HĐ3 trang 28 Toán 10 tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Thảo Ngày: 23-08-2024 Lớp 10

1.8 K

Với giải HĐ3 trang 28 Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống trong Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

HĐ3 trang 28 Toán lớp 10: Xét biểu thức F(x, y) = 2x + 3y với (x; y) thuộc miền tam giác OAB ở HĐ2. Toạ độ ba đình là O(0, 0), A(150, 0) và B(0; 150) (H.2.5).

Luyện tập 2 trang 29 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Tính giá trị của biểu thức F(x; y) tại mỗi đỉnh O, A và B.

b) Nêu nhận xét về dấu của hoành độ x và tung độ y của điểm (x; y) nằm trong miền tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB.

c) Nêu nhận xét về tổng x + y của điểm (X; y) nằm trong miền tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của F(x, y) trên miền tam giác OAB.

Phương pháp giải:

a) Thay tọa độ điểm O, A, B vào F(x;y) và tính giá trị.

b) Lấy một điểm bất kì trong miền tam giác OAB.

Xác định dấu:

+ So sánh x với 0

+ So sánh y với 0

Đánh giá biểu thức F(x;y) dựa vào dấu của x và y, từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Dựa vào biểu thức

Giá trị lớn nhất: Tách 2x+3y =2.(x+y)+y và dựa vào việc đánh giá x+y và y ở bước trên để tìm giá trị lớn nhất.

Lời giải:

a) Thay tọa độ điểm O, A, B vào F(x;y) ta được:

F(0;0)=2.0+3.0=0

F(150;0)=2.150+3.0=300

F(0;150)=2.0+3.150=450.

b) Lấy một điểm bất kì trong miền tam giác OAB.

Vì miền OAB là miền nghiệm của hệ bất phương trình ${\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 150 \end{cases}$ nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB thỏa mãn $x \geq 0$ .

Vì miền OAB là miền nghiệm của hệ bất phương trình ${\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 150 \end{cases}$ nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB thỏa mãn $y \geq 0$ .

Vậy $x \geq 0$ và $y \geq 0$ .

=> $F (x; y) = 2 x + 3 y \geq 2.0 + 3.0 = 0$

Vậy giá trị nhỏ nhất của F(x;y) trên miền OAB là 0.

c) Vì miền OAB là miền nghiệm của hệ bất phương trình ${\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 150 \end{cases}$ nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB thỏa mãn $x + y \leq 150$

Như vậy với mỗi điểm trong miền tam giác OAB thì đều có tổng $x + y \leq 150$

Quan sát miền OAB ta thấy điểm B(0;150) là điểm có tung độ lớn nhất nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB đều có $y \leq 150$ .

Vậy ta có: $F (x; y) = 2 x + 3 y$ $= 2. (x + y) + y$ $\leq 2.150 + 150 = 450$

Dấu “=” xảy ra khi x+y=150 và y=150. Hay x=0, y=150.

Giá trị lớn nhất trên miền OAB là 450 tại điểm B.

Lý thuyết Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Nhận xét: Tổng quát, người ta chứng minh được rằng giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức $F (x; y) = ax + by$ , với $(x; y)$ là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác $A_{1} A_{2} ... A_{n}$ , tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác, đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Ví dụ: Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: $\{\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 100 \\ 2 x + y \leq 120 \end{cases}$ và $F (x; y) = 3, 5 x + 2 y$ . Tìm giá trị lớn nhất của $F (x; y)$ .