Giải SGK Toán 7 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 2

Nguyễn Thị Hằng Ngày: 26-08-2024 Lớp 7

12.8 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 7 Bài tập cuối chương 2 chi tiết sách Toán 7 Tập 1 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 7. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 7 Bài tập cuối chương 2

Giải Toán 7 trang 69 Tập 1

Bài 1 trang 69 Toán lớp 7: Tìm những số vô tỉ trong các số sau đây:

-6,123(456); $- \sqrt{4}; \sqrt{\frac{4}{9}}; \sqrt{11}; \sqrt{15}$

Phương pháp giải:

+) Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn là số vô tỉ

+) Các số không viết được dưới dạng $\frac{a}{b} (a, b \in Z, b \neq 0)$ là số vô tỉ

Lời giải:

Vì -6,123(456) là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên không là số vô tỉ

$- \sqrt{4} = - 2$ không là số vô tỉ

$\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ không là số vô tỉ

$\sqrt{11}$ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên nó là số vô tỉ.

$\sqrt{15}$ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên nó là số vô tỉ.

Chú ý:

Căn bậc hai của một số nguyên tố luôn là số vô tỉ

Bài 2 trang 69 Toán lớp 7: So sánh:

a) 4,9(18) và 4,928…;

b) -4,315 và -4,318..;

c) $\sqrt{3}$ và $\sqrt{\frac{7}{2}}$

Phương pháp giải:

+ So sánh 2 số thập phân dương

+ Nếu a < b thì –a > -b

+ Nếu a < b thì $\sqrt{a} < \sqrt{b}$

Lời giải:

a) 4,9(18) = 4,91818…< 4,928… (vì chữ số hàng phần trăm của 4,91818 là 1 nhỏ hơn chữ số hàng phần trăm của 4,928 là 2)

Vậy 4,9(18) < 4,928

b) Vì 4,315 < 4,318… nên -4,315 > -4,318…

c) Vì 3 < $\frac{7}{2}$ nên $\sqrt{3}$ < $\sqrt{\frac{7}{2}}$

Bài 3 trang 69 Toán lớp 7: a) Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:

$6; \sqrt{35}; \sqrt{47}; - 1, 7; - \sqrt{3}; 0$

b) Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần:

$- \sqrt{2, 3}; \sqrt{5 \frac{1}{6}}; 0; \sqrt{5, 3}; - \sqrt{2 \frac{1}{3}}; - 1, 5$

Phương pháp giải:

Số thực âm < 0 < số thực dương

Viết các số về dạng $\sqrt{a}$ hay - $\sqrt{a}$

+) Nếu a < b thì $\sqrt{a}$ < $\sqrt{b}$

+) Nếu a < b thì - $\sqrt{a}$ > - $\sqrt{b}$

Lời giải:

a) Ta có:

$6 = \sqrt{36}; - 1, 7 = - \sqrt{2, 89}$

Vì 0 < 2,89 < 3 nên 0> $- \sqrt{2, 89} > - \sqrt{3}$ hay 0 > -1,7 > $- \sqrt{3}$

Vì 0 < 35 < 36 < 47 nên $0 < \sqrt{35} < \sqrt{36} < \sqrt{47}$ hay 0 < $\sqrt{35} < 6 < \sqrt{47}$

Vậy các số theo thứ tự tăng dần là: $- \sqrt{3}; - 1, 7; 0; \sqrt{35}; 6; \sqrt{47}$

b) Ta có:

$\sqrt{5 \frac{1}{6}} = \sqrt{5, 1 (6)}; - \sqrt{2 \frac{1}{3}} = - \sqrt{2, (3)}$ ; -1,5 = $- \sqrt{2, 25}$

Vì 0 < 2,25 < 2,3 < 2,(3) nên 0> $- \sqrt{2, 25} > - \sqrt{2, 3} > - \sqrt{2, (3)}$ hay 0 > -1,5 > $- \sqrt{2, 3} > - \sqrt{2 \frac{1}{3}}$

Vì 5,3 > 5,1(6) > 0 nên $\sqrt{5, 3} > \sqrt{5, 1 (6)}$ > 0 hay $\sqrt{5, 3} > \sqrt{5 \frac{1}{6}} > 0$

Vậy các số theo thứ tự giảm dần là: $\sqrt{5, 3}; \sqrt{5 \frac{1}{6}}; 0$ ; -1,5; $- \sqrt{2, 3}; - \sqrt{2 \frac{1}{3}}$

Bài 4 trang 69 Toán lớp 7: Tính:

