Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Các số liệu đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm chi tiết sách Toán 10 Tập 2 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Các số liệu đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Giải Toán 10 trang 35 Tập 2

Câu hỏi khởi động trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Kết quả 5 bài kiểm tra môn Toán của hai bạn Dũng và Huy được thống kê trong bảng sau:

Kết quả làm bài kiểm tra môn Toán của bạn nào đồng đều hơn?

Lời giải:

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Số trung bình cộng điểm kiểm tra của bạn Dũng là:

$\overline{x_D}=\frac{8+6+7+5+9}{5}=7$

Phương sai mẫu số liệu điểm kiểm tra của bạn Dũng là:

$s_D^2=\frac{{\left(8-7\right)}^2+{\left(6-7\right)}^2+{\left(7-7\right)}^2+{\left(5-7\right)}^2+{\left(9-7\right)}^2}{5}=2$

Số trung bình cộng điểm kiểm tra của bạn Huy là:

$\overline{x_H}=\frac{6+7+7+8+7}{5}=7$

Phương sai mẫu số liệu điểm kiểm tra của bạn Huy là:

$s_H^2=\frac{{\left(6-7\right)}^2+{\left(7-7\right)}^2+{\left(7-7\right)}^2+{\left(8-7\right)}^2+{\left(7-7\right)}^2}{5}=\frac{2}{5}=0,4$

Vì 0,4 < 2 nên $s_H^2<s_D^2$ nên bạn Huy có kết quả kiểm tra môn Toán đồng đều hơn bạn Dũng.

I. Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị

Hoạt động 1 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Kết quả của 11 lần đo được thống kê trong mẫu số liệu sau:

a) Tìm hiệu giữa số đo lớn nhất và số đo nhỏ nhất.

b) Sắp xếp các số liệu của mẫu (1) theo thứ tự tăng dần. Tìm các giá trị Q­₁, Q­₂, Q₃ là tứ phân vị của mẫu đó. Sau đó, tìm hiệu Q₃ – Q₁.

Lời giải:

Giải Toán 10 trang 37 Tập 2

Hoạt động 2 trang 37 Toán lớp 10 Tập 2: Số liệu thống kê kết quả 5 bài kiểm tra môn Toán của bạn Dũng là:

Số trung bình cộng của mẫu số liệu (3) là:

$\overline{x}=\frac{8+6+7+5+9}{5}=7$

a) Tính các độ lệch sau: (8 – 7); (6 – 7); (7 – 7); (5 – 7); (9 – 7).

b) Tính bình phương các độ lệch và tính trung bình cộng của chúng.

Lời giải:

a) Ta tính được các độ lệch là: (8 – 7) = 1; (6 – 7) = – 1; (7 – 7) = 0; (5 – 7) = – 2; (9 – 7) = 2.

b) Bình phương các độ lệch là: (8 – 7)² = 1² = 1; (6 – 7)² = (– 1)² = 1; (7 – 7)² = 0² = 0; (5 – 7) = (– 2)² = 4; (9 – 7)² = 2² = 4.

Trung bình cộng của bình phương các độ lệch là:

$\frac{{\left(8-7\right)}^2+{\left(6-7\right)}^2+{\left(7-7\right)}^2+{\left(5-7\right)}^2+{\left(9-7\right)}^2}{5}=\frac{1+1+0+4+4}{5}=2$

Giải Toán 10 trang 38 Tập 2

Luyện tập 1 trang 38 Toán lớp 10 Tập 2: Mẫu số liệu về thời gian (đơn vị: giây) chạy cự li 500 m của 5 người là:

Tính phương sai của mẫu (5) và mẫu (6). Từ đó cho biết cự li chạy nào có kết quả đồng đều hơn.

Lời giải:

Số trung bình cộng của mẫu số liệu (5) là:

$\overline{x_{\left(5\right)}}=\frac{55,2+58,8+62,4+54+59,4}{5}=57,96$

Phương sai của mẫu số liệu (5) là:

$s_{\left(5\right)}^2=\frac{{\left(55,2-57,96\right)}^2+{\left(58,8-57,96\right)}^2+{\left(62,4-57,96\right)}^2+{\left(54-57,96\right)}^2+{\left(59,4-57,96\right)}^2}{5}$

= 9,1584.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu (6) là:

$\overline{x_{\left(6\right)}}=\frac{271,2+261+276+282+270}{5}=272,04$

Phương sai của mẫu số liệu (6) là:

$s_{\left(6\right)}^2=\frac{1}{5}$[(271,2 − 272,04)²+ (261 − 272,04)²+ (276 − 272,04)²+ (282 − 272,04)²+ (270 − 272,04)²] = 48,3264.

