Trả lời nhanh
Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ là thay những biểu thức lặp lại trong hệ (như 1/x, 1/(x − 2), √(x − 1), |x − 1|, x + y, xy) bằng ẩn mới u, v để đưa về hệ bậc nhất hai ẩn quen thuộc. Em giải hệ mới bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số, đối chiếu điều kiện của ẩn phụ, rồi thay ngược lại để tìm x, y. Hai lỗi hay mất điểm nhất là quên điều kiện xác định và quên điều kiện u, v ≥ 0 khi đặt ẩn phụ là căn thức.
A. Phương pháp giải
Phương pháp đặt ẩn phụ áp dụng khi hệ phương trình không phải bậc nhất theo x, y nhưng lại bậc nhất theo một vài biểu thức chứa x, y. Quy trình gồm 5 bước:
- Tìm điều kiện xác định của hệ: mẫu khác 0, biểu thức dưới dấu căn bậc hai không âm.
- Đặt ẩn phụ và nêu điều kiện của ẩn phụ. Ví dụ đặt u = √(x − 1) thì u ≥ 0; đặt v = |y + 1| thì v ≥ 0; đặt u = 1/x thì u ≠ 0.
- Giải hệ mới theo u, v (thường là hệ bậc nhất hai ẩn) bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
- Đối chiếu điều kiện của u, v, sau đó thay ngược để tìm x, y.
- Kiểm tra điều kiện xác định và kết luận nghiệm của hệ ban đầu.
Các cách đặt ẩn phụ thường gặp
| Dấu hiệu trong hệ | Cách đặt | Điều kiện cần ghi |
|---|---|---|
| Ẩn nằm ở mẫu: a/x, b/y | u = 1/x, v = 1/y | x ≠ 0, y ≠ 0 (u, v ≠ 0) |
| Mẫu là biểu thức: 1/(x − 2), 1/(y − 1) | u = 1/(x − 2), v = 1/(y − 1) | x ≠ 2, y ≠ 1 |
| Mẫu là x + y, x − y | u = 1/(x + y), v = 1/(x − y) | x ≠ −y, x ≠ y |
| Căn thức: √(x − 1), √(y + 2) | a = √(x − 1), b = √(y + 2) | x ≥ 1, y ≥ −2; a, b ≥ 0 |
| Giá trị tuyệt đối: |x − 1|, |y + 1| | a = |x − 1|, b = |y + 1| | a, b ≥ 0; mỗi giá trị dương cho 2 trường hợp |
| Hệ đối xứng: x + y, xy, x² + y² | S = x + y, P = xy | Cần S² − 4P ≥ 0 để có x, y |
Chú ý: mục đích của ẩn phụ là làm hệ đơn giản hơn. Nếu sau khi đặt, hệ mới vẫn phức tạp, em hãy nhìn lại xem biểu thức nào thật sự lặp lại ở cả hai phương trình.
B. Ví dụ minh họa có lời giải chi tiết
Ví dụ 1. Đặt ẩn phụ cho biểu thức bậc nhất
Giải hệ: 3(x + y) − 2(x − y) = 8 và (x + y) + 4(x − y) = 12.
Lời giải. Đặt a = x + y, b = x − y. Hệ trở thành 3a − 2b = 8 và a + 4b = 12.
Từ phương trình thứ hai: a = 12 − 4b. Thay vào phương trình đầu: 3(12 − 4b) − 2b = 8 ⇔ 36 − 14b = 8 ⇔ b = 2, suy ra a = 4.
Khi đó x + y = 4 và x − y = 2. Cộng hai vế: 2x = 6 nên x = 3, y = 1.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; 1). Thử lại: 3·4 − 2·2 = 8 và 4 + 4·2 = 12, đúng.
Ví dụ 2. Ẩn nằm ở mẫu
Giải hệ: 4/x + 3/y = 3 và 2/x − 6/y = −1.
Lời giải. Điều kiện: x ≠ 0, y ≠ 0. Đặt u = 1/x, v = 1/y, ta có 4u + 3v = 3 và 2u − 6v = −1.
Nhân phương trình đầu với 2: 8u + 6v = 6. Cộng với phương trình thứ hai: 10u = 5 ⇔ u = 1/2. Thay vào: 4·(1/2) + 3v = 3 ⇔ v = 1/3.
Suy ra x = 1/u = 2, y = 1/v = 3 (thỏa mãn điều kiện). Vậy nghiệm của hệ là (2; 3).
Ví dụ 3. Mẫu là biểu thức chứa ẩn
Giải hệ: 2/(x − 2) + 4/(y − 1) = 4 và 3/(x − 2) − 2/(y − 1) = 2.
Lời giải. Điều kiện: x ≠ 2, y ≠ 1. Đặt u = 1/(x − 2), v = 1/(y − 1), hệ trở thành 2u + 4v = 4 và 3u − 2v = 2.