$\begin{array}{l} a) 2. \sqrt{6} . (- \sqrt{6}); \\ b) \sqrt{1, 44} - 2. (\sqrt{0, 6})^{2}; \\ c) 0, 1. (\sqrt{7})^{2} + \sqrt{1, 69}; \\ d) (- 0, 1) . (\sqrt{120})^{2} - \frac{1}{4} . (\sqrt{20})^{2} \end{array}$

Phương pháp giải:

$(\sqrt{a})^{2} = a$

Lời giải:

$\begin{array}{l} a) 2. \sqrt{6} . (- \sqrt{6}) \\ = - 2. \sqrt{6} . \sqrt{6} \\ = - 2. (\sqrt{6})^{2} \\ = - 2.6 \\ = - 12 \\ b) \sqrt{1, 44} - 2. (\sqrt{0, 6})^{2} \\ = 1, 2 - 2.0, 6 \\ = 1, 2 - 1, 2 \\ = 0 \\ c) 0, 1. (\sqrt{7})^{2} + \sqrt{1, 69} \\ = 0, 1.7 + 1, 3 \\ = 0, 7 + 1, 3 \\ = 2 \\ d) (- 0, 1) . (\sqrt{120})^{2} - \frac{1}{4} . (\sqrt{20})^{2} \\ = (- 0, 1) .120 - \frac{1}{4} .20 \\ = - 12 - 5 \\ = - (12 + 5) \\ = - 17 \end{array}$

Bài 5 trang 69 Toán lớp 7: Tìm số x không âm, biết:

$\begin{array}{l} a) \sqrt{x} - 16 = 0; \\ b) 2 \sqrt{x} = 1, 5; \\ c) \sqrt{x + 4} - 0, 6 = 2, 4 \end{array}$

Phương pháp giải:

Nếu $\sqrt{a} = b$ thì $a = b^{2}$

Lời giải:

$\begin{array}{l} a) \sqrt{x} - 16 = 0 \\ \sqrt{x} = 16 \\ x = 16^{2} \\ x = 256 \end{array}$

Vậy x = 256

$\begin{array}{l} b) 2 \sqrt{x} = 1, 5 \\ \sqrt{x} = 1, 5 : 2 \\ \sqrt{x} = 0.75 \\ x = (0, 75)^{2} \\ x = 0, 5625 \end{array}$

Vậy x = 0,5625

$\begin{array}{l} c) \sqrt{x + 4} - 0, 6 = 2, 4 \\ \sqrt{x + 4} = 2, 4 + 0, 6 \\ \sqrt{x + 4} = 3 \\ x + 4 = 9 \\ x = 5 \end{array}$

Vậy x = 5

Bài 6 trang 69 Toán lớp 7: Tìm số x trong các tỉ lệ thức sau:

$\begin{array}{l} a) \frac{x}{- 3} = \frac{7}{0, 75}; \\ b) - 0, 52 : x = \sqrt{1, 96} : (- 1, 5); \\ c) x : \sqrt{5} = \sqrt{5} : x \end{array}$

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a . d = b . c$

Lời giải:

$\begin{array}{l} a) \frac{x}{- 3} = \frac{7}{0, 75} \\ \Rightarrow x .0, 75 = (- 3) .7 \\ \Rightarrow x = \frac{(- 3) .7}{0, 75} = - 28 \end{array}$

Vậy x = 28

$\begin{array}{l} b) - 0, 52 : x = \sqrt{1, 96} : (- 1, 5) \\ \frac{- 0, 52}{x} = \frac{\sqrt{1, 96}}{- 1, 5} \\ (- 0, 52) . (- 1, 5) = x . \sqrt{1, 96} \\ 0, 78 = x . \sqrt{1, 4^{2}} \\ 0, 78 = x . 1, 4 \\ 1, 4 . x = 0, 78 \\ x = \frac{78}{140} \\ x = \frac{39}{70} \end{array}$

Vậy x = $\frac{39}{70}$

$\begin{array}{l} c) x : \sqrt{5} = \sqrt{5} : x \\ \Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{x} \\ \Rightarrow x . x = \sqrt{5} . \sqrt{5} \\ \Leftrightarrow x^{2} = 5 \\ \Leftrightarrow [_{x = - \sqrt{5}}^{x = \sqrt{5}} \end{array}$

Vậy x $\in {\sqrt{5}; - \sqrt{5}}$

Chú ý:

