Với giải sách bài tập Toán 7 Bài 2: Đa thức một biến. Nghiệm của đa thức một biến sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 7. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 7 Bài 2: Đa thức một biến. Nghiệm của đa thức một biến

Giải SBT Toán 7 trang 42 Tập 2

Bài 17 trang 42 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Lực F (N) của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc v (m/s) của gió, ta có công thức F = 30v².

a) Tính lực F khi v = 15; v = 20.

b) Biết cánh buồm chỉ có thể chịu được áp lực tối đa là 12 000 N, hỏi con thuyền có thể đi được trong gió bão với vận tốc gió 90 km/h hay không?

Lời giải:

a) Khi v = 15 thay vào công thức F = 30v² ta có:

F = 30 . 15² = 30 . 225 = 6 750 (N).

Khi v = 20 thay vào công thức F = 30v² ta có:

F = 30 . 20² = 12 000 (N).

Vậy lực F khi v = 15; v = 20 lần lượt là 6 750 N và 12 000 N.

b) Đổi 90 km/h = $\frac{90.1000}{1.3600}$ = 25 m/s.

Khi v = 25 thay vào công thức F = 30v² ta có:

F = 30 . 25² = 18 750 (N).

Do 18 750 > 12 000 nên con thuyền không đi được trong gió bão với vận tốc 25 m/s.

Vậy con thuyền không đi được trong gió bão với vận tốc 90 km/h.

Bài 18 trang 42 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Dung tích phổi của mỗi người phụ thuộc vào một số yếu tố, trong đó có hai yếu tố quan trọng là chiều cao và độ tuổi. Các nhà khoa học đã đưa ra công thức ước tính dung tích chuẩn phổi của mỗi người theo giới tính như sau:

Nam: P = 0,057h – 0,022a – 4,23;

Nữ: Q = 0,041h – 0,018a – 2,69.

Trong đó: h là chiều cao tính bằng xăng-ti-mét; a là tuổi tính bằng năm; P và Q là dung tích chuẩn của phổi tính bằng lít.

(Nguồn: Toán 7, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2020)

a) Theo công thức trên, nếu bạn Chi (nữ) 13 tuổi, cao 150 cm và bạn Hùng (nam) 13 tuổi, cao 160 cm thì dung tích chuẩn phổi của mỗi bạn là bao nhiêu?

b) Em hãy tính dung tích chuẩn phổi của mình theo công thức trên.

Lời giải:

a) Dung tích chuẩn phổi của bạn Chi (nữ) 13 tuổi, cao 150 cm là:

Q = 0,041 . 150 – 0,018 . 13 – 2,69 = 3,226 (l).

Dung tích chuẩn phổi của bạn Hùng (nam) 13 tuổi, cao 160 cm là:

P = 0,057 . 160 – 0,022 . 13 – 4,23 = 4,604 (l).

b) Học sinh thực hiện tương tự như phần a)

Giải SBT Toán 7 trang 43 Tập 2

Bài 19 trang 43 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho đa thức R(x) = x² + 5x⁴ – 3x³ + x² + 4x⁴ + 3x³ – x + 5.

a) Thu gọn và sắp xếp đa thức R(x) theo số mũ giảm dần của biến.

b) Tìm bậc của đa thức R(x).

c) Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức R(x)..

d) Tính R(‒1), R(0), R(1), R(‒a) (với a là một số).

Lời giải:

a) Ta có:

R(x) = x² + 5x⁴ – 3x³ + x² + 4x⁴ + 3x³ – x + 5

= (5x⁴ + 4x⁴) + (– 3x³ + 3x³) + (x² + x²) – x + 5

= 9x⁴ + 2x² – x + 5.

