$\{\begin{array}{c}ax+by=3\\ 2ax-3by=36\end{array}$

có nghiệm là $(3;-2).$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cặp số $(x_0;y_0)$ là nghiệm của hệ phương trình 

$\{\begin{array}{c}ax+by=c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}a{x}_0+b{y}_0=c\\ a^{\prime }{x}_0+b^{\prime }{y}_0=c^{\prime }\end{array}$

Lời giải:

Cặp $(x;y)=(3;-2)$ là nghiệm của hệ phương trình nên thay $x=3;y=-2$ vào hệ đã cho, ta có:

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}3a-2b=3\\ 2a.3-3b.(-2)=36\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}3a-2b=3\\ 6a+6b=36\end{array}\iff \{\begin{array}{c}3a-2b=3\\ 2a+2b=12\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}5a=15\\ 3a-2b=3\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=3\\ 3.3-2b=3\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}a=3\\ b=3\end{array}\end{array}$

Vậy $a=3;b=3.$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :

Bước $1$: Lập hệ phương trình

+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước $2$: Giải hệ phương trình nói trên.

Bước $3$: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.

- Nếu $a$ chia $b$ được thương là $q$, số dư là $r$ thì ta có biểu diễn: $a=b.q+r$

Lời giải:

Gọi chữ số hàng chục là $x$, chữ số hàng đơn vị là $y$.

Điều kiện: $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast };0<x\le 9;0<y\le 9$

Hai lần chữ số hàng chục lớn hơn năm lần chữ số hàng đơn vị là $1$ nên ta có phương trình: $2x–5y=1$

Chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị được thương là $2$ và dư là $2$ nên ta có phương trình:

$x=2y+2$

Khi đó ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}2x-5y=1\\ x=2y+2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x-5y=1\\ 2x-4y=4\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}y=3\\ x=2y+2\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}y=3\\ x=2.3+2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=3\\ x=8\end{array}\end{array}$

Ta thấy $x=8;y=3$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy số cần tìm là $83$.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :

Bước $1$: Lập hệ phương trình

+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước $2$: Giải hệ phương trình nói trên.

Bước $3$: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.

Lời giải:

Gọi số hàng cần chuyển là $x$ (tấn), số toa để chở là $y$ (toa).

Điều kiện: $x>0$ và $y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Nếu xếp vào mỗi toa $15$ tấn hàng thì còn thừa lại $3$ tấn, khi đó ta có phương trình: $15y=x–3$

Nếu xếp vào mỗi toa $16$ tấn thì còn có thể chở thêm $5$ tấn nữa, khi đó ta có phương trình: $16y=x+5$

Ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}15y=x-3\\ 16y=x+5\end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=8\\ 16.8=x+5\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}y=8\\ x=123\end{array}\end{array}$

Giá trị $x=123,y=8$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy xe lửa có $8$ toa và phải chở $123$ tấn.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Xem toàn bộ công việc là $1$ (công việc)

- Thực hiện một công việc trong $a$ ngày $(a>0)$ thì xong việc.

Suy ra trong một ngày thực hiện được ${\displaystyle \frac{1}{a}}$ công việc

- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :

Bước $1$: Lập hệ phương trình

+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước $2$: Giải hệ phương trình nói trên (sử dụng phương pháp đặt ẩn số phụ)

Bước $3$: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.

Lời giải:

Gọi thời gian đội thứ nhất làm một mình xong công việc là $x$ (ngày), thời gian đội thứ hai làm một mình xong công việc là $y$ (ngày)

Điều kiện: $x>12;y>12$

Trong $1$ ngày đội thứ nhất làm được ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ (công việc)

Trong $1$ ngày đội thứ hai làm được ${\displaystyle \frac{1}{y}}$ (công việc)

Hai đội cùng làm thì trong $12$ ngày xong việc, khi đó trong $1$ ngày cả hai đội làm được ${\displaystyle \frac{1}{12}}$ (công việc)

Ta có phương trình: ${\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}}$

Hai đội cùng làm trong $8$ ngày, sau đó đội thứ nhất làm tiếp một mình trong $7$ ngày nữa thì xong công việc, ta có phương trình:

