Với giải sách bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 2 sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 7. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 7 Bài tập cuối chương 2

Giải Toán 7 trang 64 Tập 1

Bài 72 trang 64 Toán 7 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Mọi số anvô tỉ đều là số thực.

B. Mọi số thực đều là số vô tỉ.

C. Số 0 là số hữu tỉ.

D. $-\sqrt{2}$ là số vô tỉ.

Lời giải:

Số thực bao gồm số hữu tỉ và số vô tỉ nên phát biểu "Mọi số thực đều là số vô tỉ" là sai.

Ví dụ: $\frac{1}{2}$ là số thực nhưng không phải là số vô tỉ.

Chọn đáp án B.

Bài 73 trang 64 Toán 7 Tập 1: Trong các kết quả của mỗi phép tính sau, kết quả nào không bằng 1,1?

Lời giải:

Tính kết quả ở mỗi đáp án, ta được:

Ta thấy chỉ có phép tính $\sqrt{{(2,1-0,3)}^2}$ có kết quả không bằng 1,1.

Chọn đáp án A.

Bài 74 trang 64 Toán 7 Tập 1: Tổng các giá trị của x thỏa mãn $\left|x-\frac{1}{2}\right|-1=\frac{5}{2}$ là:

A. 4.

B. −3.

C. 1.

D. −1.

Lời giải:

Ta có: 

$\begin{array}{l}\left|x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right|-1={\displaystyle \frac{5}{2}}\\ =[\begin{array}{l}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}-1={\displaystyle \frac{5}{2}}\left(x\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\\ -\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)-1={\displaystyle \frac{5}{2}}\left(x<{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\end{array}\end{array}$

Bài 75 trang 64 Toán 7 Tập 1:

Sắp xếp các số $\left|-4\right|;\sqrt{5};\left|\frac{-11}{3}\right|;\sqrt{64};-\frac{7}{3}$ theo thứ tự tăng dần là:

Lời giải:

Ta thấy $-\frac{7}{3}$ là số âm; các số còn lại đều là số dương.

Ta có:

$$\begin{gathered} \left|-4\right|=4;\sqrt{5}=2,\mathrm{236...};\left|\frac{-11}{3}\right| \\ =\frac{11}{3}=3,\left(6\right);\sqrt{64}=8 \end{gathered}$$

Vì 2,236... < 3,(6) < 4 < 8 nên $\sqrt{5}<\left|\frac{-11}{3}\right|<\left|-4\right|<\sqrt{64}$.

Do đó $-\frac{7}{3}<\sqrt{5}<\left|\frac{-11}{3}\right|<\left|-4\right|<\sqrt{64}$.

Vậy các số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là $-\frac{7}{3};\sqrt{5};\left|\frac{-11}{3}\right|;\left|-4\right|;\sqrt{64}$.

Chọn đáp án B.

Bài 76 trang 64 Toán 7 Tập 1: Hai lớp 7A, 7B đã ủng hộ 8 400 000 đồng cho quỹ phòng chống dịch Covid-19. Số tiền ủng hộ của hai lớp 7A, 7B lần lượt tỉ lệ với 4; 3. Số tiền mỗi lớp ủng hộ quỹ trên là:

A. Lớp 7A ủng hộ 3 600 000 đồng; Lớp 7B ủng hộ 4 800 000 đồng.

B. Lớp 7A ủng hộ 4 600 000 đồng; Lớp 7B ủng hộ 3 800 000 đồng.

C. Lớp 7A ủng hộ 3 800 000 đồng; Lớp 7B ủng hộ 4 600 000 đồng.

D. Lớp 7A ủng hộ 4 800 000 đồng; Lớp 7B ủng hộ 3 600 000 đồng.

Lời giải:

Gọi x (đồng), y (đồng) lần lượt là số tiền lớp 7A, 7B ủng hộ cho quỹ phòng chống dịch Covid-19.

Theo đề bài, hai lớp 7A, 7B đã ủng hộ 8 400 000 đồng nên

x + y = 8 400 000.

Số tiền ủng hộ của hai lớp 7A, 7B lần lượt tỉ lệ với 4; 3 nên:

$\frac{x}{4}=\frac{y}{3}=\frac{x+y}{4+3}$$=\frac{8400000}{7}=1200000$.

Do đó x = 1 200 000 . 4 = 4 800 000 (đồng);

y = 1 200 000 . 3 = 3 600 000 (đồng).

Vậy số tiền lớp 7A, 7B ủng hộ cho quỹ phòng chống dịch Covid-19 lần lượt là 4 800 000 đồng và 3 600 000 đồng.

Chọn đáp án D.

Bài 77 trang 64 Toán 7 Tập 1: Một ô tô đi quãng đường 135 km với vận tốc v (km/h) và thời gian t (h). Mối quan hệ giữa v và t là:

A. v và t là hai đại lượng tỉ lệ thuận với hệ số tỉ lệ 135.

B. v và t là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ $\frac{1}{135}$.

C. v và t là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ 135.

D. v và t là hai đại lượng tỉ lệ thuận với hệ số tỉ lệ $\frac{1}{135}$.

Lời giải:

Theo đề bài, quãng đường ô tô đi được là 135 km nên v . t = 135.