Nếu $x^{2} = a (a > 0)$ thì x = $\sqrt{a}$ hoặc x = - $\sqrt{a}$

Bài 7 trang 69 Toán lớp 7: Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ với b – d $\neq$ 0; b + 2d $\neq$ 0. Chứng tỏ rằng:

$\frac{a - c}{b - d} = \frac{a + 2 c}{b + 2 d}$

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a - c}{b - d}$ ; $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + 2 c}{b + 2 d}$

Lời giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a - c}{b - d}$ ; $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + 2 c}{b + 2 d}$

Như vậy, $\frac{a - c}{b - d} = \frac{a + 2 c}{b + 2 d}$ (đpcm)

Bài 8 trang 69 Toán lớp 7: Tìm ba số x,y,z biết: $\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{z}{9}$ và x – y + z = $\frac{7}{3}$

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a - c + e}{b - d + f}$

Lời giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\begin{array}{l} \frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{z}{9} = \frac{x - y + z}{5 - 7 + 9} = \frac{\frac{7}{3}}{7} = \frac{7}{3} . \frac{1}{7} = \frac{1}{3} \\ \Rightarrow x = 5. \frac{1}{3} = \frac{5}{3}; \\ y = 7. \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \\ z = 9. \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \end{array}$

Vậy $x = \frac{5}{3}; y = \frac{7}{3}; z = 3$

Bài 9 trang 69 Toán lớp 7: Lớp 7A có 45 học sinh. Trong đợt sơ kết Học kì I, số học sinh của lớp 7A có kết quả học tập ở các mức Tốt, Khá, Đạt tỉ lệ với ba số 3;4;2. Tính số học sinh có kết quả học tập ở mỗi mức của lớp 7A, biết trong lớp đó không có học sinh nào ở mức Chưa đạt.

Phương pháp giải:

Gọi số học sinh ở các mức Tốt, Khá, Đạt là x,y,z ( $x, y, z \in N$ )

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a + c + e}{b + d + f}$

Lời giải:

Gọi số học sinh ở các mức Tốt, Khá, Đạt là x,y,z ( $x, y, z \in N$ )

Vì lớp 7A có 45 học sinh và không có học sinh nào ở mức Chưa đạt nên x+y+z =45

Vì số học sinh ở các mức Tốt, Khá, Đạt tỉ lệ với ba số 3;4;2 nên $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{2}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\begin{array}{l} \frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{2} = \frac{x + y + z}{3 + 4 + 2} = \frac{45}{9} = 5 \\ \Rightarrow x = 3.5 = 15 \\ y = 4.5 = 20 \\ z = 2.5 = 10 \end{array}$

Vậy số học sinh ở các mức Tốt, Khá, Đạt lần lượt là: 15 bạn, 20 bạn và 10 bạn.

Giải Toán 7 trang 70 Tập 1

Bài 10 trang 70 Toán lớp 7: Chị Phương định mua 2 kg táo với số tiền định trước. Khi vào siêu thị đúng thời điểm được khuyến mại nên giá táo được giảm 25%. Với số tiền đó, chị Phương mua được bao nhiêu ki-lô-gam táo?

Phương pháp giải:

Số táo mua được và giá táo là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch.

Sử dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch: x1. y1 = x2. y2

Lời giải:

Gọi số táo mua được là x (kg) (x > 0)

Giả sử giá táo trước giảm giá là a thì giá táo sau khi giảm giá là a – 0,25a = 0,75a

Vì số táo . giá táo = số tiền mua táo (không đổi) nên số táo và giá táo là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Áp dụng tính chất của 2 đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

2.a = x. 0,75a nên x = $\frac{2. a}{0, 75. a} = \frac{8}{3}$ (thỏa mãn)

Vậy chị Phương mua được $\frac{8}{3}$ kg táo

Bài 11 trang 70 Toán lớp 7: Cứ 15 phút, chị Lan chạy được 2,5 km. Hỏi trong 1 giờ, chị chạy được bao nhiêu ki – lô- mét? Biết rằng vận tốc chạy của chị Lan là không đổi

Phương pháp giải:

Với vận tốc không đổi thì quãng đường và thời gian là 2 đại lượng tỉ lệ thuận

Chú ý đơn vị

Lời giải:

Gọi số km mà chị Lan chạy được trong 1 giờ = 60 phút là x (km) (x > 0)

Vì vận tốc không đổi nên quãng đường và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có:

$\frac{2, 5}{15} = \frac{x}{60} \Rightarrow x = \frac{2, 5.60}{15} = 10$ (thoả mãn)

Vậy trong 1 giờ, chị Lan chạy được 10 km

Bài 12 trang 70 Toán lớp 7: Một công nhân trong 30 phút làm được 20 sản phẩm. Hỏi để làm được 50 sản phẩm người đó cần bao nhiêu phút? Biết năng suất làm việc của người đó không đổi.