Vì 9,1584 < 48,3264 nên $s_{\left(5\right)}^2<s_{\left(6\right)}^2$.

Vậy cự li chạy 500 m có kết quả đồng đều hơn.

Giải Toán 10 trang 39 Tập 2

Hoạt động 3 trang 39 Toán lớp 10 Tập 2: Trong Ví dụ 2, phương sai của mẫu số liệu (4) là $s_H^2=0,4$. Tính $s_H=\sqrt{s_H^2}$.

Lời giải:

Ta có: $s_H=\sqrt{s_H^2}=\sqrt{0,4}=\frac{\sqrt{10}}{5}\approx 0,63$.

Luyện tập 2 trang 39 Toán lớp 10 Tập 2: Mẫu số liệu về số lượng áo bán ra lần lượt từ tháng 1 đến tháng 12 của một doanh nghiệp là:

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.

Lời giải:

Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:

$\overline{x}=\frac{430+560+450+550+760+430+525+410+635+450+800+900}{12}=575$.

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

$s^2=\frac{1}{12}$[(430 − 575)² + (560 − 575)² + (450 − 575)² + (550 − 575)² + (760 – 575)² + (430 − 575)² + (525 – 575)² + (410 − 575)² + (635 − 575)² + (450 − 575)² + (800 − 575)² + (900 – 575)²] ≈ 24829,17.

Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: s = $\sqrt{s^2}=\sqrt{24829,27}\approx 157,57$.

Bài tập

Giải Toán 10 trang 41 Tập 2

Bài 1 trang 41 Toán lớp 10 Tập 2: Trong 5 lần nhảy xa, hai bạn Hùng và Trung có kết quả (đơn vị: mét) lần lượt là

a) Kết quả trung bình của hai bạn có bằng nhau hay không?

b) Tính phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả 5 lần nhảy xa của mỗi bạn. Từ đó cho biết bạn nào có kết quả nhảy xa ổn định hơn.

Lời giải:

a) Kết quả trung bình của Hùng là:

$\overline{x_H}=\frac{2,4+2,6+2,4+2,5+2,6}{5}=2,5$.

Kết quả trung bình của Trung là:

$\overline{x_T}=\frac{2,4+2,6+2,4+2,5+2,6}{5}=2,5$.

Vậy kết quả trung bình của hai bạn có bằng nhau.

b) Phương sai mẫu số liệu kết quả nhảy xa của bạn Hùng là:

$s_H^2=\frac{{\left(2,4-2,5\right)}^2+{\left(2,6-2,5\right)}^2+{\left(2,4-2,5\right)}^2+{\left(2,5-2,5\right)}^2+{\left(2,6-2,5\right)}^2}{5}=0,008$.

Phương sai mẫu số liệu kết quả nhảy xa của bạn Trung là:

$s_T^2=\frac{{\left(2,4-2,5\right)}^2+{\left(2,5-2,5\right)}^2+{\left(2,5-2,5\right)}^2+{\left(2,5-2,5\right)}^2+{\left(2,6-2,5\right)}^2}{5}=0,004$.

Vì 0,04 < 0,08 nên $s_T^2<s_H^2$.

Vậy bạn Trung có kết quả nhảy xa ổn định hơn.

Bài 2 trang 41 Toán lớp 10 Tập 2: Biểu đồ đoạn thẳng ở Hình 3 biểu diễn tốc độ tăng trưởng GDP của Việt Nam giai đoạn 2012 – 2019.

a) Viết mẫu số liệu thống kê tốc độ tăng trưởng GDP nhận được từ biểu đồ ở Hình 3.

b) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu đó.

c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó.

d) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.

Lời giải:

Bài 3 trang 41 Toán lớp 10 Tập 2: Biểu đồ đoạn thẳng ở Hình 4 biểu diễn giá vàng bán ra trong bảy ngày đầu tiên của tháng 6 năm 2021.

a) Viết mẫu số liệu thống kê giá vàng bán ra nhận được từ biểu đồ ở Hình 4.

b) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu đó.

c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó.

d) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.