Do đó v và t là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ v . t = 135.

Chọn đáp án C.

Giải Toán 7 trang 65 Tập 1

Bài 78 trang 65 Toán 7 Tập 1: Viết mỗi số sau dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn:

$\frac{1}{3};\frac{17}{6};\frac{3}{4};\frac{-14}{11};\frac{-4}{55}$.

Lời giải:

Các số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn như sau:

$$\begin{gathered} \frac{1}{3}=1:3=0,\left(3\right);\frac{17}{6}=17:6=2,8\left(3\right); \\ \frac{3}{4}=3:4=0,75 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{-14}{11}=-14:11=-1,\left(27\right); \\ \frac{-4}{55}=-4:55=-0,0\left(72\right) \end{gathered}$$

Bài 79 trang 65 Toán 7 Tập 1: Trong các số sau, số nào là số vô tỉ:

34,(3); 5,234561213141516...; −45,8(89); $-\sqrt{121}$; $\sqrt{19}$; $\sqrt{\frac{25}{16}}$?

Lời giải:

Ta có: $-\sqrt{121}=-11$; $\sqrt{19}=4,\mathrm{35889...}$; $\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}$.

Các số 34,(3); −45,8(89); −11; $\frac{5}{4}$ là số hữu tỉ.

Các số 5,234561213141516...; 4,35889... là số vô tỉ.

Vậy các số vô tỉ là 5,234561213141516...; $\sqrt{19}$.

Bài 80 trang 65 Toán 7 Tập 1: So sánh:

Lời giải:

a) Phần nguyên của hai số 213,6(42) và 213,598... bằng nhau.

Ta so sánh chữ số hàng phần mười, vì 6 > 5 nên 213,6(42) > 213,598...

Vậy 213,6(42) > 213,598...

b) Ta có: −43,(001) = −43,001001...

Vì −43,001 > −43,001001... nên −43,001 > −43,(001).

Vậy −43,001 > −43,(001).

c) Ta có: $-\sqrt{237}=-15,\mathrm{3948...}$

Vì −15,3948... < −15 nên $-\sqrt{237}$ < −15.

Vậy $-\sqrt{237}$ < −15.

d) Ta thấy $\frac{40}{81}<\frac{40}{202}=\frac{20}{101}$ nên $1\frac{40}{81}<1\frac{20}{101}$.

Mà $1\frac{40}{81}>1;1\frac{20}{101}>1$.

Do đó $\sqrt{1\frac{40}{81}}$ > $\sqrt{1\frac{20}{101}}$.

e) Ta có: $2+\sqrt{37}=8,\mathrm{0827...}$; $6+\sqrt{2}=7,\mathrm{4142...}$

Ta thấy 8,0827... > 7,4142...

Do đó $2+\sqrt{37}$ > $6+\sqrt{2}$.

g) Ta có: $\frac{\sqrt{5^2}+\sqrt{{15}^2}}{\sqrt{4^2}+\sqrt{{36}^2}}=\frac{5+15}{4+36}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$; $\frac{1}{\sqrt{2^2}}=\frac{1}{2}$.

Ta thấy $\frac{\sqrt{5^2}+\sqrt{{15}^2}}{\sqrt{4^2}+\sqrt{{36}^2}}=\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Vậy $\frac{\sqrt{5^2}+\sqrt{{15}^2}}{\sqrt{4^2}+\sqrt{{36}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Bài 81 trang 65 Toán 7 Tập 1: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:

a) $-0,34;-6,\left(25\right);1\frac{5}{9};\sqrt{169};\sqrt{15}$;

b) $1,0\left(09\right);\sqrt{64};31\frac{1}{5};34,\left(5\right);-\sqrt{225}$.

Lời giải:

a) Ta có $-6,\left(25\right)=-6,\mathrm{2525...};1\frac{5}{9}=1,\mathrm{5555...}$;

$\sqrt{169}=13;\sqrt{15}=3,\mathrm{8729...}$.

Vì −6,2525... < −0,34 < 1,5555... < 3,8729... < 13.

Nên $-6,\left(25\right)<-0,34<1\frac{5}{9}$$<\sqrt{15}<\sqrt{169}$.

Vậy các số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là 

b) Ta có $1,0\left(09\right)=1,\mathrm{00909...};\sqrt{64}=8$;

$$\begin{gathered} 31\frac{1}{5}=31,2;34,\left(5\right)=34,\mathrm{555...}; \\ -\sqrt{225}=-15 \end{gathered}$$

Vì −15 < 1,00909... < 8 < 31,2 < 34,555...

Nên $-\sqrt{225}<1,0\left(09\right)<\sqrt{64}<31\frac{1}{5}<34,\left(5\right)$.

Vậy các số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là $-\sqrt{225};1,0\left(09\right)$; $\sqrt{64}$; $31\frac{1}{5};34,\left(5\right)$.

Bài 82 trang 65 Toán 7 Tập 1: Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần:

a) $2\frac{1}{4};\sqrt{16};-\sqrt{83};-\sqrt{196};-0,0\left(51\right)$;

b) $21\frac{1}{6};\sqrt{49};-\sqrt{144};$$\hspace{0.17em}-614,1;-111,0\left(3\right)$.