Phương pháp giải:

Năng suất làm việc không đổi thì thời gian và số sản phẩm làm được là 2 đại lượng tỉ lệ thuận

Lời giải:

Gọi x (sản phẩm) và y (phút) lần lượt là số sản phẩm và thời gian làm ra số sản phẩm tương ứng của một người công nhân (x ∈ ℕ*; y > 0).

Giả sử x₁ = 20 sản phẩm làm trong y₁ = 30 phút

Và x₂ = 50 sản phẩm làm trong y₂ phút

Vì số sản phẩm và thời gian làm số sản phẩm đó tỉ lệ thuận với nhau nên theo tính chất tỉ lệ thuận ta có: $\frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{x_{2}}{y_{2}}$

Thay x₁ = 20; y₁ = 30; x₂ = 50 ta có: $\frac{20}{30} = \frac{50}{y_{2}}$

Suy ra $y_{2} = \frac{30.50}{20} = 75$

Vậy trong 75 phút người đó sẽ làm được 50 sản phẩm.

Bài 13 trang 70 Toán lớp 7: Cứ đổi 1 158 000 đồng Việt Nam thì được 50 đô la Mỹ.

Để có 750 đô la Mỹ thì cần đổi bao nhiêu đồng Việt Nam?

Phương pháp giải:

Số tiền đô la Mỹ và số tiền Việt Nam quy đổi cho nhau là 2 đại lượng tỉ lệ thuận

Lời giải:

Gọi số tiền Việt Nam cần có để đổi được 750 đô la Mỹ là x (đồng) (x >0)

Vì số tiền đô la Mỹ và số tiền Việt Nam quy đổi cho nhau là 2 đại lượng tỉ lệ thuận nên theo tính chất của 2 đại lượng tỉ lệ thuận, ta có:

$\frac{1158000}{50} = \frac{x}{750} \Rightarrow x = \frac{1158000.750}{50} = 17370000$ (thỏa mãn)

Vậy số tiền Việt Nam cần có để đổi được 750 đô la Mỹ là 17 370 000 đồng

Bài 14 trang 70 Toán lớp 7: Trong tháng trước, cứ 6 giờ, dây chuyền làm ra 1 000 sản phẩm. Trong tháng này, do được cải tiến nên năng suất của dây chuyền bằng 1,2 lần năng suất tháng trước. Hỏi trong tháng này để làm ra 1 000 sản phẩm như thế thì dây chuyền đó cần bao nhiêu giờ?

Phương pháp giải:

Với cùng khối lượng công việc, năng suất và thời gian hoàn thành là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch.

Sử dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch: x1. y1 = x2. y2

Lời giải:

Gọi thời gian dây chuyền cần để hoàn thành 1 000 sản phẩm là x (giờ) (x > 0)

Giả sử năng suất của tháng trước là a thì năng suất của tháng này là 1,2.a

Vì khối lượng công việc không đổi nên năng suất và thời gian hoàn thành là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch nên theo tính chất của 2 đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

6.a = x. 1,2a nên $x = \frac{6. a}{1, 2. a} = 5$ (thỏa mãn)

Vậy cần 5 giờ để dây chuyền hoàn thành 1 000 sản phẩm như thế

Bài 15 trang 70 Toán lớp 7: Đồng trắng là một hợp kim của đồng với nickel. Một hợp kim đồng trắng có khối lượng của đồng và nickel tỉ lệ với 9 và 11. Tính khối lượng của đồng và nickel cần dùng để tạo ra 25 kg hợp kim đó.

Phương pháp giải:

+ Gọi khối lượng của đồng và nickel cần dùng là x, y (kg) (x,y > 0)

+ Biểu diễn mối liên hệ giữa khối lượng của đồng và nickel

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d}$

Lời giải:

Gọi khối lượng của đồng và nickel cần dùngđể tạo ra 25 kg hợp kim đó là x, y (kg) (x,y > 0), ta có x + y = 25

Vì khối lượng của đồng và nickel tỉ lệ với 9 và 11 nên $\frac{x}{9} = \frac{y}{11}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có

$\begin{array}{l} \frac{x}{9} = \frac{y}{11} = \frac{x + y}{9 + 11} = \frac{25}{20} = 1, 25 \\ \Rightarrow x = 9.1, 25 = 11, 25 \\ y = 11.1, 25 = 13, 75 \end{array}$

Vậy cần 11,25 kg đồng và 13,75 kg nickel

Bài 16 trang 70 Toán lớp 7: Cho ba hình chữ nhật có cùng diện tích. Biết chiều rộng của ba hình chữ nhật tỉ lệ với ba số 1;2;3. Tính chiều dài của mỗi hình chữ nhật đó, biết tổng chiều dài của ba hình chữ nhật là 110 cm.