Lời giải:

Bài 4 trang 41 Toán lớp 10 Tập 2: Để biết cây đậu phát triển như thế nào sau khi gieo hạt, bạn Châu gieo 5 hạt đậu vào 5 chậu riêng biệt và cung cấp cho chúng lượng nước, ánh sáng như nhau. Sau hai tuần, 5 hạt đậu đã nảy mầm và phát triển thành 5 cây con. Bạn Châu đo chiều cao từ rễ đến ngọn của mỗi cây (đơn vị: mi-li-mét) và ghi kết quả là mẫu số liệu sau:

a) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

b) Theo em, các cây có phát triển đồng đều hay không?

Lời giải:

a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu đã cho là:

$\overline{x}=\frac{112+102+106+94+101}{5}=103$.

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

$s^2=\frac{{\left(112-103\right)}^2+{\left(102-103\right)}^2+{\left(106-103\right)}^2+{\left(94-103\right)}^2+{\left(101-103\right)}^2}{5}=35,2$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

s = $\sqrt{s^2}=\sqrt{35,2}=\frac{4\sqrt{55}}{5}\approx 5,93$.

b) Vì độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là khoảng 5,93, số này khá lớn, chính vì vậy các cây phát triển không đồng đều.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Bài 3: Các số liệu đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Bài 4: Xác suất của biến cố trong một số trò chơi đơn giản

Bài 5: Xác suất của biến cố

Bài tập cuối chương 6

Lý thuyết Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm

I. Khoảng biến thiên. Khoảng tứ phân vị

1. Định nghĩa

- Trong một mẫu số liệu, khoảng biến thiên là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó.

Ta có thể tính khoảng biến thiên R của mẫu số liệu theo công thức sau: R = x_max – x_min, trong đó x_max là giá trị lớn nhất, x_min là giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó.

- Giả sử Q₁, Q₂, Q₃ là tứ phân vị của mẫu số liệu. Ta gọi hiệu ∆_Q = Q₃ – Q₁ là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó.

Chú ý: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu còn gọi là khoảng trải giữa (tiếng Anh là InterQuartile Range – IQR) của mẫu số liệu đó.

Ví dụ: Mẫu số liệu thống kê cân nặng (đơn vị: kg) của 8 học sinh trong một tổ như sau:

45      52      41      37      50      52      66      49

a) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên.

b) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải

a) Trong mẫu có số liệu lớn nhất là 66, số liệu nhỏ nhất là 37.

Khi đó, khoảng biến thiên của mẫu là R = x_max­ – x_min = 66 – 37 = 29 (kg).

Vậy khoảng biến thiên của mẫu là R = 29 kg.

b) Sắp xếp mẫu theo thứ tự tăng dần, ta được:

37      41      45      49      50      52      52      66

Khi đó, trung vị của mẫu là: Q₂ = $\frac{49+50}{2}=49,5$.

Q₁ là trung vị của mẫu 37, 41, 45, 49 nên Q₁ = $\frac{41+45}{2}=43$.

Q₃ là trung vị của mẫu 50, 52, 52, 66 nên Q₃ = $\frac{52+52}{2}=52$.

Khi đó, ta có khoảng tứ phân vị là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 52 – 43 = 9 (kg).

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu là ∆_Q = 9 kg.

2. Ý nghĩa

a) Ý nghĩa của khoảng biến thiên: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu phản ánh sự “dao động”, “sự dàn trải” của các số liệu trong mẫu đó. Khoảng biến thiên được sử dụng trong nhiều tình huống thực tiễn, chẳng hạn: tìm ra sự phân tán điểm kiểm tra của một lớp học hay xác định phạm vi giá cả của một dịch vụ …

Theo cách nhìn như ở trong vật lí, ở đó biên độ dao động phản ánh khoảng cách từ điểm cân bằng đến điểm xa nhất của dao động, nếu coi số trung bình cộng là “điểm cân bằng” của mẫu số liệu thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu có thể xem như hai lần biên độ dao động của các số liệu trong mẫu đó quanh điểm cân bằng.