Lời giải:

a) Ta có

Vì 4 > 2,25 > −0,05151... > −9,1104... > −14.

Nên $\sqrt{16}>2\frac{1}{4}>-0,0\left(51\right)$$>-\sqrt{83}>-\sqrt{196}$.

Vậy các số được sắp xếp theo thứ tự giảm dần:$\sqrt{16};2\frac{1}{4};-0,0\left(51\right)$;$-\sqrt{83}$; $-\sqrt{196}$.

b) Ta có:

$$\begin{gathered} 21\frac{1}{6}=21,\mathrm{166...};\sqrt{49}=7; \\ -\sqrt{144}=-12 \end{gathered}$$

−111,0(3) = −111,0333...

Vì 21,166... > 7 > −12 > −111,0333... > −614,1.

Nên $21\frac{1}{6}>\sqrt{49}>-\sqrt{144}$$>-111,0\left(3\right)>-614,1$.

Vậy các số được sắp xếp theo thứ tự giảm dần:$21\frac{1}{6};\sqrt{49};-\sqrt{144};$$\hspace{0.17em}-111,0\left(3\right);-614,1$.

Bài 83 trang 65 Toán 7 Tập 1: Tính:

Lời giải:

a) $\sqrt{0,04}+\sqrt{0,25}+2,31$

= 0,2 + 0,5 + 2,31

= 0,7 + 2,31 = 3,01.

b) $\left(-\sqrt{0,09}\right)+\left(-\sqrt{169}\right)+12,501$

= (− 0,3) + (−13) + 12,501

= (−13,3) + 12,501 = −0,799.

c) $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}}+\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{144}}-3,5$

$=\frac{7}{2}+\frac{15}{12}-3,5$

= 3,5 + 1,25 – 3,5

= 3,5 – 3,5 + 1,25

= 1,25.

d) $\left(-\sqrt{0,04}\right).\sqrt{0,01}+12,02$

= (–0,2) . 0,1 + 12,02

= –0,02 + 12,02 = 12.

Giải Toán 7 trang 66 Tập 1

Bài 84 trang 66 Toán 7 Tập 1: Tìm x, biết:

Lời giải:

a) $x+\frac{6}{23}+(-0,7)+\frac{17}{23}=0$

$\frac{6}{23}+\frac{17}{23}-0,7+x=0$

1 – 0,7 + x = 0

0,3 + x = 0

x = –0,3.

Vậy x = –0,3.

b) $\left|x\right|-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$

$\left|x\right|=\frac{9}{2}+\frac{1}{2}$

|x| = 5

x = 5 hoặc x = −5.

Vậy x = 5 hoặc x = −5.

c) $2x+\sqrt{0,81}-\left|\frac{-5}{4}\right|:{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=-0,1$

$2x+0,9-\frac{5}{4}:\frac{1}{4}=-0,1$

$0,9-\frac{5}{4}.4+2x=-0,1$

0,9 – 5 + 2x = −0,1

– 4,1 + 2x = −0,1

– 4 + 2x = 0

2x = 4

x = 2

Vậy x = 2.

d*) Ta có: |x| ≥ 0; |x + 1| ≥ 0 với mọi số thực x.

Nên |x| + |x + 1| ≥ 0 với mọi số thực x.

Mà $-\frac{3}{4}<0$ nên không có giá trị nào của x thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Bài 85 trang 66 Toán 7 Tập 1: Chỉ số đồng hồ đo nước sinh hoạt của nhà bạn Hạnh được thống kê theo bảng sau:

Thời điểm	Cuối tháng 6	Cuối tháng 7	Cuối tháng 8	Cuối tháng 9
Chỉ số đồng hồ đo nước (m3)	204	220	237	250

Tổng số tiền nước nhà bạn Hạnh phải trả trong Quý III là 354 200 đồng. Tính số tiền nước nhà bạn Hạnh phải trả trong mỗi tháng của Quý III, biết rằng giá mỗi mét khối nước hằng tháng là như nhau.

Lời giải:

Số nước nhà bạn Hạnh dùng trong Quý III là:

250 – 204 = 46 (m³).

Giá của 1 m³ nước là:

354 200 : 46 = 7 700 (đồng).

Số tiền nước nhà bạn Hạnh phải trả trong tháng 7 là:

7 700 . (220 – 204) = 123 200 (đồng).

Số tiền nước nhà bạn Hạnh phải trả trong tháng 8 là:

7 700 . (237 – 220) = 130 900 (đồng).

Số tiền nước nhà bạn Hạnh phải trả trong tháng 9 là:

7 700 . (250 – 237) = 100 100 (đồng).

Vậy trong Quý III, số tiền nước nhà bạn Hạnh phải trả trong tháng 7, tháng 8, tháng 9 lần lượt là: 123 200 đồng; 130 900 đồng; 130 900 đồng.

Bài 86 trang 66 Toán 7 Tập 1: Tìm ba số x, y, z, biết:

a) 2x = 3y; 5y = 7z và 3x – 7y + 5z = 30;

b) $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ và x – 2y + 3z = 14.