Phương pháp giải:

+ Gọi chiều dài 3 hình chữ nhật lần lượt là x,y,z (x,y,z > 0)

+ Với các hình chữ nhật có cùng diện tích, chiều rộng và chiều dài là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch.

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a + c + e}{b + d + f}$

Lời giải:

Gọi chiều dài 3 hình chữ nhật lần lượt là x,y,z (cm) (x,y,z > 0).

Do tổng chiều dài của ba hình chữ nhật là 110 cm nên x+y+z=110

Vì 3 hình chữ nhật có: chiều dài . chiều rộng = diện tích (không đổi) nên chiều rộng và chiều dài là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch.

Áp dụng tính chất 2 đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

1.x = 2.y = 3.z

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1. x}{6} = \frac{2. y}{6} = \frac{3. z}{6} \\ \Rightarrow \frac{x}{6} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2} \end{array}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\begin{array}{l} \frac{x}{6} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2} = \frac{x + y + z}{6 + 3 + 2} = \frac{110}{11} = 10 \\ \Rightarrow x = 6.10 = 60; \\ y = 3.10 = 30; \\ z = 2.10 = 20 \end{array}$

Vậy chiều dài của mỗi hình chữ nhật đó lần lượt là 60 cm, 30 cm, 20 cm.

Bài 17 trang 70 Toán lớp 7: Hình 14a mô tả hình dạng của một hộp sữa và lượng sữa chứa trong hộp đó. Hình 14b mô tả hình dạng của một hộp sữa và lượng sữa chứa trong hộp khi đặt hộp ngược lại. Tính tỉ số của thể tích sữa có trong hộp và thể tích của cả hộp.

Giải SGK Toán 7 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 2 (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Tính tỉ lệ thể tích phần chứa sữa và phần không chứa sữa.

Với diện tích đáy không đổi thì thể tích và chiều cao của hình hộp là 2 đại lượng tỉ lệ thuận

Lời giải:

Xét hình 9b, phần hộp không chứa sữa có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là đáy của hộp sữa và chiều cao là 12 – 7 = 5 (cm)

Xét hình 9a, phần hộp chứa sữa có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là đáy của hộp sữa và chiều cao là 6 cm.

Vì diện tích đáy không đổi thì thể tích và chiều cao của hình hộp là 2 đại lượng tỉ lệ thuận nên thể tích phần hộp không chứa sữa với phần hộp chứa sữa là tỉ lệ của chiều cao hình hộp không chứa sữa và chiều cao hình hộp có chứa sữa và là $\frac{5}{6}$ . Tức là thể tích phần hộp chứa sữa là 6 phần, phần không chứa sữa là 5 phần, thể tích cả hộp là: 5+6 = 11 phần

Như vậy, tỉ số của của thể tích sữa có trong hộp và thể tích của cả hộp là $\frac{6}{11}$ .

Lý thuyết Toán 7 Chương 2: Số thực

1. Số vô tỉ

1.1 Khái niệm số vô tỉ

Trong đời sống thực tiễn của con người, ta thường gặp những số không phải là số hữu tỉ. Những số không phải là số hữu tỉ được gọi là số vô tỉ.

1.2 Số thập phân vô hạn không tuần hoàn

Những số thập phân vô hạn mà phần thập phân của nó không có một chu kì nào cả, những số đó được gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

1.3 Biểu diễn thập phân của số vô tỉ

Số vô tỉ được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

2. Căn bậc hai số học

- Căn bậc hai số học của một số a không âm là số x không âm sao cho x² = a.

- Căn bậc hai số học của số a (a ≥ 0) được kí hiệu là $\sqrt{a}$ .

- Căn bậc hai số học của số 0 là số 0, viết là: $\sqrt{0} = 0$ .

Chú ý: Cho a ≥ 0. Khi đó:

+ Đẳng thức $\sqrt{a}$ = b là đúng nếu b ≥ 0 và b² = a.

+ ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ .

Nhận xét:

- Nếu số nguyên dương a không phải là bình phương của bất kì số nguyên dương nào thì $\sqrt{a}$ là số vô tỉ.

- Ta có thể tính được giá trị (đúng hoặc gần đúng) căn bậc hai số học của một số dương bằng máy tính cầm tay.

3. Tập hợp số thực

3.1 Số thực

- Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.

- Tập hợp các số thực được kí hiệu là ℝ.

3.2 Biểu diễn thập phân của số thực

- Mỗi số thực là số hữu tỉ hoặc số vô tỉ. Vì thế, mỗi số thực đều biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn. Ta có sơ đồ sau:

Ôn tập chương 2 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

4. Biểu diễn số thực trên trục số

Tương tự như đối với số hữu tỉ, ta có thể biểu diễn mọi số thực trên trục số, khi đó điểm biểu diễn số thực x được gọi là điểm x.

Nhận xét:

- Không phải mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số hữu tỉ. Vậy các điểm biểu diễn số hữu tỉ không lấp đầy trục số.

- Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số; ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

Vậy trục số còn được gọi là trục số thực.

5. Số đối của một số thực

- Trên trục số, hai số thực (phân biệt) có điểm biểu diễn nằm về hai phía của điểm gốc 0 và cách đều điểm gốc 0 được gọi là hai số đối nhau.

- Số đối của số thực a kí hiệu là – a.

- Số đối của số 0 là 0.

Nhận xét: Số đối của – a là số a, tức là –(–a) = a.

6. So sánh các số thực

6.1 So sánh hai số thực

Cũng như số hữu tỉ, trong hai số thực khác nhau luôn có một số nhỏ hơn số kia.

- Nếu số thực a nhỏ hơn số thực b thì ta biết a < b hay b > a.

- Số thực lớn hơn 0 gọi là số thực dương.

- Số thực nhỏ hơn 0 gọi là số thực âm.

- Số 0 không phải là số thực dương cũng không phải số thực âm.

- Nếu a < b và b < c thì a < c.

6.2 Cách so sánh hai số thực

- Ta có thể so sánh hai số thực bằng cách biểu diễn thập phân mỗi số thực đó rồi so sánh hai số thập phân đó.

- Việc biểu diễn một số thực dưới dạng số thập phân (hữu hạn hoặc vô hạn) thường là phức tạp. Trong một số trường hợp ta dùng quy tắc: Với a, b là hai số thực dương, nếu a > b thì $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ .

6.3 Minh họa trên trục số

Giả sử hai điểm x, y lần lượt biểu diễn hai số thực x, y trên trục số nằm ngang. Ta có nhận xét sau:

- Nếu x < y hay y > x thì điểm x nằm bên trái điểm y;

- Ngược lại nếu điểm x nằm bên trái điểm y thì x < y hay y > x.

Đối với hai điểm x, y lần lượt biểu diễn hai số thực x, y trên trục số thẳng đứng, ta cũng có nhận xét sau:

- Nếu x < y hay y > x thì điểm x nằm phía dưới điểm y;

- Ngược lại, nếu điểm x nằm phía dưới điểm y thì x < y hay y > x.

7. Khái niệm giá trị tuyệt đối của số thực

- Khoảng cách từ điểm x đến điểm gốc 0 trên trục số được gọi là giá trị tuyệt đối của số x, kí hiệu |x|.

Nhận xét:

- Giá trị tuyệt đối của một số luôn là một số không âm: |x| ≥ 0 với mọi số thực x.

- Hai số thực đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

8. Tính chất giá trị tuyệt đối của số thực

- Nếu x là số dương thì giá trị tuyệt đối của x là chính nó: |x| = x (x > 0).

- Nếu x là số âm thì giá trị tuyệt đối của x là số đối của nó: |x| = – x (x < 0).

- Giá trị tuyệt đối của 0 là 0: |0| = 0.

Nhận xét: Với mỗi số thực x, ta có:

+) $| x | = \{\begin{matrix} x khi x \geq 0 \\ - x khi x < 0 \end{matrix}$ .

+) |– x| = |x|.

Chú ý: Giả sử hai điểm A, B lần lượt biểu diễn hai số thực a, b khác nhau trên trục số. Khi đó, độ dài của đoạn thẳng AB là |a – b|, tức là AB = |a – b|.

