Với giải Bài 56 trang 85 SBT Toán lớp 7 Cánh diều chi tiết trong Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 7. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 7 Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên

Bài 56 trang 85 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng a đi qua A. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng a. Chứng minh:

a) $\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$;

b) CN = MA;

c) Nếu a song song với BC thì MA = AN.

Lời giải:

a) Xét ∆MAB vuông tại M có: $\widehat{ABM}+\widehat{MAB}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90^o).

Ta có $\widehat{MAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAN}=180°$

Suy ra $\widehat{MAB}+\widehat{CAN}=180°-\widehat{BAC}=90°$

Lại có $\widehat{ABM}+\widehat{MAB}=90°$

Suy ra $\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$.

Vậy $\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$.

b) Xét ∆MAB và ∆NCA có:

$\widehat{BMA}=\widehat{ANC}\left(=90°\right)$,

BA = AC (vì tam giác ABC vuông cân tại A),

$\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$ (chứng minh câu a).

Do đó ∆MAB = ∆NCA (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MA = NC (hai cạnh tương ứng).

Vậy MA = NC.

c) Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$

Lại có $\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180°$ (tổng ba góc của tam giác ABC)

Suy ra $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=\frac{180°-90°}{2}=45°$.

• Nếu a // BC thì $\widehat{MAB}=\widehat{ABC}$ (hai góc so le trong).

Do đó $\widehat{MAB}=45°$.

Xét ∆ABM có $\widehat{AMB}+\widehat{MBA}+\widehat{MAB}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{MBA}=180°-\widehat{AMB}-\widehat{MAB}=180°-90°-45°=45°$.

Do đó $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}$ (cùng bằng 45°).

Xét ∆AMB có $\widehat{AMB}=90°$ và $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}$ nên ∆AMB vuông cân tại M.

Suy ra MA = MB (1)

• Nếu a // BC thì $\widehat{CAN}=\widehat{ACB}=45°$ (hai góc so le trong)

Xét ∆ABM có $\widehat{ACN}+\widehat{ANC}+\widehat{CAN}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{ACN}=180°-\widehat{ANC}-\widehat{CAN}=180°-90°-45°=45°$.

Do đó $\widehat{ACN}=\widehat{CAN}$ (cùng bằng 45°).

Xét ∆ANC có $\widehat{ANC}=90°$ và $\widehat{ACN}=\widehat{CAN}$ nên ∆ANC vuông cân tại N.

Suy ra CN = AN (2)

Từ (1) và (2) suy ra MA = AN.

Vậy MA = AN.