Lời giải:

a) Ta có 2x = 3y; 5y = 7z hay $\frac{x}{3}=\frac{y}{2};\frac{y}{7}=\frac{z}{5}$.

Suy ra: $\frac{x}{21}=\frac{y}{14}=\frac{z}{10}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{21}=\frac{y}{14}=\frac{z}{10}$$=\frac{3x-7y+5z}{3.21-7.14+5.10}=\frac{30}{15}=2$.

Do đó x = 2 . 21 = 42; y = 2 . 14 = 28; z = 2 . 10 = 20.

Vậy x = 42; y = 28; z = 20.

b) $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ và x – 2y + 3z = 14.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$$=\frac{(x-1)-2(y-2)+3(z-3)}{2-2.3+3.4}$

$=\frac{x-2y+3z-6}{8}=\frac{14-6}{8}=1$.

Do đó x – 1 = 1 . 2 = 2; y – 2 = 1 . 3 = 3; z – 3 = 1 . 4 = 4.

Vậy x = 3; y = 5; z = 7.

Bài 87 trang 66 Toán 7 Tập 1: Một chiếc xe đạp và một chiếc xe máy cùng một lúc đi từ A đến B. Vận tốc của xe máy lớn hơn vận tốc của xe đạp là 18 km/h nên khi xe máy đến B thì xe đạp mới đến C (C nằm giữa A và B). Quãng đường CB bằng 0,6 lần quãng đường AB. Tính vận tốc của mỗi xe.

Lời giải:

Ta có quãng đường CB bằng 0,6 lần quãng đường AB nên quãng đường AC bằng 0,4 lần quãng đường AB.

Gọi vận tốc của xe đạp, xe máy lần lượt là v₁ (km/h), v₂ (km/h).

Do cùng một thời gian thì vận tốc và quãng đường là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{AC}{AB}=0,4=\frac{2}{5}$ hay $\frac{v_1}{2}=\frac{v_2}{5}$.

Mặt khác, ta lại có v₂ – v₁ = 18.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{v_1}{2}=\frac{v_2}{5}=\frac{v_2-v_1}{5-2}=\frac{18}{3}=6$.

Do đó v₁ = 6 . 2 = 12 (km/h); v₂ = 6 . 5 = 30 (km/h).

Vậy vận tốc của xe đạp, xe máy lần lượt là: 12 km/h; 30 km/h.

Bài 88 trang 66 Toán 7 Tập 1: Chị Hà đã chuẩn bị đúng số tiền để mua 15 kg cá hồi tại một cửa hàng thủy hải sản. Nhưng hôm đó nhân dịp năm mới nên cửa hàng đã giảm giá 20% mỗi ki-lô-gam cá hồi. Với số tiền đã chuẩn bị, chị Hà mua thêm được nhiều nhất bao nhiêu ki-lô-gam cá hồi?

Lời giải:

Gọi x (đồng) là giá tiền của một ki-lô-gam trước khi giảm giá.

Giá tiền một ki-lô-gam sau khi giảm giá là:

(100% − 20%) . x = 80%x = 0,8x (đồng).

Số tiền ban đầu chị Hà có: 15x (đồng).

Với số tiền đã chuẩn bị, chị Hà mua được nhiều nhất số kg cá hồi là:

15x : 0,8x = 18,75 (kg)

Ban đầu chị Hà dự định mua 15 kg, sau khi giảm giá thì với số tiền đã chuẩn bị, chị Hà mua thêm được nhiều nhất số kg cá hồi là:

18,75 – 15 = 3,75 (kg) .

Vậy với số tiền đã chuẩn bị, chị Hà mua thêm được nhiều nhất 3,75 ki-lô-gam cá hồi.

Giải Toán 7 trang 67 Tập 1

Bài 89 trang 67 Toán 7 Tập 1: Một công ty xây dựng dự định giao cho một nhóm gồm 48 công nhân thực hiện một công việc trong 12 ngày. Tuy nhiên, khi bắt đầu công việc thì một số công nhân bị điều động đi làm việc khác, do đó thời gian làm việc thực tế của nhóm công nhân còn lại kéo dài thêm 6 ngày so với dự kiến. Hỏi số công nhân bị điều động đi làm việc khác là bao nhiêu? Giả sử năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau.

Lời giải:

Gọi x (công nhân) là số công nhân thực hiện công việc dự định ban đầu.

Thời gian thực tế đội công nhân đó hoàn thiện công việc là:

12 + 6 = 18 (ngày).

Vì số công nhân và thời gian thực hiện công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên 18x = 48 . 12 = 576.

Suy ra x = 576 : 18 = 32.

Do đó có 32 công nhân thực hiện công việc dự định ban đầu nên số công nhân bị điều động đi làm việc khác là:

48 – 32 = 16 (công nhân).

Vậy số công nhân bị điều động đi làm việc khác là 16 công nhân.

