a) $\sin \frac{A}{2}=\cos \frac{B+C}{2}$

b) $\tan \frac{B+C}{2}=\cot \frac{A}{2}$

Lời giải:

Xét tam giác ABC, ta có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}={180}^o\Rightarrow \frac{\hat{A}}{2}+\frac{\hat{B}+\hat{C}}{2}={90}^o$

Do đó $\frac{\hat{A}}{2}$ và $\frac{\hat{B}+\hat{C}}{2}$ là hai góc phụ nhau.

a) Ta có: $\sin \frac{A}{2}=\cos \left({90}^o-\frac{A}{2}\right)=\cos \frac{B+C}{2}$

b) Ta có: $\tan \frac{B+C}{2}=\cot \left({90}^o-\frac{B+C}{2}\right)=\cot \frac{A}{2}$

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = 3 – sin²90° + 2cos²60° – 3tan²45°;

b) B = a²sin90° + b²cos90° + c²cos180°.

Hướng dẫn giải:

a) A = 3 – sin²90° + 2cos²60° – 3tan²45°

       = 3 – 1² + 2.${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$– 3.${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$

       = 1.

b) B = a²sin90° + b²cos90° + c²cos180°

         = a².1 + b².0 + c².(–1)

         = a² – c².

Bài 2. Tính chiều cao của một ngọn núi (làm tròn đến mét), biết tại hai điểm A, B cách nhau 500m, người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 34° và 38°. (Hình minh họa như hình bên).

Hướng dẫn giải:

Gọi D và C lần lượt là đỉnh và chân của ngọn núi.

Đặt BC = x (m);

Ta có: 500 + x (m)

Xét tam giác vuông ACD, ta có:

tanCAD = $\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AC}}$⇒ CD = AC.tanCAD         

⇒ CD = (500 + x).tan34° (1)

Xét tam giác BCD, ta có:

tanCBD = $\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BC}}$⇒ CD = BC.tanCBD

⇒ CD = x.tan38° (2)

Từ (1) và (2) ta có:

(500 + x).tan34° = x.tan38°

⇔ 500.tan34° + x.tan34° = x.tan38°

⇔ 500.tan34° = x.tan38° – x.tan34°

⇔ x.tan38° – x.tan34° = 500.tan34°

⇔ x.(tan38° – tan34°) = 500.tan34°

⇔ x = $\frac{500.\tan 34°}{\tan 38°-\tan 34°}$

⇔ x $\approx$ 3158,5m

⇒ CD = 3158,5.tan38° $\approx$ 2467,7 (m)

Vậy chiều cao của ngọn núi là 2467,7 mét.

Câu 1. Tam giác ABC có AB = 2, AC = 1 và $\widehat{\mathrm{A}}=60°$. Tính độ dài cạnh BC.

A. BC = 1;          

B. BC = 2;          

C. BC = $\sqrt{2}$;      

D. BC = $\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Theo định lí côsin, ta có:

${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2-2\mathrm{AB}.\mathrm{AC}.\cos \widehat{\mathrm{A}}=2^2+1^2-\mathrm{2.2.1.}\cos 60°=3$

$\Rightarrow \mathrm{BC}=\sqrt{3}$.