Nhân phương trình thứ hai với 2: 6u − 4v = 4. Cộng với phương trình đầu: 8u = 8 ⇔ u = 1, suy ra 4v = 4 − 2 = 2 ⇔ v = 1/2.
Từ u = 1 có x − 2 = 1 ⇔ x = 3; từ v = 1/2 có y − 1 = 2 ⇔ y = 3. Cả hai giá trị thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm là (3; 3).
Ví dụ 4. Mẫu là x + y và x − y
Giải hệ: 4/(x + y) + 2/(x − y) = 2 và 8/(x + y) − 2/(x − y) = 1.
Lời giải. Điều kiện: x + y ≠ 0, x − y ≠ 0. Đặt u = 1/(x + y), v = 1/(x − y): 4u + 2v = 2 và 8u − 2v = 1.
Cộng hai phương trình: 12u = 3 ⇔ u = 1/4. Khi đó 2v = 2 − 4·(1/4) = 1 ⇔ v = 1/2.
Suy ra x + y = 4, x − y = 2, nên x = 3, y = 1 (thỏa mãn điều kiện). Vậy nghiệm là (3; 1).
Ví dụ 5. Hệ chứa căn thức
Giải hệ: √(x − 1) + 2√(y + 2) = 5 và 3√(x − 1) − √(y + 2) = 1.
Lời giải. Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ −2. Đặt a = √(x − 1), b = √(y + 2) với a ≥ 0, b ≥ 0. Hệ trở thành a + 2b = 5 và 3a − b = 1.
Từ phương trình thứ hai: b = 3a − 1. Thay vào phương trình đầu: a + 6a − 2 = 5 ⇔ a = 1, suy ra b = 2. Cả hai đều không âm nên nhận.
√(x − 1) = 1 ⇔ x − 1 = 1 ⇔ x = 2; √(y + 2) = 2 ⇔ y + 2 = 4 ⇔ y = 2. Vậy nghiệm là (2; 2).
Ví dụ 6. Hệ chứa giá trị tuyệt đối
Giải hệ: 2|x − 1| + |y + 1| = 5 và |x − 1| − 3|y + 1| = −1.
Lời giải. Đặt a = |x − 1|, b = |y + 1| với a, b ≥ 0. Hệ trở thành 2a + b = 5 và a − 3b = −1.
Từ phương trình thứ hai: a = 3b − 1. Thay vào: 2(3b − 1) + b = 5 ⇔ 7b = 7 ⇔ b = 1, suy ra a = 2 (thỏa mãn a, b ≥ 0).
- |x − 1| = 2 ⇔ x − 1 = 2 hoặc x − 1 = −2 ⇔ x = 3 hoặc x = −1.
- |y + 1| = 1 ⇔ y + 1 = 1 hoặc y + 1 = −1 ⇔ y = 0 hoặc y = −2.
Ghép các trường hợp, hệ có 4 nghiệm: (3; 0), (3; −2), (−1; 0), (−1; −2).
Ví dụ 7. Hệ đối xứng: đặt S = x + y, P = xy
Giải hệ: x + y + xy = 5 và x² + y² = 5.
Lời giải. Đặt S = x + y, P = xy. Vì x² + y² = (x + y)² − 2xy = S² − 2P nên hệ trở thành S + P = 5 và S² − 2P = 5.
Từ phương trình đầu: P = 5 − S. Thay vào: S² − 2(5 − S) = 5 ⇔ S² + 2S − 15 = 0 ⇔ (S − 3)(S + 5) = 0 ⇔ S = 3 hoặc S = −5.
- S = 3 thì P = 2. Theo định lí Viète, x, y là nghiệm của t² − 3t + 2 = 0, tức t = 1 hoặc t = 2.
- S = −5 thì P = 10. Phương trình t² + 5t + 10 = 0 có Δ = 25 − 40 = −15 < 0, vô nghiệm, nên loại.
Vậy hệ có hai nghiệm (1; 2) và (2; 1).
C. Bài tập vận dụng (có đáp án)
Em tự giải các bài sau theo đúng 5 bước, rồi so với đáp số và gợi ý cách đặt ẩn phụ.