9. Làm tròn số

9.1 Số làm tròn

Ở nhiều tình huống thực tiễn ta cần tìm một số thực khác xấp xỉ với số thực đã cho để thuận tiện hơn trong ghi nhớ, đo đạc, hay tính toán. Số thực tìm được như thế được gọi là số làm tròn của số thực đã cho.

9.2 Làm tròn số với độ chính xác cho trước

Ta nói số a được làm tròn đến số b với độ chính xác d nếu khoảng cách giữa điểm a và điểm b trên trục số không vượt quá d.

Nhận xét:

- Khi làm tròn số đến một hàng nào đó thì độ chính xác bằng nửa đơn vị của hàng làm tròn.

Ôn tập chương 2 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

- Để làm tròn số với độ chính xác cho trước, ta có thể sử dụng cách ở bảng sau:

Ôn tập chương 2 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

- Để làm tròn một số thập phân âm, ta chỉ cần làm tròn số đối của nó rồi đặt dấu “–” trước kết quả.

Chú ý: Trong đo đạc và tính toán thực tiễn, ta thường có gắng làm tròn số thực với độ chính xác d nhỏ nhất càng tốt. Trong thực tế, làm tròn số thực là một công việc có nhiều khó khăn. Tuy nhiên, người ta cũng biết một số cách để làm tròn số thực.

10. Ước lượng

Trong thực tiễn, đôi lúc ta không quá quan tâm đến tính chính xác của kết quả tính toán mà chỉ cần ước lượng kết quả, tức là tìm một số gần sát với kết quả chính xác.

11. Tỉ lệ thức

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ , viết là $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .

Chú ý: Tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ còn được viết là a : b = c : d; các số a, b, c, d gọi là các số hạng của tỉ lệ thức.

12. Tính chất của tỉ lệ thức

12.1 Tính chất 1

Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì ad = bc.

12.2 Tính chất 2

Nếu ad = bc và a, b, c, d đều khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ; $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ ; $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$ ; $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$ .

Nhận xét: Với a, b, c, d đều khác 0 thì từ một trong năm đẳng thức sau đây, ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.

Ôn tập chương 2 (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

13. Khái niệm dãy tỉ số bằng nhau

Những tỉ số bằng nhau và được viết nối với nhau bởi các dấu đẳng thức tạo thành dãy tỉ số bằng nhau.

Chú ý:

- Với dãy tỉ số bằng nhau $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{g}$ ta cũng viết a : b = c : d = e : g.

- Khi có dãy tỉ số bằng nhau $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{g}$ , ta nói các số a, c, e tỉ lệ với các số b, d, g và viết là a : c : e = b : d : g.

14. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , ta suy ra:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}$ ( b ≠ d và b ≠ –d).

Nhận xét: Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau. Chẳng hạn từ dãy tỉ số bằng nhau $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{g}$ , ta suy ra:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{g} = \frac{a + c + e}{b + d + g} = \frac{a - c + e}{b - d + g}$ (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

15. Ứng dụng của dãy tỉ số bằng nhau

Các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, chẳng hạn, ứng dụng vào bài toán chia đại lượng cho trước thành các phần theo tỉ lệ cho trước.

16. Đại lượng tỉ lệ thuận

- Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = kx (với k là một hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.

- Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ $\frac{1}{k}$ . Ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.

17. Tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận

Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:

- Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi;

- Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

Cụ thể: Giả sử y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k. Với mỗi giá trị x₁, x₂, x₃,… khác 0 của x, ta có một giá trị tương ứng y₁, y₂, y₃, … của y. Khi đó:

$\frac{y_{1}}{x_{1}} = \frac{y_{2}}{x_{2}} = \frac{y_{3}}{x_{3}} = ... = k;$

$\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}}; \frac{x_{1}}{x_{3}} = \frac{y_{1}}{y_{3}}; ...$

18. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận

Bài toán 1: Một máy in trong 5 phút in được 120 trang. Hỏi trong 3 phút máy in đó in được bao nhiêu trang?

Hướng dẫn giải

Gọi x (phút), y (trang) lần lượt là thời gian in và số trang mà máy in đã in được. Khi đó mỗi quan hệ giữa thời gian (x) và số trang in được (y) được cho bởi bảng sau:

Thời gian (x)	x₁ = 5	x₂ = 3
Số trang in (y)	y₁ = 120	y₂ = ?

Ta có thời gian in tỉ lệ thuận với số trang in được theo hệ số tỉ lệ $k = \frac{120}{5} = 24$ .

Suy ra $\frac{y_{2}}{3} = 24$ . Vì thế y₂ = 24 . 3 = 72.