Bài 90* trang 67 Toán 7 Tập 1: Trong kì thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán, ba khối 6, 7, 8 có tất cả 200 học sinh tham dự thi. Tính số học sinh tham dự thi của mỗi khối, biết rằng nếu tăng $\frac{3}{13}$ số học sinh tham gia dự thi của khối lớp 6, tăng $\frac{1}{15}$ số học sinh tham dự thi của khối lớp 7 và tăng $\frac{1}{3}$ số học sinh tham dự thi của khối lớp 8 thì số học sinh tham dự thi của mỗi khối là như nhau.

Lời giải:

Gọi x, y, z (học sinh) lần lượt là số học sinh tham dự thi của khối 6, 7, 8.

Theo đề bài, ba khối 6, 7, 8 có tất cả 200 học sinh tham dự thi nên

x + y + z = 200.

Ta có: $x+\frac{3}{13}x=y+\frac{1}{15}y=z+\frac{1}{3}z$ hay $\frac{16x}{13}=\frac{16y}{15}=\frac{4z}{3}$

Suy ra: $\frac{x}{13}=\frac{y}{15}=\frac{z}{12}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

 $\frac{x}{13}=\frac{y}{15}=\frac{z}{12}$$=\frac{x+y+z}{13+15+12}=\frac{200}{40}=5$.

Do đó x = 13 . 5 = 65; y = 15 . 5 = 75; z =  12 . 5 = 60.

Vậy khối 6, 7, 8 lần lượt có: 65 học sinh, 75 học sinh, 60 học sinh tham dự cuộc thi.

Bài 91* trang 67 Toán 7 Tập 1: Cho các số a, b, c thỏa mãn $\frac{a}{2020}=\frac{b}{2021}=\frac{c}{2022}$. Chứng tỏ rằng:

4(a – b)(b – c) = (c – a)².

Lời giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{2020}=\frac{b}{2021}=\frac{c}{2022}$

$=\frac{a-b}{2020-2021}$$=\frac{b-c}{2021-2022}=\frac{c-a}{2022-2020}$

Suy ra $\frac{a-b}{-1}=\frac{b-c}{-1}=\frac{c-a}{2}$ hay c – a = –2(a – b) = –2(b – c).

Do đó (c – a)² = [–2(a – b)][–2(b – c)] = 4(a – b)(b – c).

Vậy 4(a – b)(b – c) = (c – a)².

Bài 92* trang 67 Toán 7 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a) A = |x − 1| + 21;

b) $B=\sqrt{x}+x^2-22$ với x ≥ 0.

Lời giải:

a) Ta có: |x − 1| ≥ 0 với mọi số thực x.

Nên A = |x − 1| + 21 ≥ 21 với mọi số thực x.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 21. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi |x − 1| = 0.

Suy ra x – 1 = 0 hay x = 1.

b) Ta có: $\sqrt{x}\ge 0$, x² ≥ 0 với mọi số thực x.

Nên $\sqrt{x}+x^2\ge 0$ với mọi số thực x.

Suy ra $B=\sqrt{x}+x^2-22\ge -22$ với mọi số thực x.

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là –22.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{x}=0$ và  x² = 0. Suy ra x = 0.

Bài 93* trang 67 Toán 7 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:

a) C = − |x| − x² + 23;

b) $D=-\sqrt{x^2+25}+1225$.

Lời giải:

a) Ta có: |x| ≥ 0, x² ≥ 0 với mọi số thực x.

Nên − |x| − x² ≤ 0 với mọi số thực x.

Suy ra C = − |x| − x² + 23 ≤ 23 với mọi số thực x.

Vậy giá trị lớn nhất của C là 23.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi |x| = 0 và x² = 0. Suy ra x = 0.

b) $D=-\sqrt{x^2+25}+1225$.

Ta có: x² ≥ 0 với mọi số thực x.

Nên $\sqrt{x^2+25}\ge \sqrt{25}$ hay $\sqrt{x^2+25}\ge 5$ với mọi số thực x.

Suy ra $D=-\sqrt{x^2+25}+$$1225\le -5+1225$ hay D ≤ 1 220 với mọi số thực x.

Vậy giá trị lớn nhất của D là 1 220. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x² = 0. Suy ra x = 0.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 8 : Đại lượng tỉ lệ nghịch

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương

Bài 2: Hình lăng trụ đứng tam giác. Hình lăng trụ đứng tứ giác

Bài ôn tập chương 3

Lý thuyết Toán 7 Chương 2: Số thực

1. Số vô tỉ

1.1 Khái niệm số vô tỉ

Trong đời sống thực tiễn của con người, ta thường gặp những số không phải là số hữu tỉ. Những số không phải là số hữu tỉ được gọi là số vô tỉ.

1.2 Số thập phân vô hạn không tuần hoàn

Những số thập phân vô hạn mà phần thập phân của nó không có một chu kì nào cả, những số đó được gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

1.3 Biểu diễn thập phân của số vô tỉ

Số vô tỉ được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

2. Căn bậc hai số học

- Căn bậc hai số học của một số a không âm là số x không âm sao cho x² = a.

- Căn bậc hai số học của số a (a ≥ 0) được kí hiệu là $\sqrt{\mathrm{a}}$.