Trong các đại lượng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu, khoảng biến thiên là đại lượng dễ hiểu, dễ tính toán và tương đối tốt đối với các mẫu số liệu nhỏ. Tuy nhiên, do khoảng biến thiên chỉ sử dụng hai giá trị x_max và x_min của mẫu số liệu nên đại lượng đó chưa diễn giải đầy đủ sự phân tán của số liệu trong mẫu. Ngoài ra, giá trị của khoảng biến thiên sẽ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường của mẫu số liệu đó. Trong những trường hợp như vậy, khoảng biến thiên của mẫu số liệu không phản ánh chính xác độ dàn trải của mẫu số liệu.

b) Ý nghĩa của khoảng tứ phân vị: Khoảng tứ phân vị là đại lượng cho biết mức độ phân tán của 50% số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp và có thể giúp xác định các giá trị bất thường của mẫu số liệu đó. Khoảng tứ phân vị thường được sử dụng thay cho khoảng biến thiên vì nó loại trừ hầu hết giá trị bất thường của mấu số liệu.

II. Phương sai

1. Định nghĩa

- Mỗi hiệu số giữa số liệu và số trung bình cộng gọi là độ lệch của số liệu đó đối với số trung bình cộng.

- Cho mẫu số liệu thống kê có n giá trị x₁, x₂, …, x_n và số trung bình cộng là $\overline{x}$.

Ta gọi số  $s^2=\frac{{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2}{n}$ là phương sai của mẫu số liệu trên.

Nhận xét:

- Khi có các số liệu bằng nhau, ta có thể tính phương sai theo công thức sau:

+ Đối với bảng tần số:

Phương sai của mẫu số liệu thống kê trong bảng phân bố tần số là:

$s^2=\frac{n_1{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+n_2{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+n_k{\left(x_k-\overline{x}\right)}^2}{n},$

trong đó n = n₁ + n₂ + …+ n_k ; $\overline{x}$ là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.

+ Đối với bảng phân bố tần số tương đối:

Phương sai của mẫu số liệu thống kê trong bảng phân bố tần số tương đối là:

$s^2=f_1{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+f_2{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+f_k{\left(x_k-\overline{x}\right)}^2,$

trong đó $\overline{x}$ là số trung bình cộng của số liệu đã cho. 

- Trong thực tế, người ta còn dùng công thức sau để tính phương sai của mẫu số liệu:

${\widehat{s}}^2=\frac{{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2}{n-1},$

trong đó: x_i là giá trị của quan sát thứ i; $\overline{x}$ là giá trị trung bình và n là số quan sát trong mẫu số liệu đó.

Ví dụ: Hai lớp 10A và 10B của một trường THPT đồng thời làm bài thi môn Toán theo cùng một đề thi. Kết quả được ghi lại trong bảng tần số sau:

Điểm thi của lớp 10A:

Điểm thi của lớp 10B:

a) Tính phương sai của từng mẫu số liệu ở hai bảng trên.

b) Xét xem kết quả bài thi của lớp nào đồng đều hơn.

Hướng dẫn giải

Ta có điểm thi trung bình của lớp 10A là:

${\overline{x}}_{10A}=\frac{3.5+7.6+12.7+14.8+3.9+1.10}{3+7+12+14+3+1}=7,25$

Điểm thi trung bình của lớp 10A là:

${\overline{x}}_{10B}=\frac{8.6+18.7+10.8+4.9}{8+18+10+4}=7,25$

Ta có phương sai của mẫu số liệu lớp 10A là:

$s_{10A}^2=\frac{3{\left(5-7,25\right)}^2+7{\left(6-7,25\right)}^2+\mathrm{...}+1.{\left(10-7,25\right)}^2}{3+7+12+14+3+1}=1,2875$

⇒ $s_{10A}^2$ = 1,2875

Ta có phương sai của mẫu số liệu lớp 10B là:

$s_{10B}^2=\frac{8{\left(6-7,25\right)}^2+18{\left(7-7,25\right)}^2+10.{\left(8-7,25\right)}^2+4.{\left(9-7,25\right)}^2}{8+18+10+4}=0,7875$

⇒ $s_{10B}^2$ = 0,7875.

Ta thấy điểm thi trung bình của lớp 10A và 10B bằng nhau đều bằng 7,25. Nhưng phương sai bảng điểm của lớp 10A lại lớn hơn phương sai bảng điểm lớp 10B nên kết quả làm bài thi của lớp 10B đồng đều hơn lớp 10A.