Vậy trong 3 phút máy in in được 72 trang.

Bài toán 2: Hai thanh chì có thể tích là 12 cm³ và 17 cm³. Hỏi mỗi thanh nặng bao nhiêu gam, biết rằng thanh thứ hai nặng hơn thanh thứ nhất 56,5 g?

Hướng dẫn giải

Gọi khối lượng của hai thanh chì tương ứng là m₁ gam và m₂ gam. Khi đó m₂ – m₁ = 56,5 (g)

Do khối lượng và thể tích của vật thể là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. Do đó, ta có:

$\frac{m_{1}}{12} = \frac{m_{2}}{17}$ .

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{m_{1}}{12} = \frac{m_{2}}{17} = \frac{m_{2} - m_{1}}{17 - 12} = \frac{56, 5}{5} = 11, 3$ .

Suy ra m₁ = 12 . 11,3 = 135,6 ; m₂ = 17 . 11,3 = 192,1.

Vậy hai thanh chì có khối lượng là 135,6 gam và 192,1 gam.

19. Đại lượng tỉ lệ nghịch

- Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức $y = \frac{a}{x}$ hay xy = a (với a là một hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

- Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a. Ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Ví dụ: Nếu $y = \frac{- 5}{x}$ thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ –5. Khi đó x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ –5.

20. Tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch

Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:

- Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ).

- Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ lệ hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

Giả sử y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a. Với mỗi giá trị x₁, x₂, x₃, … khác 0 của x, ta có một giá trị tương ứng y₁, y₂, y₃,… của y. Khi đó:

x₁ y₁ = x₂ y₂ = x₃ y₃ = …= a hay $\frac{x_{1}}{\frac{1}{y_{1}}} = \frac{x_{2}}{\frac{1}{y_{2}}} = \frac{x_{3}}{\frac{1}{y_{3}}} = ... = a;$

$\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{2}}{y_{1}}; \frac{x_{1}}{x_{3}} = \frac{y_{3}}{y_{1}}; ...$

21. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Chú ý:

- Năng suất lao động và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

- Số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Bài toán 1: Cho biết 35 công nhân xây một ngôi nhà hết 168 ngày. Hỏi nếu chỉ có 28 công nhân xây ngôi nhà đó thì hết bao nhiêu ngày (giả sử năng suất làm việc của mỗi công nhân là như nhau).

Hướng dẫn giải

Gọi x (công nhân), y (ngày) lần lượt là số công nhân và thời gian xây xong ngôi nhà. Khi đó, mối quan hệ giữa số công nhân (x) và thời gian xây xong ngôi nhà (y) được cho bởi bảng:

Số công nhân (x)	x₁ = 35	x₂ = 28
Thời gian xây xong nhà (y)	y₁ = 168	y₂ = ?

Ta có thời gian xây xong nhà (y) tỉ lệ nghịch với số công nhân làm việc theo hệ số tỉ lệ

a = x₁ . y₁ = 35 . 168 = 5 880.

Suy ra 28 . y₂ = 5 880. Vì thế y₂ = 5 880 : 28 = 210 (ngày)

Vậy 28 công nhân xây xong ngôi nhà trong 210 ngày.

Bài toán 2: Để tổ chức liên hoan cho gia đình, bác Ngọc dự định mua 2,9 kg thực phẩm gồm: thịt bò, thịt lợn, tôm sú. Số tiền bác Ngọc mua mỗi loại thực phẩm là như nhau. Biết giá thịt bò là 280 nghìn đồng/kg, giá thịt lợn là 160 nghìn đồng/kg và tôm sú là 320 nghìn đồng/kg. Mỗi loại thực phẩm bác Ngọc mua được là bao nhiêu kg?

Hướng dẫn giải

Gọi x (kg), y (kg), z (kg) lần lượt là số lượng thịt bò, thịt lợn, tôm sú mà bác Ngọc mua được. Khi đó: x + y + z = 2,9.

Vì số tiền mua mỗi loại thực phẩm là như nhau nên 280 . x = 160 . y = 320 . z

hay 7 . x = 4 . y = 8 . z (chia đồng thời các vế cho 40).

Do đó : $\frac{x}{\frac{1}{7}} = \frac{y}{\frac{1}{4}} = \frac{z}{\frac{1}{8}}$ .

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{\frac{1}{7}} = \frac{y}{\frac{1}{4}} = \frac{z}{\frac{1}{8}} = \frac{x + y + z}{\frac{1}{7} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}} = \frac{2, 9}{\frac{29}{56}} = 5, 6$ .