Vậy thu gọn và sắp xếp đa thức R(x) theo số mũ giảm dần của biến ta được R(x) = 9x⁴ + 2x² – x + 5.

b) Đa thức R(x) = 9x⁴ + 2x² – x + 5 có bậc là 4 (do số mũ cao nhất của biến x trong đa thức là 4).

c) Đa thức R(x) = 9x⁴ + 2x² – x + 5 có hệ số cao nhất là 9 và hệ số tự do là 5.

d) Ta có:

• R(‒1) = 9 . (‒1)⁴ + 2 . (‒1)² – (‒1) + 5

= 9 . 1 + 2 . 1 + 1 + 5 = 17.

• R(0) = 9 . 0⁴ + 2 . 0² – 0 + 5 = 5.

• R(1) = 9 . 1⁴ + 2 . 1² – 1 + 5 = 15.

• R(‒a) = 9 . (‒a)⁴ + 2 . (‒a)² – (‒a) + 5

= 9a⁴ + 2a² + a + 5.

Vậy R(‒1) = 17; R(0) = 5; R(1) = 15 và R(‒a) = 9a⁴ + 2a² + a + 5.

Bài 20 trang 43 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho đa thức P(x) = 4x⁴ + 2x³ – x⁴ – x².

a) Tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức P(x).

b) Mỗi phần tử của tập hợp $\left(-1;\frac{1}{2}\right)$ có là nghiệm của đa thức P(x) không? Vì sao?

Lời giải:

a) Ta có:

P(x) = 4x⁴ + 2x³ – x⁴ – x²

= (4x⁴ – x⁴) + 2x³ – x²

= 3x⁴ + 2x³ – x²

Đa thức P(x) có bậc là 4, hệ số cao nhất là 3 và hệ số tự do là 0.

b)

• Thay x = ‒1 vào P(x) = 3x⁴ + 2x³ – x² ta được:

P(‒1) = 3 . (‒1)⁴ + 2 . (‒1)³ – (‒1)²

= 3 . 1 + 2 . (‒1) – 1

= 0.

Do đó x = ‒1 là nghiệm của đa thức P(x).

• Thay x = $\frac{1}{2}$ vào P(x) = 3x⁴ + 2x³ – x² ta được:

$P\left(\frac{1}{2}\right)=3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^4+2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^3-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$

$=3.\frac{1}{16}+2.\frac{1}{8}-\frac{1}{4}$

$=\frac{3}{16}$.

Vì $\frac{3}{16}$ ≠ 0 nên x = $\frac{1}{2}$ không là nghiệm của đa thức P(x).

Vậy phần tử ‒1 của $\left(-1;\frac{1}{2}\right)$ là nghiệm của đa thức P(x).

Bài 21 trang 43 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tìm bậc của mỗi đa thức sau:

a) 2 – 3x² + 5x⁴ – x – x² – 5x⁴ + 3x³;

b) 2x³ – 6x⁷;

c) 1 – x;

d) – 3;

e) 0.

Lời giải:

a) Ta có:

2 – 3x² + 5x⁴ – x – x² – 5x⁴ + 3x³

= (5x⁴ – 5x⁴) + 3x³ + (– 3x² – x²) – x + 2

= 3x³ – 4x² – x + 2.

Đa thức trên có bậc là 3 do số mũ cao nhất của biến x là 3.

b) Đa thức 2x³ – 6x⁷ có bậc là 7 do số mũ cao nhất của biến x là 7.

c) Đa thức 1 – x có bậc là 1 do số mũ cao nhất của biến x là 1.

d) Đa thức – 3 có bậc là 0 do số mũ cao nhất của biến x là 0.

e) Đa thức 0 không có bậc.

Bài 22 trang 43 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Kiểm tra xem:

a) x = $\frac{1}{2}$, x = $-\frac{1}{2}$ có là nghiệm của đa thức P(x) = 2x – 1 hay không;

b) x = 2, x = $-\frac{1}{2}$ có là nghiệm của đa thức Q(x) = –3x + 6 hay không;

c) t = 0, t = 2 có là nghiệm của đa thức R(t) = t² + 2t hay không;

d) t = 0, t = 1, t = –1 có là nghiệm của đa thức H(t) = t³ – t hay không.

