳng $\mathrm{\Delta }:x-y-2=0$ đi qua hai điểm $A(0;-2)$ và $B\left(2;0\right)$

Xét gốc tọa độ $O(0;0).$ Ta thấy $O\notin \mathrm{\Delta }$ và $0-0-2=-2<0$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ $\mathrm{\Delta }$, không chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

Vận dụng 2 trang 32 Toán lớp 10: Biểu diễn miền nghiệm của hai bất phương trình sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy:

a) $y\ge 2$

b) $x\le 4$

Lời giải:

a) Vẽ đường thẳng $\mathrm{\Delta }:y=2$ đi qua hai điểm $A(0;2)$ và $B\left(1;2\right)$

Xét gốc tọa độ $O(0;0).$ Ta thấy $O\notin \mathrm{\Delta }$ và $y_O=0<2$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ $\mathrm{\Delta }$, không chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

b) Vẽ đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }:x=4$ đi qua hai điểm $A^{\prime }(4;0)$ và $B^{\prime }\left(4;1\right)$

Xét gốc tọa độ $O(0;0).$ Ta thấy $O\notin {\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ và $x_O=0<4$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ $\mathrm{\Delta }$, chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

Bài tập

Bài 1 trang 32 Toán lớp 10: Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x-2y+6>0$

a) (0;0) có phải là một nghiệm của bất phương trình đã cho không?

b) Chỉ ra ba cặp số (x;y) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

c) Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình đã cho trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Lời giải:

a) Vì $0-2.0+6=6>0$ nên (0;0) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

b) Vì $0-2.1+6=4>0$ nên (0;1) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vì $1-2.0+6=7>0$ nên (1;0) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vì $1-2.1+6=5>0$ nên (1;1) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

c) Vẽ đường thẳng $\mathrm{\Delta }:x-2y+6=0$ đi qua hai điểm $A(0;3)$ và $B\left(-2;2\right)$

Xét gốc tọa độ $O(0;0).$ Ta thấy $O\notin \mathrm{\Delta }$ và $0-2.0+6=6>0$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ $\mathrm{\Delta }$, chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

Bài 2 trang 32 Toán lớp 10: Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

a) $-x+y+2>0$

b) $y+2\ge 0$

c) $-x+2\le 0$

Lời giải:

a) Vẽ đường thẳng $\mathrm{\Delta }:-x+y+2=0$ đi qua hai điểm $A(2;0)$ và $B\left(0;-2\right)$

Xét gốc tọa độ $O(0;0).$ Ta thấy $O\notin \mathrm{\Delta }$ và $-0+0+2=2>0$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ $\mathrm{\Delta }$, chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

b) Vẽ đường thẳng $\mathrm{\Delta }:y+2=0$ đi qua hai điểm $A(0;-2)$ và $B\left(1;-2\right)$

Xét gốc tọa độ $O(0;0).$ Ta thấy $O\notin \mathrm{\Delta }$ và $0+2=2>0$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ $\mathrm{\Delta }$, chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

c) Vẽ đường thẳng $\mathrm{\Delta }:-x+2=0$ đi qua hai điểm $A(2;0)$ và $B\left(2;1\right)$

Xét gốc tọa độ $O(0;0).$ Ta thấy $O\notin \mathrm{\Delta }$ và $-0+2=2>0$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ $\mathrm{\Delta }$, không chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

Bài 3 trang 32 Toán lớp 10: Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

a) $-x+2+2(y-2)<2(1-x)$

b) $3(x-1)+4(y-2)<5x-3$

Lời giải:

a) Ta có: $-x+2+2(y-2)<2(1-x)\iff 2y+x-4<0$

Vẽ đường thẳng $\mathrm{\Delta }:2y+x-4=0$ đi qua hai điểm $A(2;1)$ và $B\left(0;2\right)$

Xét gốc tọa độ $O(0;0).$ Ta thấy $O\notin \mathrm{\Delta }$ và $2.0+0-4=-4<0$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ $\mathrm{\Delta }$, chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

b) Ta có:$3(x-1)+4(y-2)<5x-3\iff 4y-2x-8<0\iff 2y-x-4<0$

Vẽ đường thẳng $\mathrm{\Delta }:2y-x-4=0$ đi qua hai điểm $A(0;2)$ và $B\left(1;-2\right)$

Xét gốc tọa độ $O(0;0).$ Ta thấy $O\notin \mathrm{\Delta }$ và $2.0-0-4=-4<0$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ $\mathrm{\Delta }$, chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

Bài 4 trang 32 Toán lớp 10: Bạn Cúc muốn pha hai loại nước cam. Để pha một lít nước cam loại I cần 30 g bột cam, còn một lít nước cam loại II cần 20 g bột cam. Gọi x và y lần lượt là số lít nước cam loại I và II pha chế được. Biết rằng Cúc chỉ có thể dùng không quá 100 gam bột cam. Hãy lập các bất phương trình mô tả lít nước cam loại I và II mà bạn Cúc có thể pha chế được và biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình đó trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.