- Căn bậc hai số học của số 0 là số 0, viết là: $\sqrt{0}=0$.

Chú ý: Cho a ≥ 0. Khi đó: 

+  Đẳng thức $\sqrt{\mathrm{a}}$ = b là đúng nếu b ≥ 0 và b² = a.

+  ${\left(\sqrt{\mathrm{a}}\right)}^2=\mathrm{a}$.

Nhận xét:

- Nếu số nguyên dương a không phải là bình phương của bất kì số nguyên dương nào thì  $\sqrt{\mathrm{a}}$ là số vô tỉ.

- Ta có thể tính được giá trị (đúng hoặc gần đúng) căn bậc hai số học của một số dương bằng máy tính cầm tay.

3. Tập hợp số thực

3.1 Số thực

- Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.

- Tập hợp các số thực được kí hiệu là ℝ.

3.2 Biểu diễn thập phân của số thực

 - Mỗi số thực là số hữu tỉ hoặc số vô tỉ. Vì thế, mỗi số thực đều biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn. Ta có sơ đồ sau:

4. Biểu diễn số thực trên trục số

Tương tự như đối với số hữu tỉ, ta có thể biểu diễn mọi số thực trên trục số, khi đó điểm biểu diễn số thực x được gọi là điểm x.

Nhận xét:

- Không phải mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số hữu tỉ. Vậy các điểm biểu diễn số hữu tỉ không lấp đầy trục số.

- Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số; ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

Vậy trục số còn được gọi là trục số thực.

5. Số đối của một số thực

- Trên trục số, hai số thực (phân biệt) có điểm biểu diễn nằm về hai phía của điểm gốc 0 và cách đều điểm gốc 0 được gọi là hai số đối nhau.

- Số đối của số thực a kí hiệu là – a.

- Số đối của số 0 là 0.

Nhận xét: Số đối của – a là số a, tức là –(–a) = a.

6. So sánh các số thực

6.1 So sánh hai số thực

Cũng như số hữu tỉ, trong hai số thực khác nhau luôn có một số nhỏ hơn số kia.

- Nếu số thực a nhỏ hơn số thực b thì ta biết a < b hay b > a.

- Số thực lớn hơn 0 gọi là số thực dương.

- Số thực nhỏ hơn 0 gọi là số thực âm.

- Số 0 không phải là số thực dương cũng không phải số thực âm.

- Nếu a < b và b < c thì a < c.

6.2 Cách so sánh hai số thực

- Ta có thể so sánh hai số thực bằng cách biểu diễn thập phân mỗi số thực đó rồi so sánh hai số thập phân đó.

- Việc biểu diễn một số thực dưới dạng số thập phân (hữu hạn hoặc vô hạn) thường là phức tạp. Trong một số trường hợp ta dùng quy tắc: Với a, b là hai số thực dương, nếu a > b thì $\sqrt{\mathrm{a}}>\sqrt{\mathrm{b}}$.

6.3 Minh họa trên trục số

Giả sử hai điểm x, y lần lượt biểu diễn hai số thực x, y trên trục số nằm ngang. Ta có nhận xét sau:

- Nếu x < y hay y > x thì điểm x nằm bên trái điểm y;

- Ngược lại nếu điểm x nằm bên trái điểm y thì x < y hay y > x.

Đối với hai điểm x, y lần lượt biểu diễn hai số thực x, y trên trục số thẳng đứng, ta cũng có nhận xét sau:

- Nếu x < y hay y > x thì điểm x nằm phía dưới điểm y;

- Ngược lại, nếu điểm x nằm phía dưới điểm y thì x < y hay y > x.

7. Khái niệm giá trị tuyệt đối của số thực

- Khoảng cách từ điểm x đến điểm gốc 0 trên trục số được gọi là giá trị tuyệt đối của số x, kí hiệu |x|.

Nhận xét:

- Giá trị tuyệt đối của một số luôn là một số không âm: |x| ≥ 0 với mọi số thực x.

- Hai số thực đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

8. Tính chất giá trị tuyệt đối của số thực

- Nếu x là số dương thì giá trị tuyệt đối của x là chính nó: |x| = x (x > 0).

- Nếu x là số âm thì giá trị tuyệt đối của x là số đối của nó: |x| = – x (x < 0).

- Giá trị tuyệt đối của 0 là 0: |0| = 0.

Nhận xét: Với mỗi số thực x, ta có:

+)    $\left|\mathrm{x}\right|=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}\mathrm{khi}\text{ x }\ge \text{0}\\ -\mathrm{x}\text{ khi x < 0}\end{array}\right.$.

+)    |– x| = |x|.

Chú ý: Giả sử hai điểm A, B lần lượt biểu diễn hai số thực a, b khác nhau trên trục số. Khi đó, độ dài của đoạn thẳng AB là |a – b|, tức là AB = |a – b|.

9. Làm tròn số

9.1 Số làm tròn

Ở nhiều tình huống thực tiễn ta cần tìm một số thực khác xấp xỉ với số thực đã cho để thuận tiện hơn trong ghi nhớ, đo đạc, hay tính toán. Số thực tìm được như thế được gọi là số làm tròn của số thực đã cho.

