Bài 1 trang 58 Toán 10 Tập 1 | Cánh diều Giải toán lớp 10

Phương Thảo Ngày: 24-08-2024 Lớp 10

3.1 K

Với giải Bài 1 trang 58 Toán lớp 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 1 trang 58 Toán lớp 10: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2 x^{2} - 3 x - 1} = \sqrt{2 x + 3}$

b) $\sqrt{4 x^{2} - 6 x - 6} = \sqrt{x^{2} - 6}$

c) $\sqrt{x + 9} = 2 x - 3$

d) $\sqrt{- x^{2} + 4 x - 2} = 2 - x$

Phương pháp giải:

Phương trình dạng $\sqrt{f (x)} = \sqrt{g (x)}$

Bước 1: Bình phương hai vế và đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

Bước 2: Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình $g (x) \geq 0$ . Nghiệm nào thỏa mãn thì giữ lại, không thỏa mãn thì loại.

Bước 3: Kết luận nghiệm

Phương trình có dạng $\sqrt{f (x)} = g (x) (I I)$

Bước 1. Giải bất phương trình $g (x) \geq 0$ để tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

Bước 2. Bình phương hai vế của phương trình rồi tìm tập nghiệm.

Bước 3. Trong những nghiệm của phương trình ở bước 2, ta chỉ giữ lại những nghiệm thuộc tập nghiệm của bất phương trình $g (x) \geq 0$ . Tập nghiệm giữ lại đó chính là tập nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải:

a) Bình phương hai vế ta được

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 2 x + 3$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 x^{2} - 5 x - 4 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{5 + \sqrt{57}}{4} \\ x = \frac{5 - \sqrt{57}}{4} \end{array} \end{array}$

Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình $2 x + 3 \geq 0$ thì thấy cả 2 nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {\frac{5 - \sqrt{57}}{4}; \frac{5 + \sqrt{57}}{4}}$

b) Bình phương hai vế ta được

$\begin{array}{l} 4 x^{2} - 6 x - 6 = x^{2} - 6 \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array} \end{array}$

Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình $x^{2} - 6 \geq 0$ thì thấy chỉ có nghiệm $x = 2$ thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {2}$

c) $\sqrt{x + 9} = 2 x - 3$ (*)

Ta có: $2 x - 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{3}{2}$

Bình phương hai vế của (*) ta được:

$\begin{array}{l} x + 9 = {(2 x - 3)}^{2} \\ \Leftrightarrow 4 x^{2} - 12 x + 9 = x + 9 \\ \Leftrightarrow 4 x^{2} - 13 x = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 (K T M) \\ x = \frac{13}{4} (T M) \end{array} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {\frac{13}{4}}$

d) $\sqrt{- x^{2} + 4 x - 2} = 2 - x$ (**)

Ta có: $2 - x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 2$

Bình phương hai vế của (**) ta được:

$\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x - 2 = {(2 - x)}^{2} \\ \Leftrightarrow - x^{2} + 4 x - 2 = x^{2} - 4 x + 4 \\ \Leftrightarrow 2 x^{2} - 8 x + 6 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 (T M) \\ x = 3 (K T M) \end{array} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {1}$

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{4 x^{2} - 6 x - 6} = \sqrt{x^{2} - 6}$ ;

b) $\sqrt{- x^{2} + 4 x - 2} = 2 - x$ .

Hướng dẫn giải

a) Bình phương hai vế của phương trình ta được: 4 $x^{2}$ – 6x – 6 = $x^{2}$ – 6

⇔ 3x² – 6x = 0 ⇔ $[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$ . Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình $x^{2}$ – 6 ≥ 0 thì thấy chỉ có nghiệm x = 2 thoả mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}.

b) Ta có: 2 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

–x²+ 4x – 2 = (2 – x)² ⇔ – x²+ 4x – 2 = x²– 4x + 4 ⇔ 2x²– 8x + 6 = 0 ⇔ $[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 3 \end{array}$

Đối chiếu với điều kiện x ≤ 2, ta thấy x = 3 không thoả mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1}.

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2 - x}$ + 2x = 3;

b) $\sqrt{- x^{2} + 7 x - 6} + x = 4$ .

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{2 - x}$ + 2x = 3 ⇔ $\sqrt{2 - x}$ = 3 – 2x

Ta có: 3 – 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ $\frac{3}{2}$ . Bình phương hai vế của phương trình ta được:

2 – x = ${(3 - 2 x)}^{2}$ ⇔ 2 – x = 9 – 12x + 4 $x^{2}$ ⇔ 4 $x^{2}$ – 11x + 7 = 0 ⇔ $[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \frac{7}{4} \end{array}$

Đối chiếu với điều kiện, ta thấy chỉ có giá trị x = 1 thoả mãn.

Vậy tập nghiệm S = {1}.

$\sqrt{- x^{2} + 7 x - 6} + x = 4$ ⇔ $\sqrt{- x^{2} + 7 x - 6}$ = 4 – x. Ta có: 4 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4.

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

$- x^{2} + 7 x - 6$ = ${(4 - x)}^{2}$ ⇔ $- x^{2} + 7 x - 6$ = 16 – 8x + $x^{2}$ ⇔ 2 $x^{2}$ – 15x + 22 = 0

⇔ $[\begin{array}{l} x = 2 \\ x = \frac{11}{2} \end{array}$ .

Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có nghiệm x = 2 thoả mãn.

Vậy tập nghiệm S = {2}.

Bài 3. Giải phương trình $\sqrt{x^{2} - 5 x + 4} = \sqrt{- 2 x^{2} - 3 x + 12}$ .

Hướng dẫn giải

$\{\begin{cases} x^{2} - 5 x + 4 \geq 0 \\ x^{2} - 5 x + 4 = - 2 x^{2} - 3 x + 12 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} (x - 1) (x - 4) \geq 0 \\ 3 x^{2} - 2 x - 8 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x \leq 1 \\ x \geq 4 \end{array} \\ [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = \frac{- 8}{6} \end{array} \end{cases} \Rightarrow x = \frac{- 8}{6}$