a) $\sqrt{2-x}+2x=3$

b) $\sqrt{-x^2+7x-6}+x=4$

Lời giải:

a) $\sqrt{2-x}+2x=3$$\iff \sqrt{2-x}=3-2x$  (1)

Ta có: $3-2x\ge 0\iff x\le \frac{3}{2}$

Bình phương hai vế của (1) ta được:

$\begin{array}{l}2-x={\left(3-2x\right)}^2\\ \iff 2-x=9-12x+4x^2\\ \iff 4x^2-11x+7=0\\ \iff [\begin{array}{l}x=1\left(TM\right)\\ x=\frac{7}{4}\left(KTM\right)\end{array}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{1\right\}$

b) $\sqrt{-x^2+7x-6}+x=4$$\iff \sqrt{-x^2+7x-6}=4-x$  (2)

Ta có: $4-x\ge 0\iff x\le 4$

Bình phương hai vế của (2) ta được:

$\begin{array}{l}-x^2+7x-6={\left(4-x\right)}^2\\ \iff -x^2+7x-6=16-8x+x^2\\ \iff 2x^2-15x+22=0\\ \iff [\begin{array}{l}x=2\left(TM\right)\\ x=\frac{11}{2}\left(KTM\right)\end{array}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{2\right\}$

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{4{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}-6}=\sqrt{{\mathrm{x}}^2-6}$;

b) $\sqrt{-{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}-2}=2-\mathrm{x}$.

Hướng dẫn giải

a) Bình phương hai vế của phương trình ta được: 4${\mathrm{x}}^2$– 6x – 6 = ${\mathrm{x}}^2$ – 6

⇔ 3x² – 6x = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{x}=2\end{array}\right.$. Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình ${\mathrm{x}}^2$– 6 ≥ 0 thì thấy chỉ có nghiệm x = 2 thoả mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}.

b) Ta có: 2 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

–x² + 4x – 2 = (2 – x)² ⇔ – x² + 4x – 2 = x² – 4x + 4 ⇔ 2x² – 8x + 6 = 0 ⇔$\left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=3\end{array}\right.$

Đối chiếu với điều kiện x ≤ 2, ta thấy x = 3 không thoả mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1}.

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2-\mathrm{x}}$ + 2x = 3;

b) $\sqrt{-{\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}-6}+\mathrm{x}=4$.

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{2-\mathrm{x}}$ + 2x = 3 ⇔$\sqrt{2-\mathrm{x}}$= 3 – 2x

Ta có: 3 – 2x  ≥ 0 ⇔ x ≤ $\frac{3}{2}$. Bình phương hai vế của phương trình ta được:

2 – x = ${(3-2\mathrm{x})}^2$⇔ 2 – x = 9 – 12x + 4${\mathrm{x}}^2$⇔ 4${\mathrm{x}}^2$– 11x + 7 = 0 ⇔$\left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=\frac{7}{4}\end{array}\right.$

Đối chiếu với điều kiện, ta thấy chỉ có giá trị x = 1 thoả mãn.

Vậy tập nghiệm S = {1}.

b)

$\sqrt{-{\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}-6}+\mathrm{x}=4$⇔$\sqrt{-{\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}-6}$= 4 – x. Ta có: 4 – x  ≥ 0 ⇔ x ≤ 4.

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

$-{\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}-6$ = ${(4-\mathrm{x})}^2$⇔$-{\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}-6$ = 16 – 8x + ${\mathrm{x}}^2$ ⇔ 2${\mathrm{x}}^2$– 15x + 22 = 0

⇔$\left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{x}=\frac{11}{2}\end{array}\right.$.

Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có nghiệm x = 2 thoả mãn.

Vậy tập nghiệm S = {2}.

Bài 3. Giải phương trình $\sqrt{{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+4}=\sqrt{-2{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+12}$.

Hướng dẫn giải

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+4\ge 0\\ {\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+4=-2{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+12\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}-4\right)\ge 0\\ 3{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-8=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}\mathrm{x}\le 1\\ \mathrm{x}\ge 4\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{x}=\frac{-8}{6}\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{-8}{6}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = $\left\{\frac{-8}{6}\right\}$.