| Bài | Hệ phương trình | Gợi ý đặt ẩn | Đáp số |
|---|---|---|---|
| 1 | 1/x + 1/y = 3/4 và 1/x − 1/y = 1/4 | u = 1/x, v = 1/y | (2; 4) |
| 2 | 4/(x + 1) + 1/(y − 2) = 3 và 2/(x + 1) − 3/(y − 2) = −2 | u = 1/(x + 1), v = 1/(y − 2) | (1; 3) |
| 3 | 2√x − √y = 1 và √x + 2√y = 8 | a = √x, b = √y (a, b ≥ 0) | (4; 9) |
| 4 | 6/(x + 2y) + 2/(x − 2y) = 2 và 12/(x + 2y) − 4/(x − 2y) = 0 | u = 1/(x + 2y), v = 1/(x − 2y) | (4; 1) |
| 5 | |x| + 2|y| = 4 và 3|x| − |y| = 5 | a = |x|, b = |y| | (2; 1), (2; −1), (−2; 1), (−2; −1) |
| 6 | x + y + xy = 11 và x²y + xy² = 30 | S = x + y, P = xy | (2; 3), (3; 2), (1; 5), (5; 1) |
| 7 | √(x + 3) − 2√(y − 1) = 0 và 2√(x + 3) + 3√(y − 1) = 7 | a = √(x + 3), b = √(y − 1) | (1; 2) |
| 8 | 2/(2x − 1) − 3/(y + 1) = 1 và 1/(2x − 1) + 6/(y + 1) = 3 | u = 1/(2x − 1), v = 1/(y + 1) | (1; 2) |
| 9 | √x + √y = 1 và 2√x − √y = 5 | a = √x, b = √y | Vô nghiệm |
Hướng dẫn giải một số bài
Bài 4. Hệ theo u, v là 6u + 2v = 2 và 12u − 4v = 0. Nhân phương trình đầu với 2 rồi cộng: 24u = 4 ⇔ u = 1/6, suy ra v = 1/2. Vậy x + 2y = 6 và x − 2y = 2, cộng lại được 2x = 8 nên x = 4, y = 1.
Bài 6. Vì x²y + xy² = xy(x + y) nên hệ mới là S + P = 11 và SP = 30. Khi đó S, P là hai nghiệm của t² − 11t + 30 = 0, tức {S; P} = {5; 6}. Với S = 5, P = 6 có x, y là 2 và 3; với S = 6, P = 5 có x, y là 1 và 5. Cả hai trường hợp đều thỏa S² − 4P ≥ 0.
Bài 9. Hệ a + b = 1, 2a − b = 5 cho a = 2, b = −1. Vì b = √y không thể âm nên loại, hệ vô nghiệm. Đây là bài kiểm tra xem em có nhớ đối chiếu điều kiện ẩn phụ hay không.
Những lỗi thường gặp khi giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ
- Không ghi điều kiện xác định ở đầu bài: dễ nhận nhầm nghiệm làm mẫu bằng 0.
- Quên điều kiện của ẩn phụ: với a = √(…) hay a = |…| phải có a ≥ 0; nếu giải ra a âm thì loại ngay như Bài 9.
- Thay ngược sai: từ u = 1/(x − 2) = 1/3 phải suy ra x − 2 = 3, không phải x − 2 = 1/3.
- Bỏ sót trường hợp giá trị tuyệt đối: |x − 1| = 2 cho hai giá trị x, nên số nghiệm của hệ có thể là 4.
- Quên điều kiện S² ≥ 4P trong hệ đối xứng, dẫn đến nhận nghiệm không tồn tại.
- Không thử lại: chỉ mất khoảng một phút nhưng giúp phát hiện lỗi tính toán trước khi nộp bài.
Mẹo nhận dạng nhanh trong bài thi
Khi gặp một hệ “trông khó”, em hãy gạch chân những cụm giống nhau ở hai phương trình. Nếu mỗi cụm xuất hiện với hệ số khác nhau nhưng không nhân với nhau, gần như chắc chắn hệ sẽ trở thành bậc nhất sau khi đặt ẩn phụ. Nếu hệ không đổi khi đổi chỗ x và y (hệ đối xứng), hãy nghĩ ngay tới S và P. Trong các đề ôn thi vào lớp 10, dạng ẩn ở mẫu và dạng căn thức gặp khá thường xuyên, nên em cần trình bày đủ điều kiện xác định và điều kiện ẩn phụ để không bị trừ điểm trình bày.
Câu hỏi thường gặp
Khi nào nên giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ?
Khi hệ có những biểu thức lặp lại ở cả hai phương trình như 1/x, 1/(x − 2), √(x − 1), |y + 1| hoặc x + y, xy. Đặt các biểu thức đó làm ẩn mới sẽ đưa hệ về dạng bậc nhất hai ẩn.
Đặt ẩn phụ là căn thức cần điều kiện gì?
Nếu đặt a = √(x − 1) thì cần x ≥ 1 và a ≥ 0. Giải ra giá trị a âm thì phải loại.
Đặt u = 1/x thì có cần điều kiện u khác 0 không?
Có. Vì 1/x luôn khác 0 nên nếu hệ mới cho u = 0 thì không tìm được x, trường hợp đó bị loại.
Hệ phương trình đối xứng đặt ẩn phụ thế nào?
Đặt S = x + y, P = xy, biến đổi x² + y² = S² − 2P. Sau khi tìm S, P, giải phương trình t² − St + P = 0 và chỉ nhận khi S² − 4P ≥ 0.
Hệ có giá trị tuyệt đối có thể có bao nhiêu nghiệm?
Mỗi phương trình |x − a| = m với m > 0 cho 2 giá trị x, nên hệ hai ẩn có thể có tới 4 nghiệm, như Ví dụ 6 và Bài 5.