Lời giải:

a) Xét đa thức P(x) = 2x – 1.

• Thay x = $\frac{1}{2}$ vào P(x) ta được:

$P\left(\frac{1}{2}\right)=2.\frac{1}{2}-1=0$.

Do đó x = $\frac{1}{2}$ là nghiệm của đa thức P(x) = 2x – 1.

• Thay x = $-\frac{1}{2}$ vào P(x) ta được:

$P\left(-\frac{1}{2}\right)=2.\left(-\frac{1}{2}\right)-1=-2\ne 0$.

Do đó x = $-\frac{1}{2}$ không là nghiệm của đa thức P(x) = 2x – 1.

Vậy x = $\frac{1}{2}$ là nghiệm; x = $-\frac{1}{2}$ không là nghiệm của đa thức P(x) = 2x – 1.

b) Xét đa thức Q(x) = –3x + 6.

• Thay x = 2 vào đa thức Q(x) ta được:

Q(2) = –3 . 2 + 6 = 0.

Do đó x = 2 là nghiệm của đa thức Q(x) = –3x + 6.

• Thay x = $-\frac{1}{2}$ vào đa thức Q(x) ta được:

$Q\left(-\frac{1}{2}\right)=-3.\left(-\frac{1}{2}\right)+6=\frac{15}{2}\ne 0.$

Do đó x = $-\frac{1}{2}$ không là nghiệm của đa thức Q(x) = –3x + 6.

Vậy x = 2 là nghiệm; x = $-\frac{1}{2}$ không là nghiệm của đa thức Q(x) = –3x + 6.

c) Xét đa thức R(t) = t² + 2t.

• Thay t = 0 vào đa thức R(t) ta được:

R(0) = 0² + 2 . 0 = 0.

Do đó t = 0 là nghiệm của đa thức R(t) = t² + 2t.

• Thay t = 2 vào đa thức R(t) ta được:

R(2) = 2² + 2 . 2 = 8 ≠ 0.

Do đó t = 2 không là nghiệm của đa thức R(t) = t² + 2t.

Vậy t = 0 là nghiệm; t = 2 không là nghiệm của đa thức R(t) = t² + 2t.

d) Xét đa thức H(t) = t³ – t.

• Thay t = 0 vào đa thức H(t) ta được:

H(0) = 0³ – 0 = 0.

Do đó t = 0 là nghiệm của đa thức H(t) = t³ – t.

• Thay t = 1 vào đa thức H(t) ta được:

H(1) = 1³ – 1 = 0.

Do đó t = 1 là nghiệm của đa thức H(t) = t³ – t.

• Thay t = –1 vào đa thức H(t) ta được:

H(‒1) = (‒1)³ – (‒1) = 0.

Do đó t = ‒1 là nghiệm của đa thức H(t) = t³ – t.

Vậy t = 0, t = 1, t = –1 đều là nghiệm của đa thức H(t) = t³ – t.

Bài 23 trang 43 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm:

a) x² + 4;

b) 10x² + $\frac{3}{4}$;

c) (x – 1)² + 7.

Lời giải:

a) Vì x² ≥ 0 với mọi giá trị của x.

Nên x² + 4 ≥ 4 với mọi giá trị của x.

Hay x² + 4 > 0 với mọi giá trị của x.

Do đó đa thức x² + 4 không có nghiệm với mọi giá trị của x.

Vậy đa thức x² + 4 không có nghiệm.

b) Vì x² ≥ 0 với mọi giá trị của x.

Nên 10x² ≥ 0 với mọi giá trị của x.

Suy ra 10x² + $\frac{3}{4}$≥ $\frac{3}{4}$ với mọi giá trị của x.

Hay 10x² + $\frac{3}{4}$ > 0 với mọi giá trị của x.

Do đó đa thức 10x² + $\frac{3}{4}$ không có nghiệm với mọi giá trị của x.

