Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ (bảng bên).

Để mỗi nhà hàng hoạt động được thì cần tối thiểu 6 nhân viên trong khoảng 10h00 - 18h00, tối thiểu 24 nhân viên trong thời gian cao điểm 14h00 - 18h00 và không quá 20 nhân viên trong khoảng 18h00 – 22h00. Do lượng khách trong khoảng 14h00 – 22h00 thường đông hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca II ít nhất phải gấp đôi số nhân viên ca I. Em hãy giúp chủ chuỗi nhà hàng chỉ ra cách huy động số lượng nhân viên cho mỗi ca sao cho chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất.

Lời giải:

Gọi x, y lần lượt là số nhân viên ca I và ca II (x>0,y>0)

Theo giả thiết ta có: $\{\begin{array}{l}x\ge 6\\ x+y\ge 24\\ \left(x+y\right)-x\le 20\\ y\ge 2x\end{array}$

Biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình

Tập nghiệm của bất phương trình giới hạn bởi tứ giác ABCD với:

A(6;20), B(10;20), C(8;16), D(6;18)

Tiền lương mỗi ngày của các nhân viên: $T=20x+22y$(nghìn đồng)

T(6;20)=20.6+20.22=560(nghìn đồng)

T(10;20)=20.10+22.20=640 (nghìn đồng)

T(8;16)=20.8+22.16=512 (nghìn đồng)

T(6;18)=20.6+22.18=516 (nghìn đồng)

Vậy để tiền lương mỗi ngày ít nhất thì ca I có 8 nhân viên, ca II có 16 nhân viên.

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau:

a) $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}<-1$                          

b) $x-\frac{3y}{2}\le 0$                           

c) $\frac{x+y}{2}\ge \frac{2x-y+1}{3}$ 

Hướng dẫn giải:

a) Dựng đường thẳng $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=-1$.

Thay giá trị (0 ; 0) vào bất phương trình, ta có $\frac{0}{2}+\frac{0}{3}=0<-1$ là mệnh đề sai.

Miền nghiệm là miền không chứa điểm (0 ; 0), không tính đường thẳng biên.

b) Dựng đường thẳng $x-\frac{3y}{2}=0$.

Lấy điểm (–1 ; 1) ta có: $-1-\frac{3.1}{2}=-\frac{5}{2}\le 0$ là mệnh đề đúng.

Miền nghiệm là miền chứa điểm (–1 ; 1) kể cả đường thẳng biên.

c) $\frac{x+y}{2}\ge \frac{2x-y+1}{3}$⇔3.(x + y) $\ge$ 2.(2x – y + 1) ⇔ x – 5y ≤ –2

Dựng đường thẳng x – 5y = –2.

Thay giá trị (0 ; 0) vào bất phương trình, ta có 0 – 0 = 0 ≤ –2 là mệnh đề sai.

Miền nghiệm là miền không chứa điểm (0 ; 0), kể cả đường thẳng biên.

Bài 2. Một gian hàng trưng bày bàn và ghế rộng 60m². Diện tích để kê một chiếc ghế là 0,5m², một chiếc bàn là 1,2m². Gọi x là số ghế và y là số bàn được kê (x ≥ 0, y ≥ 0)

a) Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y cho phần mặt sàn để kê bàn ghế.

b) Chỉ ra ba nghiệm của bất phương trình trên.

Hướng dẫn giải:

a) Diện tích kê x chiếc ghế và y chiếc bàn là 0,5x + 1,2y (m²).

Diện tích này không thể lớn hơn 60m² nên ta được bất phương trình cần tìm:

0,5x + 1,2y ≤ 60 hay 5x + 12y ≤ 600.

b) Lấy ví dụ các cặp giá trị (10 ; 10), (30; 15), (24; 40), ta có:

5 . 10 + 12 . 10 = 170 ≤ 600 là mệnh đề đúng.

5 . 30 + 12 . 15 = 330 ≤ 600 là mệnh đề đúng.

5 . 24 + 12 . 40 = 600 ≤ 600 là mệnh đề đúng.

Vậy (10 ; 10), (30; 15), (24; 40) là ba nghiệm của bất phương trình 5x + 12y ≤ 600.

Bài 3. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kg thịt bò chừa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kg thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn, giá thịt bò là 250 nghìn/kg và thịt lợn là 160 nghìn/kg. Tính xem gia đình cần mua bao nhiêu kg mỗi loại thịt để chi phí là ít nhất.

Hướng dẫn giải:

Giả sử mỗi ngày gia đình này mua x kg thịt bò và y kg thịt lợn.

Điều kiện 0 ≤ x ≤ 1,6; 0 ≤ y ≤ 1,2.

Lượng protein và lipit trong thức ăn hàng ngày lần lượt là:

P = 800x + 600y ≥ 900 (đơn vị)

L = 200x + 400y ≥ 400 (đơn vị)

Từ đó, ta có hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}0\le x\le 1,6\\ 0\le y\le 1,2\\ 8x+6y\ge 9\\ 2x+4y\ge 4\end{array}\right.$ 

Miền nghiệm của hệ bất phương trình được giới hạn bởi tứ giác ABCD, trong đó:

A(0,225 ; 1,2), B(1,6 ; 1,2), C(1,6 ; 0,2), D(0,6 ; 0,7).

Số tiền mua thức ăn hàng ngày là:

T = 250x + 160y (nghìn đồng)

Xét giá trị của T tại các đỉnh của tứ giác ABCD, ta có:

Tại A(0,225 ; 1,2), với x = 0,225 và y = 1,2 thì T = 250.0,225 + 160.1,2 = 248,25;

Tại B(1,6 ; 1,2), với x = 1,6 và y = 1,2 thì T = 250.1,6 + 160.1,2 = 592;

Tại C(1,6 ; 0,2), với x = 1,6 và y = 0,2 thì T = 250.1,6 + 160.0,2 = 432;

Tại D(0,6 ; 0,7), với x = 0,6 và y = 0,7 thì T = 250.0,6 + 160.0,7 = 262.

Giá trị nhỏ nhất của T là 248,25 đạt được khi (x ; y) = (0,225; 1,2).

Vậy gia đình cần mua 0,025 kg thịt bò và 1,2 kg thịt lợn.