9.2 Làm tròn số với độ chính xác cho trước

Ta nói số a được làm tròn đến số b với độ chính xác d nếu khoảng cách giữa điểm a và điểm b trên trục số không vượt quá d.

Nhận xét:

- Khi làm tròn số đến một hàng nào đó thì độ chính xác bằng nửa đơn vị của hàng làm tròn.

- Để làm tròn số với độ chính xác cho trước, ta có thể sử dụng cách ở bảng sau:

- Để làm tròn một số thập phân âm, ta chỉ cần làm tròn số đối của nó rồi đặt dấu “–” trước kết quả.

Chú ý: Trong đo đạc và tính toán thực tiễn, ta thường có gắng làm tròn số thực với độ chính xác d nhỏ nhất càng tốt. Trong thực tế, làm tròn số thực là một công việc có nhiều khó khăn. Tuy nhiên, người ta cũng biết một số cách để làm tròn số thực.

10. Ước lượng

Trong thực tiễn, đôi lúc ta không quá quan tâm đến tính chính xác của kết quả tính toán mà chỉ cần ước lượng kết quả, tức là tìm một số gần sát với kết quả chính xác.

11. Tỉ lệ thức

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ và $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$, viết là $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$.

Chú ý: Tỉ lệ thức $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$ còn được viết là a : b = c : d; các số a, b, c, d gọi là các số hạng của tỉ lệ thức.

12. Tính chất của tỉ lệ thức

12.1 Tính chất 1

Nếu $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$ thì ad = bc.

12.2 Tính chất 2

Nếu ad = bc và a, b, c, d đều khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức:

$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$;   $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{d}}$;  $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$;  $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$.

Nhận xét: Với a, b, c, d đều khác 0 thì từ một trong năm đẳng thức sau đây, ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.

13. Khái niệm dãy tỉ số bằng nhau

Những tỉ số bằng nhau và được viết nối với nhau bởi các dấu đẳng thức tạo thành dãy tỉ số bằng nhau.

Chú ý:

- Với dãy tỉ số bằng nhau $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{g}}$ ta cũng viết a : b = c : d = e : g.

- Khi có dãy tỉ số bằng nhau $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{g}}$, ta nói các số a, c, e tỉ lệ với các số b, d, g và viết là a : c : e = b : d : g.

14. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Từ tỉ lệ thức $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$, ta suy ra:

$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{c}}{\mathrm{b}+\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{c}}{\mathrm{b}-\mathrm{d}}$( b ≠ d và b ≠ –d).

Nhận xét: Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau. Chẳng hạn từ dãy tỉ số bằng nhau  $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{g}}$, ta suy ra:

$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{g}}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{c}+\mathrm{e}}{\mathrm{b}+\mathrm{d}+\mathrm{g}}=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{c}+\mathrm{e}}{\mathrm{b}-\mathrm{d}+\mathrm{g}}$  (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

15. Ứng dụng của dãy tỉ số bằng nhau

Các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, chẳng hạn, ứng dụng vào bài toán chia đại lượng cho trước thành các phần theo tỉ lệ cho trước.

16. Đại lượng tỉ lệ thuận

- Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = kx (với k là một hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.

- Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ $\frac{1}{\mathrm{k}}$. Ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.

17. Tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận

Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:

- Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi;

- Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

Cụ thể: Giả sử y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k. Với mỗi giá trị x₁, x₂, x₃,… khác 0 của x, ta có một giá trị tương ứng y₁, y₂, y_3­, … của y. Khi đó:

$\frac{{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{x}}_1}=\frac{{\mathrm{y}}_2}{{\mathrm{x}}_2}=\frac{{\mathrm{y}}_3}{{\mathrm{x}}_3}=\mathrm{...}=\mathrm{k};$

$\frac{{\mathrm{x}}_1}{{\mathrm{x}}_2}=\frac{{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{y}}_2};\frac{{\mathrm{x}}_1}{{\mathrm{x}}_3}=\frac{{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{y}}_3};\mathrm{...}$

18. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận

Bài toán 1:  Một máy in trong 5 phút in được 120 trang. Hỏi trong 3 phút máy in đó in được bao nhiêu trang?

Hướng dẫn giải

Gọi x (phút), y (trang) lần lượt là thời gian in và số trang mà máy in đã in được. Khi đó mỗi quan hệ giữa thời gian (x) và số trang in được (y) được cho bởi bảng sau:

Thời gian (x)	x1 = 5	x2 = 3
Số trang in (y)	y1 = 120	y2 = ?

Ta có thời gian in tỉ lệ thuận với số trang in được theo hệ số tỉ lệ $\mathrm{k}=\frac{120}{5}=24$.

Suy ra $\frac{{\mathrm{y}}_2}{3}=24$. Vì thế y₂ = 24 . 3 = 72.

Vậy trong 3 phút máy in in được 72 trang.

Bài toán 2: Hai thanh chì có thể tích là 12 cm³ và 17 cm³. Hỏi mỗi thanh nặng bao nhiêu gam, biết rằng thanh thứ hai nặng hơn thanh thứ nhất 56,5 g?