${\displaystyle 8.\frac{1}{12}+\frac{7}{x}=1\iff {\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{7}{x}=1}}$

Ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}}\\ {\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{7}{x}=1}\end{array}$

Đặt ${\displaystyle \frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b(a>0;b>0)}$ ta có:

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}a+b={\displaystyle \frac{1}{12}}\\ {\displaystyle \frac{2}{3}+7a=1}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a+b={\displaystyle \frac{1}{12}}\\ a={\displaystyle \frac{1}{21}}\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{21}+b=\frac{1}{12}}\\ a={\displaystyle \frac{1}{21}}\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}b={\displaystyle \frac{1}{28}}\\ a={\displaystyle \frac{1}{21}}\end{array}\text{(thỏa mãn)}\end{array}$

Suy ra: 

$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{x}=\frac{1}{21}}\\ {\displaystyle \frac{1}{y}=\frac{1}{28}}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=21\\ y=28\end{array}$

Giá trị $x=21;y=28$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy đội thứ nhất làm một mình trong $21$ ngày thì xong công việc, đội thứ hai làm một mình  trong $28$ ngày thì xong công việc.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :

Bước $1$: Lập hệ phương trình

+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước $2$: Giải hệ phương trình nói trên.

Bước $3$: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.

- Công thức tính quãng đường đi được: $S=v.t;$

Trong đó $S$ là quãng đường đi được $(km)$; $v$ là vận tốc $(km/h)$; $t$ là thời gian $(h)$.

Lời giải:

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là $x(km/h)$, vận tốc của xe thứ hai là $y(km/h)$

Điều kiện: $x>0;y>0$

Hai xe khởi hành cùng một lúc và đi ngược chiều nhau thì sau $10$ giờ gặp nhau nên tổng quãng đường hai xe đi được là 750km, ta có phương trình:

$10x+10y=750$

Xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai $3$ giờ $45$ phút thì sau khi xe thứ hai đi được $8$ giờ chúng gặp nhau. Như vậy thời gian  xe thứ nhất đi là:

$11$ giờ $45$ phút $={\displaystyle \frac{47}{4}}$ giờ.

Khi đó ta có phương trình: ${\displaystyle \frac{47}{4}x+8y=750}$  

Ta có hệ phương trình: 

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}10x+10y=750\\ {\displaystyle \frac{47}{4}x+8y=750}\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}x+y=75\\ 47x+32y=3000\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}y=75-x\\ 47x+32\left(75-x\right)=3000\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}y=75-x\\ 47x-32x=3000-2400\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}y=75-x\\ 15x=600\end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=75-x\\ x=40\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}y=35\\ x=40\end{array}\end{array}$

Ta thấy $x=40;y=35$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là $40km/h$; vận tốc của xe thứ hai là $35km/h.$

Bài tập bổ sung (trang 16 SBT Toán 9)

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

+ Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

+ Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Lời giải :

$a)$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x;y)=(3;1)$.

$b)$ Điều kiện: $y\ne {\displaystyle \frac{5}{2};y\ne {\displaystyle \frac{4}{3}}}$

Ta thấy $x=7;y=6$ thoả mãn điều kiện bài toán.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x;y)=(7;6)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :

Bước 1: Lập hệ phương trình

+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.

Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.

Lời giải:

Gọi khối lượng lúa thu được năm ngoái trên cánh đồng thứ nhất và cánh đồng thứ hai lần lượt là $x$ (tấn), $y$ (tấn).

Điều kiện: $x>0;y>0$

Năm ngoái trên cả hai cánh đồng lượng lúa thu được là $500$ tấn, ta có phương trình:

$x+y=500$

Lượng lúa thu được năm nay trên cánh đồng thứ nhất tăng lên 30% so với năm ngoái tức là tăng ${\displaystyle \frac{3}{10}x}$ (tấn)

Lượng lúa thu được năm nay trên cánh đồng thứ hai tăng lên 20% so với năm ngoái tức là tăng ${\displaystyle \frac{2}{10}y}$ (tấn)

Năm nay lượng lúa trên cả hai cánh đồng tăng được $630–500=130$ tấn, ta có phương trình:

${\displaystyle \frac{3}{10}x+\frac{2}{10}y=130}$

Ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}x+y=500\\ {\displaystyle \frac{3}{10}x+\frac{2}{10}y=130}\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}x+y=500\\ 3x+2y=1300\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}2x+2y=1000\\ 3x+2y=1300\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}x=300\\ x+y=500\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}x=300\\ y=200\end{array}\end{array}$

Giá trị $x=300;y=200$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy năm nay trên cánh đồng thứ nhất thu được: $x+{\displaystyle \frac{3}{10}x=300+{\displaystyle \frac{3}{10}.300=390}}$ tấn.