Vậy đa thức 10x² + $\frac{3}{4}$ không có nghiệm.

c) Vì (x – 1)² ≥ 0 với mọi giá trị của x.

Nên (x – 1)² + 7 ≥ 7 với mọi giá trị của x.

Hay (x – 1)² + 7 > 0 với mọi giá trị của x.

Do đó đa thức (x – 1)² + 7 không có nghiệm với mọi giá trị của x.

Vậy đa thức (x – 1)² + 7 không có nghiệm.

Giải SBT Toán 7 trang 44 Tập 2

Bài 24 trang 44 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Đố?

Tác phẩm “TRUYỆN …” là một truyện thơ của đại thi hào Nguyễn Du. Tác phẩm đó được xem là một trong những truyện thơ nổi tiếng nhất và xét vào hàng kinh điển trong văn học Việt Nam, nó được viết theo thể thơ lục bát, gồm 3 254 câu.

Em sẽ biết từ còn thiếu của tên truyện thơ trên bằng cách thu gọn mỗi đa thức sau rồi viết các chữ tương ứng với kết quả tìm được vào các ô trống trong bảng dưới đây:

I. 3x³ + $\frac{1}{3}$x³ – $\frac{1}{2}$x³;

Ề. 2021x + (–2021x);

K. $-\frac{1}{5}$x⁴ – $\frac{1}{2}$x⁴ + $\frac{1}{7}$x⁴;

U. 6x² + $\frac{1}{6}$x² – $\frac{1}{5}$x².

Lời giải:

Ta thu gọn các đa thức:

I. 3x³ + $\frac{1}{3}$x³ – $\frac{1}{2}$x³ = $\left(3+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)$x³ = $\frac{17}{6}$x³;

Ề. 2021x + (–2021x) = (2021 – 2021)x = 0.

K. $-\frac{1}{5}$x⁴ – $\frac{1}{2}$x⁴ + $\frac{1}{7}$x⁴ = $\left(-\frac{1}{5}-\frac{1}{2}+\frac{1}{7}\right)$x⁴ = $-\frac{39}{70}$x⁴;

U. 6x² + $\frac{1}{6}$x² – $\frac{1}{5}$x² = $\left(6+\frac{1}{6}-\frac{1}{5}\right)$x² = $\frac{179}{30}$x².

Vậy truyện thơ đó là “TRUYỆN KIỀU”.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

SBT Toán 7 Bài 1 : Biểu thức số. Biểu thức đại số

SBT Toán 7 Bài 2 : Đa thức một biến. Nghiệm của đa thức một biến 

SBT Toán 7 Bài 3 : Phép cộng, phép trừ đa thức một biến

SBT Toán 7 Bài 4 : Phép nhân đa thức một biến

SBT Toán 7 Bài 5 : Phép chia đa thức một biến

Lý thuyết Đa thức một biến. Nghiệm của đa thức một biến

I. Đơn thức một biến. Đa thức một biến

1. Đơn thức một biến

– Đơn thức một biến là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một tích của một số với luỹ thừa có số mũ nguyên dương của biến đó.

Chẳng hạn: x², 2x³ là các đơn thức một biến x.

– Chú ý:

+ Mỗi đơn thức (một biến x) nếu không phải là một số thì có dạng ax^k, trong đó a là số thực khác 0 và k là số nguyên dương. Lúc đó, số a được gọi là hệ số của đơn thức ax^k.

+ Để thuận tiện cho việc thực hiện các phép tính (trên các đơn thức, đa thức, …), một số thực khác 0 được coi là đơn thức với số mũ của biến bằng 0.

Ví dụ: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) x + 1 là đơn thức một biến x;

b) 2x² là đơn thức một biến x;

c) 0 không là đơn thức một biến.

