Dấu của tam thức bậc hai f(x) = x² − 5x + 4

Trả lời nhanh

Tam thức f(x) = x² − 5x + 4 có Δ = 9 > 0, hai nghiệm x = 1 và x = 4, hệ số a = 1 > 0. Vì vậy f(x) > 0 khi x < 1 hoặc x > 4; f(x) < 0 khi 1 < x < 4; f(x) = 0 khi x = 1 hoặc x = 4. Quy tắc nhớ: trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với a.

Nhắc lại định lí về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b² − 4ac. Dấu của f(x) phụ thuộc vào Δ và dấu của a như sau:

Trường hợp	Dấu của f(x)
Δ < 0	f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc ℝ
Δ = 0	f(x) cùng dấu với a với mọi x ≠ −b/(2a); f(x) = 0 tại x = −b/(2a)
Δ > 0 (hai nghiệm x₁ < x₂)	f(x) cùng dấu với a khi x < x₁ hoặc x > x₂; trái dấu với a khi x₁ < x < x₂

Giải chi tiết: xét dấu f(x) = x² − 5x + 4

Bước 1: Xác định hệ số và tính Δ

Ở đây a = 1, b = −5, c = 4. Ta có Δ = (−5)² − 4·1·4 = 25 − 16 = 9 > 0, nên tam thức có hai nghiệm phân biệt.

Bước 2: Tìm nghiệm

x₁ = (5 − 3)/2 = 1 và x₂ = (5 + 3)/2 = 4. Kiểm tra nhanh bằng cách phân tích: x² − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4). Tổng nghiệm 1 + 4 = 5 = −b/a và tích nghiệm 1·4 = 4 = c/a, khớp với định lí Vi-ét.

Bước 3: Lập bảng xét dấu

x	−∞		1		4		+∞
f(x)		+	0	−	0	+

Vì a = 1 > 0 nên hai khoảng ngoài mang dấu cộng, khoảng giữa mang dấu trừ.

Bước 4: Kết luận

f(x) > 0 khi x ∈ (−∞; 1) ∪ (4; +∞).
f(x) < 0 khi x ∈ (1; 4).
f(x) = 0 khi x = 1 hoặc x = 4.

Kiểm tra bằng giá trị thử

Cách này giúp em tự phát hiện nếu lỡ nhầm dấu:

x = 0 (nằm ngoài, bên trái): f(0) = 4 > 0 ✔
x = 2 (nằm giữa): f(2) = 4 − 10 + 4 = −2 < 0 ✔
x = 5 (nằm ngoài, bên phải): f(5) = 25 − 25 + 4 = 4 > 0 ✔

Nhìn dấu trên đồ thị

Đồ thị của f là parabol quay bề lõm lên (vì a > 0), cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ 1 và 4. Phần parabol nằm trên trục hoành ứng với f(x) > 0, phần nằm dưới trục hoành ứng với f(x) < 0.

Đồ thị parabol y = x² − 5x + 4 cắt trục hoành tại x = 1 và x = 4 — Đồ thị y = x² − 5x + 4: phần trên trục hoành ứng với f(x) > 0, phần dưới ứng với f(x) < 0.

Áp dụng: giải bất phương trình bậc hai

x² − 5x + 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4. Tập nghiệm S = (1; 4).
x² − 5x + 4 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 4. Tập nghiệm S = [1; 4].
x² − 5x + 4 > 0 ⇔ x < 1 hoặc x > 4. Tập nghiệm S = (−∞; 1) ∪ (4; +∞).
x² − 5x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 hoặc x ≥ 4. Tập nghiệm S = (−∞; 1] ∪ [4; +∞).

Ví dụ ứng dụng: số nguyên x thoả x² − 5x + 4 < 0 chỉ có x = 2 và x = 3, vì 1 < x < 4 và hai đầu mút không được lấy.

Mẹo nhớ và lỗi sai thường gặp

Mẹo “trong trái – ngoài cùng”: trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với a.
Quên xét dấu của a: nhiều bạn tìm đúng nghiệm nhưng gán dấu ngược. Hãy luôn thử một giá trị như x = 0 hoặc x = 2 để chốt lại.
Nhầm ngoặc tròn, ngoặc vuông: bất phương trình có dấu “=” (≤, ≥) thì lấy đầu mút; dấu “<, >” thì không lấy.
Viết sai nghiệm khi Δ = 9: √9 = 3, không phải 9; x = (5 ± 3)/2 chứ không phải (5 ± 9)/2.

Bài luyện tập có đáp án

Bài 1. Xét dấu g(x) = −x² + 4x − 3.

Giải. Δ = 16 − 12 = 4 > 0, nghiệm x = 1 và x = 3, a = −1 < 0. Vậy g(x) > 0 khi 1 < x < 3; g(x) < 0 khi x < 1 hoặc x > 3; g(x) = 0 khi x = 1 hoặc x = 3.

Bài 2. Xét dấu h(x) = x² − 4x + 4.

Giải. Δ = 16 − 16 = 0, nghiệm kép x = 2, a = 1 > 0. Vậy h(x) > 0 với mọi x ≠ 2 và h(2) = 0. (Thực ra h(x) = (x − 2)².)

Bài 3. Chứng minh k(x) = 2x² − x + 3 luôn dương.

Giải. Δ = 1 − 24 = −23 < 0 và a = 2 > 0 nên k(x) > 0 với mọi x thuộc ℝ.

Tóm tắt các bước làm

Xác định a, b, c và tính Δ.
Tìm nghiệm (nếu có), sắp xếp x₁ < x₂.
Lập bảng xét dấu theo dấu của a.
Thử một giá trị để kiểm tra, rồi kết luận.

Câu hỏi thường gặp

Tam thức f(x) = x² − 5x + 4 dương khi nào?

f(x) > 0 khi x 4, tức x thuộc (−∞; 1) ∪ (4; +∞). Khi 1 < x < 4 thì f(x) âm, còn x = 1 hoặc x = 4 thì f(x) = 0.

Vì sao khoảng giữa hai nghiệm lại mang dấu âm?

Vì hệ số a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên, phần giữa hai giao điểm với trục hoành nằm dưới trục hoành. Đó là quy tắc trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với a.

Khi Δ < 0 thì tam thức mang dấu gì?

Khi Δ < 0, tam thức luôn cùng dấu với hệ số a với mọi số thực x, nên không đổi dấu và không có nghiệm thực.

Làm sao kiểm tra nhanh kết quả xét dấu?

Chọn một giá trị trong mỗi khoảng, ví dụ x = 0, x = 2, x = 5 rồi tính f. Ở đây f(0) = 4, f(2) = −2, f(5) = 4, khớp với bảng xét dấu +, −, +.