Giải các hệ phương trình sau: x căn 5 − (1 + căn 3)y = 1 và (1 − căn 3)x + y căn 5 = 1

Thanh Trà Ngày: 22-10-2022 Lớp 9

753

Với giải Bài 41 trang 27 Toán lớp 9 chi tiết trong Ôn tập chương 3 Đại số giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 9: Ôn tập chương 3 Đại số

Bài 41 trang 27 SGK Toán 9 Tập 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{cases} x \sqrt{5} - (1 + \sqrt{3}) y = 1 \\ (1 - \sqrt{3}) x + y \sqrt{5} = 1 \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} \frac{2 x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} = \sqrt{2} \\ \frac{x}{x + 1} + \frac{3 y}{y + 1} = - 1 \end{cases}$

Lời giải:

$\{\begin{cases} x \sqrt{5} - (1 + \sqrt{3}) y = 1 (1) \\ (1 - \sqrt{3}) x + y \sqrt{5} = 1 (2) \end{cases}$

Từ (1) rút ra được: x = $\frac{1 + (1 + \sqrt{3}) y}{\sqrt{5}}$ (*)

Thay (*) vào phương trình (2) ta được:

$\frac{1 + (1 + \sqrt{3}) y}{\sqrt{5}} . (1 - \sqrt{3}) + y \sqrt{5} = 1 \Leftrightarrow \frac{1 - \sqrt{3} + (1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3}) y + 5 y}{\sqrt{5}} = 1 \Leftrightarrow 1 - \sqrt{3} - 2 y + 5 y = \sqrt{5} \Leftrightarrow 3 y = \sqrt{3} + \sqrt{5} - 1 \Leftrightarrow y = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5} - 1}{3}$

Thay $y = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5} - 1}{3}$ vào (*) ta được:

$x = \frac{1}{\sqrt{5}} [1 + (1 + \sqrt{3}) . \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5} - 1}{3}] = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5} + 1}{3}$

$\{\begin{cases} \frac{2 x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} = \sqrt{2} \\ \frac{x}{x + 1} + \frac{3 y}{y + 1} = - 1 \end{cases}$

Điều kiện $\{\begin{cases} x \neq - 1 \\ y \neq - 1 \end{cases}$

Đặt $\{\begin{cases} \frac{x}{x + 1} = u \\ \frac{y}{y + 1} = v \end{cases}$ khi đó hệ trở thành: $\{\begin{cases} 2 u + v = \sqrt{2} \\ u + 3 v = - 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 u + v = \sqrt{2} \\ 2 u + 6 v = - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} (2 u + v) - (2 u + 6 v) = \sqrt{2} + 2 \\ u + 3 v = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 u + v - 2 u - 6 v = \sqrt{2} + 2 \\ u = - 1 - 3 v \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 5 v = \sqrt{2} + 2 \\ u = - 1 - 3 v \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} v = \frac{\sqrt{2} + 2}{- 5} \\ u = - 1 - 3 v \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u = - 1 - 3 \frac{\sqrt{2} + 2}{- 5} \\ v = \frac{- \sqrt{2} - 2}{5} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u = \frac{3 \sqrt{2} + 1}{5} \\ v = \frac{- 2 - \sqrt{2}}{5} \end{cases}$

Thay $u = \frac{x}{x + 1}; v = \frac{y}{y + 1}$ ta có:

$\{\begin{cases} \frac{x}{x + 1} = \frac{3 \sqrt{2} + 1}{5} \\ \frac{y}{y + 1} = \frac{- 2 - \sqrt{2}}{5} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{3 \sqrt{2} + 1}{5} (x + 1) \\ y = \frac{- 2 - \sqrt{2}}{5} (y + 1) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{3 \sqrt{2} + 1}{5} x + \frac{3 \sqrt{2} + 1}{5} \\ y = \frac{- 2 - \sqrt{2}}{5} y + \frac{- 2 - \sqrt{2}}{5} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} (1 - \frac{3 \sqrt{2} + 1}{5}) x = \frac{3 \sqrt{2} + 1}{5} \\ (1 - \frac{- 2 - \sqrt{2}}{5}) y = \frac{- \sqrt{2} - 2}{5} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{4 - 3 \sqrt{2}}{5} x = \frac{3 \sqrt{2} + 1}{5} \\ \frac{7 + \sqrt{2}}{5} y = \frac{- \sqrt{2} - 2}{5} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{3 \sqrt{2} + 1}{5} : \frac{4 - 3 \sqrt{2}}{5} \\ y = \frac{- \sqrt{2} - 2}{5} : \frac{7 + \sqrt{2}}{5} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - \frac{22 + 15 \sqrt{2}}{2} \\ y = \frac{- 12 - 5 \sqrt{2}}{47} \end{cases}$