Hướng dẫn giải

a) Sai. Vì đơn thức một biến chỉ gồm một số hoặc một tích của một số với luỹ thừa của biến đó nên x² + 1 không phải là đơn thức một biến mà là đa thức một biến.

b) Đúng. Vì 2x² là tích của 2 với luỹ thừa 2 của biến x nên 2x² là đơn thức một biến x.

c) Sai. Vì một số cũng là đơn thức nên 0 là đơn thức một biến.

2. Đa thức một biến

– Đa thức một biến là tổng những đơn thức của cùng một biến.

Chẳng hạn: 3x² + 2x là đa thức của biến x.

– Chú ý:

+ Mỗi số được xem là một đa thức (một biến).

+ Số 0 được gọi là đa thức không.

+ Mỗi đơn thức cũng là một đa thức.

+ Thông thường ta kí hiệu đa thức một biến x là P(x), Q(x), A(x), B(x), …

Ví dụ: Biểu thức nào sau đây là đa thức một biến x?

a) x² – 9;

b) 2022;

c) 3x + y;

d) $\frac{25}{{\text{x}}^2}$+ 2x + 1.

Hướng dẫn giải

a) x² – 9 là đa thức một biến x vì là hiệu của 2 đơn thức một biến x là x² và 9.

b) 2022 là một số nên cũng được xem là một đa thức một biến.

c) 3x + y không phải là đa thức một biến x vì có cả biến y.

d) $\frac{25}{{\text{x}}^2}$+ 2x + 1 không phải là đa thức một biến x vì $\frac{25}{{\text{x}}^2}$ không phải là tích của một số với luỹ thừa có số mũ nguyên dương của biến x.

II. Cộng trừ đơn thức có cùng số mũ của biến

– Để cộng (trừ) hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta cộng (hay trừ) hai hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến:

• ax^k + bx^k = (a + b)x^k;

• ax^k – bx^k = (a – b)x^k (k ∈ ℕ*).

Ví dụ: Thực hiện mỗi phép tính sau:

a) 13x² + 7x²;

b) 4x³ – 3x³;

c) a⁴ + 1,5a⁴ + 0,5a⁴.

Hướng dẫn giải

a) 13x² + 7x² = (13 + 7)x² = 20x²;

b) 4x³ – 3x³ = (4 – 3)x³ = 1.x³ = x³;

c) a⁴ + 1,5a⁴ + 0,5a⁴ = (1 + 1,5 + 0,5)a⁴ = 3a⁴.

III. Sắp xếp đa thức một biến

1. Thu gọn đa thức

Thu gọn đa thức một biến là làm cho đa thức đó không còn hai đơn thức nào có cùng số mũ của biến.

Ví dụ: Thu gọn đa thức:

a) P(x) = 3x² – 4x² + x³ + 3x³ – 4x + x + 1;

b) Q(x) = 2 – 3,5x⁴ – 5x² + 3x² + x + $\frac{7}{2}$x⁴ – 2x³ – 1.

Hướng dẫn giải

a) P(x) = 3x² – 4x² + x³ + 3x³ – 4x + x + 1

= (3 – 4)x² + (1 + 3)x³ + (–4 + 1)x + 1

= –x² + 4x³ – 3x + 1

Vậy dạng thu gọn của đa thức P(x) là –x² + 4x³ – 3x + 1.

b) Q(x) = 2 – 3,5x⁴ – 5x² + 3x² + x + $\frac{7}{2}$x⁴ – 2x³ – 1

= (2 – 1) + (–3,5x⁴ + $\frac{7}{2}$x⁴) + (– 5x² + 3x²) + x – 2x³

= 1 + $\left(-3,5+\frac{7}{2}\right)$x⁴ + (– 5 + 3)x² + x – 2x³

= 1 + 0x⁴ – 2x² + x – 2x³

 = 1 – 2x² + x – 2x³

Vậy dạng thu gọn của đa thức Q(x) là 1 – 2x² + x – 2x³.

2. Sắp xếp một đa thức

– Sắp xếp đa thức (một biến) theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến là sắp xếp các đơn thức trong dạng thu gọn của đa thức đó theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến.

