Với giải sách bài tập Toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 7. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Giải SBT Toán 7 trang 50 Tập 2

Bài 9.5 trang 50 SBT Toán 7 Tập 2: Cho hai đường thẳng song song c và d. Chứng minh rằng khoảng cách từ mọi điểm thuộc c đến đường thẳng d bằng nhau và bằng khoảng cách từ mọi điểm thuộc đường thẳng d đến đường thẳng c (khoảng cách đó được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song c và d).

Lời giải:

Lấy M và M’ thuộc đường thẳng c (M khác M’).

Kẻ MH và M’H’ vuông góc với đường thẳng d (H và H’ thuộc đường thẳng d).

Do MH ⏊ d và M’H’ ⏊ d nên suy ra MH // M’H’.

Xét ∆MHH’ và ∆H’M’M có:

Cạnh MH’ chung

${\widehat{H\text{'}}}_1={\hat{M}}_2$ (so le trong, do MM’ // HH’)

${\widehat{H\text{'}}}_1={\hat{M}}_2$ (so le trong, do MH // M’H’)

Do đó ∆MHH’ = ∆H’M’M (g.c.g)

Suy ra MH = M’H’ (hai cặp cạnh tương ứng). Độ dài MH gọi là khoảng cách từ c đến d.

Vậy khoảng cách từ mọi điểm thuộc c đến đường thẳng d bằng nhau và bằng khoảng cách từ mọi điểm thuộc đường thẳng d đến đường thẳng c.

Bài 9.6 trang 50 SBT Toán 7 Tập 2: Cho hai điểm phân biệt M, M’ ở cùng phía đối với đường thẳng d (M, M’ không thuộc d). Chứng minh rằng nếu M, M’ có cùng khoảng cách đến đường thẳng d thì MM’ song song với d.

Lời giải:

Kẻ MH và M’H’ vuông góc với đường thẳng d (H và H’ thuộc đường thẳng d).

Do MH ⏊ d và M’H’ ⏊ d nên suy ra MH // M’H’.

Xét ∆MHH’ và ∆H’M’M có:

Cạnh MH’ chung

$\widehat{HMH\text{'}}=\widehat{M\text{'}H\text{'}M}$ (so le trong, do MH // M’H’)

MH = H’M’ (gt)

Do đó ∆MHH’ = ∆H’M’M (c.g.c).

Suy ra $\widehat{MH\text{'}H}=\widehat{H\text{'}MM\text{'}}$ (hai góc tương ứng).

Hai góc trên ở vị trí so le trong nên ta suy ra được MM’ // d.

Bài 9.7 trang 50 SBT Toán 7 Tập 2: Dùng thước hai lề ta có thể dựng cặp đường thẳng song song với khoảng cách h không đổi.

Cho góc xOy. Dùng thước hai lề dựng cặp đường thẳng song song gồm đường thẳng chứa tia Ox và đường thẳng x’ (sao cho x’ cắt Oy) rồi dùng thước đo hai lề đó, dựng cặp đường thẳng song song gồm đường thẳng chứa tia Oy và đường thẳng y’ (sao cho y’ cắt Ox). Hai đường thẳng x’ và y’ cắt nhau tại P. Chứng minh rằng tia OP là tia phân giác của góc xOy.

Lời giải:

Do P thuộc đường thẳng x’ nên khoảng cách từ P đến x là PK và bằng h (vì x // x’) (1)

Do P thuộc đường thẳng y’ nên khoảng cách từ P đến y là PJ và bằng h (vì y // y’) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: Khoảng cách từ P đến x bằng khoảng cách từ P đến y.

Hay điểm P cách đều hai đường thẳng x và y.

Do đó P nằm trên đường phân giác của góc xOy (đpcm).

Bài 9.8 trang 50 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Chứng minh rằng khoảng cách từ B đến đường thẳng AC bằng khoảng cách từ C đến đường thẳng AB.

Lời giải:

Kẻ BD ⏊ AC (D ∈ AC); CE ⏊AB (E ∈ AB).

Xét ∆ADB và ∆AEC có:

$\hat{A}$ chung

$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\left(=90°\right)$

AB = AC (Do ∆ABC cân tại A)

Do đó ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra BD = CE (hai cạnh tương ứng) (đpcm).

Bài 9.9 trang 50 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A và một điểm M tùy ý thuộc đoạn thẳng BC, M khác B và C. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ điểm M đến các đường thẳng AB, AC là một số không đổi.

Lời giải:

Gọi BG và CH là đường cao kẻ từ B và C của ∆ABC.

Gọi MD, ME lần lượt là khoảng cách từ M đến AB và AC.

Kẻ MF song song với cạnh AC (F ∈ AB).

MF giao với BG tại điểm I.

Tương tự cách làm của Bài 9.8 trong tam giác ABC cân tại A thì khoảng cách từ B đến AC bằng khoảng cách từ C đến AB. Ta dễ dàng suy ra được: BG = CH (4)

Tổng khoảng cách từ M đến AB và AC là MD + ME (1)

Ta có:

+) BG và ME cùng vuông góc với AC nên suy ra ME // BG hay ME // IG

Lại có: MF song song với AC hay MI // EG.

Suy ra MIGE là hình chữ nhật.

Do đó ME = IG (2)

+) Tam giác FBM cân tại F (do hai góc B và M bằng nhau). Với MD là khoảng cách từ M đến FB và BI là khoảng cách từ điểm B đến FM. Chứng minh tương tự Bài 9.8, ta dễ dàng suy ra được MD = BI (3)

Từ (1), (2), (3), (4) nên suy ra: MD + ME = BI + IG = BG = CH.

Vậy tổng khoảng cách từ M đến AB và AC chinh bằng khoảng cách từ C đến AB nên không đổi (đpcm).

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 31: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh trong một tam giác

Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Ôn tập chương 9

Lý thuyết Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

1. Khái niệm đường vuông góc và đường xiên

Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, kẻ đường thẳng vuông góc với d tại H. Lấy một điểm M trên d (M khác H), kẻ đoạn thẳng AM.

Trong hình trên đây:

+ Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

+ H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống d.

+ Đoạn thẳng AM là một đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d.

2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Ví dụ: Từ một điểm A nằm ngoài đường thẳng d, kẻ AH vuông góc với d và H nằm trên đường thẳng d. Lấy bất kì ba điểm B, C, D thuộc đường thẳng d và không trùng với H. So sánh độ dài đoạn AH và các đoạn AB, AC, AD.

Trong hình vẽ trên đây, AH được gọi là đường vuông góc và AB, AC, AD lần lượt là các đường xiên.

Theo định lí 1 ta suy ra đươc trong các đoạn thẳng MH, MA, MB, MC thì MH là đường ngắn nhất hay AH < AB, AH < AC, AH < AD.

Chú ý: Vì độ dài đoạn thẳng AH là ngắn nhất trong các đoạn thẳng kẻ từ A đến d nên độ dài đoạn thẳng AH được gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.