P: “n là một số tự nhiên chia hết cho 16”.

Q: “n là một số tự nhiên chia hết cho 8”.

a) Phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$. Nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó.

b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề $P\Rightarrow Q$. Nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó.

Lời giải:

a) Phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$: “Nếu n là một số tự nhiên chia hết cho 16 thì n là một số tự nhiên chia hết cho 8”

Mệnh đề này đúng, vì n chia hết cho 16 thì n = 16.k ($k\in \mathbb{N}$) thì n = 8.(2k) chia hết cho 8.

b) Phát biểu mệnh đề $Q\Rightarrow P$: “Nếu n là một số tự nhiên chia hết cho 8 thì n là một số tự nhiên chia hết cho 16”

Mệnh đề này sai, chẳng hạn n = 8 là số tự nhiên chia hết cho 8 nhưng n không chia hết cho 16.

Chú ý: Tùy theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là: “P kéo theo Q” hay “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q” …

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Phát biểu phủ định của mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó:

a) P: “15 không chia hết cho 3”;

b) Q: “$\sqrt{2}>1$”.

Hướng dẫn giải:

a) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là $\overline{P}$: “15 chia hết cho 3”.

Vì 15 = 3.5 nên 15 chia hết cho 3. Do đó $\overline{P}$ là mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là $\overline{Q}$: “$\sqrt{2}\le 1$”.

Vì $\sqrt{2}\approx 1,41$ > 1 nên $\overline{Q}$ là mệnh đề sai.

Bài 2. Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng:

a) P(x): “$\forall x\in ℝ,x^2>0$” ;

b) Q(n): “$\exists n\in \mathbb{N},2n+5<2$”.

Hướng dẫn giải:

a) Mệnh đề phủ định $\overline{P\left(x\right)}:"\exists x\in ℝ,x^2\le 0"$.

Do tồn tại giá trị x = 0 thoả mãn x² ≤ 0, nên $\overline{P\left(x\right)}$ là mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề phủ định $\overline{Q\left(n\right)}:"\forall n\in \mathbb{N},2n+5\ge 2"$.

Vì n ∈ ℕ nên n ≥ 0

⇒ 2n + 5 ≥ 5 > 2.

Do đó $\overline{Q\left(n\right)}$ là mệnh đề đúng.

Bài 3. Xét các mệnh đề P: “x là một số hữu tỉ” và Q: “x² là một số hữu tỉ”.

a) Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và xét tính đúng sai của nó.

b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên.

c) Chỉ ra một giá trị của x mà mệnh đề đảo sai.

Hướng dẫn giải:

a) Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu là: “Nếu x là một số hữu tỉ thì x² là một số hữu tỉ”.

Mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề đảo Q ⇒ P: “Nếu x² là một số hữu tỉ thì x là một số hữu tỉ”.

c) Ta thấy nếu x² = 3 thì $x=\sqrt{3}$ không phải một số hữu tỉ.