2. Ý nghĩa

Phương sai là số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu. Mẫu số liệu nào có phương sai nhỏ hơn thì mức độ phân tán (so với số trung bình cộng) của các số liệu trong mẫu đó sẽ thấp hơn.

III. Độ lệch chuẩn

1. Định nghĩa 

Căn bậc hai (số học) của phương sai gọi là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê.

Nhận xét: Vì độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đo với số liệu thống kê nên khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta sử dụng độ lệch chuẩn mà không sử dụng phương sai.

Ví dụ: Cho mẫu số liệu:

23      22      20      12      35

Tính độ lệch chuẩn của mẫu trên.

Hướng dẫn giải

Mẫu trên có 5 số liệu.

Số trung bình của mẫu trên là: $\overline{x}=\frac{23+22+20+12+35}{5}=22,4$.

Phương sai của mẫu số liệu đó là:

$s^2=\frac{{\left(23-22,4\right)}^2+{\left(22-22,4\right)}^2+{\left(20-22,4\right)}^2+{\left(12-22,4\right)}^2+{(35-22,4)}^2}{5}=54,64$

⇒ s = $\sqrt{s^2}$ = $\sqrt{54,64}$ ≈ 7,39.

Vậy độ lệch chuẩn của mẫu là 7,39.

2. Ý nghĩa

Cũng như phương sai, khi hai mấu số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình cộng bằng nhau (hoặc xấp xỉ nhau), mẫu số liệu nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì mức độ phân tán (so với số trung bình cộng) của các số liệu trong mẫu đó sẽ thấp hơn. Độ lệch chuẩn là số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu thống kê có cùng đơn vị đo.

IV. Tính hợp lí của số liệu thống kê

Ta có thể sử dụng các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm để chỉ ra được những số liệu bất thường của mẫu số liệu đó. Ta thường sử dụng khoảng tứ phân vị để xác định số liệu bất thường của mẫu số liệu. Cụ thể như sau:

Giả sử Q₁, Q₂, Q₃ là tứ phân vị của mẫu số liệu và hiệu ∆_Q = Q₃ – Q₁ là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó. Một giá trị trong mẫu số liệu được coi là một giá trị bất thường nếu nó nhỏ hơn $Q_1-\frac{3}{2}{\Delta }_Q$ hoặc lớn hơn $Q_3+\frac{3}{2}{\Delta }_Q$. Như vậy, khoảng tứ phân vị cho ta cách nhận biết giá trị bất thường của mẫu số liệu.

Chú ý: Ta cũng có thể xác định số liệu bất thường của mẫu số liệu bằng số trung bình cộng và độ lệch chuẩn. Cụ thể như sau:

Giả sử $\overline{x}$, s lần lượt là số trung bình cộng và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu. Một giá trị trong mẫu số liệu cũng được coi là một giá trị bất thường nếu nó nhỏ hơn $\overline{x}$ – 3s hoặc lớn hơn $\overline{x}$ + 3s. Như vậy, số trung bình cộng và độ lệch chuẩn cho ta cách nhận ra giá trị bất thường của mẫu số liệu.

Ví dụ: Hãy tìm các giá trị bất thường của mẫu số liệu sau:

12      4        10      –5      6        7        9        30

Hướng dẫn giải

Mẫu được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là:

–5      4        6        7        9        10      12      30

Mẫu có 8 số liệu

Trung vị của mẫu là: $\frac{7+9}{2}$ = 8. Suy ra Q₂ = 8.

Trung vị nửa dưới –5, 4, 6, 7 là $\frac{4+6}{2}$ = 5. Suy ra Q₁ = 5.

Trung vị nửa trên 9, 10, 12, 30 là $\frac{10+12}{2}$ = 11. Suy ra Q₃ = 11.

Khoảng tứ phân vị là ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 11 – 5 = 6.

Ta có: $Q_1-\frac{3}{2}{\Delta }_Q=5-\frac{3}{2}.6=-4$; $Q_3+\frac{3}{2}{\Delta }_Q=11+\frac{3}{2}.6=20$.

Ta thấy –5 < –4 và 30 > 20 nên các giá trị –5 và 30 là các giá trị bất thường của mẫu.

Vậy mẫu có hai giá trị bất thường là –5 và 30.