Lời giải:

Để pha x lít nước cam loại I cần 30x g bột cam,

Để pha y lít nước cam loại II cần 20y g bột cam,

Vì Cúc chỉ có thể dùng không quá 100 gam bột cam nên ta có bất phương trình $30x+20y\le 100$

$\iff 3x+2y-10\le 0$

Vẽ đường thẳng $\mathrm{\Delta }:3x+2y-10=0$ đi qua hai điểm $A(0;5)$ và $B\left(2;2\right)$

Xét gốc tọa độ $O(0;0).$ Ta thấy $O\notin \mathrm{\Delta }$ và $3.0+2.0-10=-10<0$

Bài 5 trang 32 Toán lớp 10: Miền không gạch chéo (không kể bờ d) trong mỗi hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào?

Lời giải:

Gọi phương trình đường thẳng $d:ax+by+c=0$

a) Từ hình a) ta thấy d đi qua hai điểm$A(0;2)$ và $B(-5;0)$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}b.2+c=0\\ -5a+c=0\end{array}\Rightarrow c=5a=-2b$

Chọn $a=2\Rightarrow b=-5;c=10$ và $d:2x-5y+10=0$

Điểm O (0;0) thuộc miền nghiệm và $2.0-5.0+10=10>0$

Vậy bất phương trình cần tìm là $2x-5y+10>0$

b) Từ hình b) ta thấy d đi qua hai điểm$A(0;2)$ và $B(3;0)$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}2b+c=0\\ 3a+c=0\end{array}\Rightarrow -c=3a=2b$

Chọn $a=2\Rightarrow b=3;c=-6$ và $d:2x+3y-6=0$

Điểm O (0;0) không thuộc miền nghiệm và $2.0+3.0-6=-6<0$

Vậy bất phương trình cần tìm là $2x+3y-6>0$

Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng

ax + by + c < 0; ax + by + c > 0; ax + by + c ≤ 0; ax + by + c ≥ 0,

trong đó a, b, c là những số cho trước, a, b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn.

Ví dụ:

5x + 2y < 4 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình chứa hai ẩn x, y ở bậc nhất.

5x + 2y – 3z > 3 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình này chứa 3 ẩn x, y, z ở bậc nhất.

2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Xét bất phương trình ax + by + c < 0.

Mỗi cặp số (x₀; y₀) thỏa mãn ax₀ + by₀ + c < 0 được gọi là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Chú ý: Nghiệm của các bất phương trình ax + by + c > 0; ax + by + c ≤ 0; ax + by + c ≥ 0 được định nghĩa tương tự.

Ví dụ:

+ Bất phương trình bậc nhất hai ẩn 5x + 2y < 4 có các cặp nghiệm là (-1; -2); (0; 0); bởi:

Với x = ‒1, y = ‒2 ta có: 5.(‒1) + 2.(‒2) = ‒9 < 4 nên (‒1; ‒2) là nghiệm của bất phương trình 5x + 2y < 4.

Với x = 0, y = 0 ta có: 5. 0 + 2. 0 = 0 < 4 nên (0; 0) là nghiệm của bất phương trình 5x + 2y < 4.

+ Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x ‒ 2y ≥ 4 có các cặp nghiệm là (4; ‒1); (4; 0); bởi:

Với x = 4, y = ‒1 ta có: 4 – 2. (‒1) = 6 ≥ 4 nên (4; ‒1) là nghiệm của bất phương trình x ‒ 2y ≥ 4.

Với x = 4, y = 0 ta có: 4 ‒ 2. 0 = 4 ≥ 4 nên (4; 0) là nghiệm của bất phương trình x ‒ 2y ≥ 4.

3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm (x₀; y₀) sao cho ax₀ + by₀ + c < 0 được gọi là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0.

- Người ta chứng minh được: Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a, b không đồng thời bằng 0) xác định một đường thẳng ∆. Đường thẳng ∆ chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng, trong đó một nửa (không kể bờ ∆) là tập hợp các điểm (x; y) thỏa mãn ax + by + c > 0, nửa còn lại (không kể bờ ∆) là tập hợp các điểm (x; y) thỏa mãn ax + by + c < 0.

Ta có thể biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by + c < 0 như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng ∆: ax + by +c = 0.

Bước 2: Lấy một điểm (x₀; y₀) không thuộc ∆. Tính ax₀ +by₀ + c.

+ Nếu ax₀ + by₀ + c < 0 thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ ∆) chứa điểm (x₀; y₀).

+ Nếu ax₀ + by₀ + c > 0 thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ ∆) không chứa điểm (x₀; y₀).

Chú ý: Đối với các bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c ≤ 0 (hoặc ax + by + c ≥ 0) thì miền nghiệm là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0 (hoặc ax + by + c > 0) kể cả bờ.

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x + 2y – 2 > 0 trên mặt phẳng tọa độ:

Bước 1: Vẽ đường thẳng ∆: x + 2y – 2 = 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bước 2: Lấy điểm O (0; 0) không thuộc ∆ và thay x = 0 và y = 0 vào biểu thức x + 2y – 2 ta được 0 + 2.0 – 2 = ‒2 > 0 là mệnh đề sai.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ ∆ (không kể bờ ∆) không chứa điểm O (miền nghiệm là miền không bị gạch trên hình)

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 1

Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Hàm số và đồ thị