Năm nay trên cánh đồng thứ hai thu được: $630–390=240$ tấn.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :

Bước 1: Lập hệ phương trình

+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.

Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.

Lời giải:

Gọi khối lượng quặng loại thứ nhất là $x$ (tấn), loại thứ hai là $y$ (tấn).

Điều kiện: $x>0;y>0$

Lượng sắt nguyên chất có trong mỗi loại quặng bằng lượng sắt có trong hỗn hợp nên ta có phương trình:

${\displaystyle \frac{72}{100}x+\frac{58}{100}y=\frac{62}{100}\left(x+y\right)}$

Nếu tăng khối lượng của mỗi loại quặng thêm $15$ tấn thì được một loại quặng chứa 63,25% sắt, khi đó ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình:

Cả hai giá trị $x=12;y=30$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy khối lượng quặng loại thứ nhất là $12$ tấn, loại thứ hai là $30$ tấn.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :

Bước $1$: Lập hệ phương trình

+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước $2$: Giải hệ phương trình nói trên.

Bước $3$: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.

- Công thức tính quãng đường đi được: $S=v.t;$

Trong đó $S$ là quãng đường đi được $(km)$; $v$ là vận tốc $(km/h)$; $t$ là thời gian $(h)$.

Lời giải:

Gọi khoảng cách giữa hai bản $A$ và $B$ là $x(km)$, vận tốc của người đi bộ là $y(km/h)$.

Điều kiện: $x>0;y>0$

Đổi $1$ giờ $40$ phút $={\displaystyle \frac{5}{3}}$ giờ

Người đi ngựa đi từ $A$ đến $B$ và ngược lại hết ${\displaystyle \frac{5}{3}(h)}$ nên người đi ngựa đi từ $A$ đến $B$ hết ${\displaystyle \frac{5}{3}:2=\frac{5}{6}(h)}$ .

Vận tốc của người đi ngựa là ${\displaystyle x:\frac{5}{6}=\frac{6}{5}x(km/h)}$

Thời gian người đi bộ đi hết quãng đường $AB$ là ${\displaystyle \frac{x}{y}(h)}$ 

Người đi ngựa đến $B$ trước người đi bộ  $50$ phút tức là ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ giờ, ta có phương trình:

$$\begin{gathered} {\displaystyle \frac{x}{y}-\frac{5}{6}=\frac{5}{6}\iff {\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{5}{3}}} \\ \iff 3x=5y(1) \end{gathered}$$

Từ $(1)$ suy ra $6x=10y$$\iff {\displaystyle \frac{6}{5}x=2y.}$ Điều này có nghĩa là vận tốc của người đi ngựa gấp đôi vận tốc của người đi bộ hay vận tốc của người đi ngựa là $2y(km/h).$

Từ lúc đi đến lúc gặp nhau người đi bộ đi được $x–2(km)$, người đi ngựa đi được $x+2(km).$

Vì từ lúc đi đến lúc gặp nhau thời gian hai người đi bằng nhau nên ta có phương trình:

$\begin{array}{rl}& \frac{x-2}{y}=\frac{x+2}{2y}\\ & \iff 2x-4=x+2\end{array}$

Ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}3x=5y\\ 2x-4=x+2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}3x=5y\\ x=6\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}3.6=5y\\ x=6\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=6\\ y=3,6\end{array}\end{array}$

Ta thấy $x=6$ và $y=3,6$  thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy khoảng cách $AB$ là $6km$, vận tốc của người đi bộ là $3,6km/h$, vận tốc của người đi ngựa là $7,2km/h$.