Hướng dẫn giải

Gọi khối lượng của hai thanh chì tương ứng là m₁ gam và m₂ gam. Khi đó m₂ – m₁ = 56,5 (g)

Do khối lượng và thể tích của vật thể là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. Do đó, ta có:

$\frac{{\mathrm{m}}_1}{12}=\frac{{\mathrm{m}}_2}{17}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{{\mathrm{m}}_1}{12}=\frac{{\mathrm{m}}_2}{17}=\frac{{\mathrm{m}}_2-{\mathrm{m}}_1}{17-12}=\frac{56,5}{5}=11,3$.

Suy ra m₁ = 12 . 11,3 = 135,6 ;   m₂ = 17 . 11,3 = 192,1.

Vậy hai thanh chì có khối lượng là 135,6 gam và 192,1 gam.

19. Đại lượng tỉ lệ nghịch

- Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}$ hay xy = a (với a là một hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

- Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a. Ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Ví dụ: Nếu $\mathrm{y}=\frac{-5}{\mathrm{x}}$ thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ –5. Khi đó x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ –5.

20. Tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch

Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:

- Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ).

- Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ lệ hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

Giả sử y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a. Với mỗi giá trị x₁, x₂, x₃, … khác 0 của x, ta có một giá trị tương ứng y₁, y₂, y₃,… của y. Khi đó:

x₁ y₁  =  x₂ y₂ = x₃ y₃ = …= a hay $\frac{{\mathrm{x}}_1}{\frac{1}{{\mathrm{y}}_1}}=\frac{{\mathrm{x}}_2}{\frac{1}{{\mathrm{y}}_2}}=\frac{{\mathrm{x}}_3}{\frac{1}{{\mathrm{y}}_3}}=\mathrm{...}=\mathrm{a};$

$\frac{{\mathrm{x}}_1}{{\mathrm{x}}_2}=\frac{{\mathrm{y}}_2}{{\mathrm{y}}_1};\frac{{\mathrm{x}}_1}{{\mathrm{x}}_3}=\frac{{\mathrm{y}}_3}{{\mathrm{y}}_1};\mathrm{...}$

21. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Chú ý:

- Năng suất lao động và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

- Số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Bài toán 1: Cho biết 35 công nhân xây một ngôi nhà hết 168 ngày. Hỏi nếu chỉ có 28 công nhân xây ngôi nhà đó thì hết bao nhiêu ngày (giả sử năng suất làm việc của mỗi công nhân là như nhau).

Hướng dẫn giải

Gọi x (công nhân), y (ngày) lần lượt là số công nhân và thời gian xây xong ngôi nhà. Khi đó, mối quan hệ giữa số công nhân (x) và thời gian xây xong ngôi nhà (y) được cho bởi bảng:

Số công nhân (x)	x1 = 35	x2 = 28
Thời gian xây xong nhà (y)	y1 = 168	y2 = ?

Ta có thời gian xây xong nhà (y) tỉ lệ nghịch với số công nhân làm việc theo hệ số tỉ lệ

a =  x₁ .  y₁ = 35 . 168 = 5 880.

Suy ra 28 . y₂ = 5 880. Vì thế y₂ = 5 880 : 28 = 210 (ngày)

Vậy 28 công nhân xây xong ngôi nhà trong 210 ngày.

Bài toán 2: Để tổ chức liên hoan cho gia đình, bác Ngọc dự định mua 2,9 kg thực phẩm gồm: thịt bò, thịt lợn, tôm sú. Số tiền bác Ngọc mua mỗi loại thực phẩm là như nhau. Biết giá thịt bò là 280 nghìn đồng/kg, giá thịt lợn là 160 nghìn đồng/kg và tôm sú là 320 nghìn đồng/kg. Mỗi loại thực phẩm bác Ngọc mua được là bao nhiêu kg?

Hướng dẫn giải

Gọi x (kg), y (kg), z (kg) lần lượt là số lượng thịt bò, thịt lợn, tôm sú mà bác Ngọc mua được. Khi đó: x + y + z = 2,9.

Vì số tiền mua mỗi loại thực phẩm là như nhau nên 280 . x = 160 . y = 320 . z

hay 7 . x  =  4 . y  =  8 . z             (chia đồng thời các vế cho 40).

Do đó : $\frac{\mathrm{x}}{\frac{1}{7}}=\frac{\mathrm{y}}{\frac{1}{4}}=\frac{\mathrm{z}}{\frac{1}{8}}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\mathrm{x}}{\frac{1}{7}}=\frac{\mathrm{y}}{\frac{1}{4}}=\frac{\mathrm{z}}{\frac{1}{8}}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}}{\frac{1}{7}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}=\frac{2,9}{\frac{29}{56}}=5,6$.

Do đó:

$\mathrm{x}=5,6\cdot \frac{1}{7}=0,8$ (kg).

$\mathrm{y}=5,6\cdot \frac{1}{4}=1,4$ (kg).

$\mathrm{z}=5,6\cdot \frac{1}{8}=0,7$ (kg).

Vậy Bác Ngọc mua 0,8 kg thịt bò, 1,4 kg thịt lợn và 0,7 kg tôm sú.