– Chú ý: Trong dạng thu gọn của đa thức, hệ số của mỗi đơn thức được gọi là hệ số của đa thức đó.

Ví dụ: Sắp xếp đa thức A(x) = 3x² + 5x⁴ – x⁵ + 2x – 1 theo số mũ giảm dần của biến.

Hướng dẫn giải

A(x) = 3x² + 5x⁴ – x⁵ + 2x – 1

= –x⁵ + 5x⁴ + 3x² + 2x – 1.

Vậy sắp xếp đa thức A(x) theo số mũ giảm dần của biến ta được A(x) = –x⁵ + 5x⁴ + 3x² + 2x – 1.

Ví dụ: Cho đa thức P(x) = 3x² + 5x³ – 10x + 2x³ – 8x² + 9 + 6x.

Hãy thu gọn sau đó sắp xếp đa thức theo số mũ giảm dần của biến.

Hướng dẫn giải

P(x) = 3x² + 5x³ – 10x + 2x³ – 8x² + 9 + 6x

= (5x³ + 2x³) + (3x² – 8x²) + (–10x + 6x) + 9

= 7x³ – 5x² – 4x + 9

Vậy P(x) = = 7x³ – 5x² – 4x + 9.

IV. Bậc của đa thức một biến

– Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đa thu gọn) là số mũ cao nhất của biến trong đa thức đó.

– Chú ý:

+ Trong dạng thu gọn của đa thức, hệ số của luỹ thừa với số mũ cao nhất của biến còn gọi là hệ số cao nhất của đa thức; số hạng không chứa biến còn gọi là hệ số tự do của đa thức.

+ Một số khác 0 là đa thức bậc 0.

+ Đa thức không (số 0) không có bậc.

Ví dụ: Cho đa thức P(x) = x² + 2x² + 6x + 2x – 3.

a) Sắp xếp đa thức P(x) theo số mũ giảm dần của biến;

b) Tìm bậc của đa thức P(x);

c) Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức P(x).

Hướng dẫn giải

a) P(x) = x² + 2x² + 6x + 2x – 3

= (x² + 2x²) + (6x + 2x) – 3

= (1 + 2)x² + (6 + 2)x – 3

= 3x² + 8x – 3

Vậy P(x) = 3x² + 8x – 3.

b) Bậc của đa thức P(x) là 2 vì số mũ cao nhất của x trong đa thức P(x) là 2.

c) Đa thức P(x) có hệ số cao nhất là 3 và hệ số tự do là –3.

V. Nghiệm của đa thức một biến

– Giá trị của đa thức P(x) tại x = a được kí hiệu là P(a).

– Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì a (hoặc x = a) gọi là một nghiệm của đa thức đó.

– Chú ý:

• x = a là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(a) = 0.

• Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm, … hoặc không có nghiệm. Số nghiệm của một đa thức không vượt quá bậc của đa thức đó.

Ví dụ: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) x = 1 là nghiệm của đa thức A(x) = 2x – 2;

b) y = 3 là nghiệm của đa thức B(y) = 4y – 3;

c) z = 1 không là nghiệm của đa thức C(z) = z² + 1.

Hướng dẫn giải

a) Đúng. Vì A(1) = 2.1 – 2 = 0 nên x = 1 là nghiệm của đa thức A(x).

b) Sai. Vì B(3) = 4.3 – 3 = 9 ≠ 0 nên y = 3 không phải là nghiệm của B(y).

c) Đúng. Vì C(1) = 1² + 1 = 2 ≠ 0 nên z = 1 không phải là nghiệm của C(z).

Ví dụ: Cho P(x) = x² – 1. Tìm nghiệm của đa thức P(x).

Hướng dẫn giải

Ta có: P(x) = 0

Suy ra x² – 1 = 0

Do đó x² = 1

Hay x² = 1² = (–1)²

Suy ra x = 1 hoặc x = –1.

Vậy P(x) có nghiệm là x = 1, x = –1.