Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn hay, chi tiết cùng với bài tập chọn lọc có đáp án giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 9.

Toán 9 Chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

A. Lý thuyết Chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức có dạng: ax + by = c trong đó a, b, c là các số đã biết (trong đó a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 ).

Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c kí hiệu là (d).

Nếu  thì (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất 

2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

Gọi (d) và (d') là đồ thị hàm số của 2 hàm số rút ra từ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn của (I).

Đối với hệ phương trình (I), ta có:

Nếu (d) cắt (d') thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.

Nếu (d) song song với (d') thì hệ (I) vô nghiệm.

Nếu (d) trùng với (d') thì hệ (I) có vô số nghiệm.

3. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

a) Phương pháp thế

    + Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là PT (1)), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình thứ hai (PT (2)) để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

    + Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho PT (2) trong hệ (PT (1) cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia).

b) Phương pháp cộng đại số

    + Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới chỉ còn 1 ẩn.

    + Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (giữ nguyên phương trình kia).

Chú ý:

    + Trong phương pháp cộng đại số, trước khi thực hiện bước 1, có thể nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau.

    + Đôi khi ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình với hai ẩn mới, rồi sau đó sử dụng một trong hai phương pháp giải ở trên.

4. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

    + Bước 1: Lập hệ phương trình:

        ⋅ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng.

        ⋅ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.

        ⋅ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

    + Bước 2: Giải hệ hai phương trình nói trên.

    + Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán (thoả mãn điều kiện ở bước 1) và kết luận.

B. Bài tập tự luận

Câu 1: Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên 

Lời giải

Câu 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số 

Lời giải

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm là (x; y) = (144; 36)

Câu 3: Giải hệ phương trình 

Lời giải

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm là (x; y) = (16; -7)

Câu 4: Giải các hệ phương trình sau: 

Lời giải

Vậy hệ phương tình có vô số nghiệm, với mỗi giá trị của y ta tìm được một giá trị của

Câu 5: Cho hệ phương trình với tham số a  . Giải và biện luận hệ này

Lời giải

Do phương trình 0x = 1 vô nghiệm nên hệ phương trình vô nghiệm

Câu 6: Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ 2 tỉnh A và B cách nhau 400km đi ngược chiều và gặp nhau sau 5h. Nếu vận tốc của mỗi xe không thay đổi nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe kia 40 phút thì 2 xe gặp nhau sau 5h22 phút kể từ lúc xe chậm khởi hành. Tính vận tốc mỗi xe.

Lời giải

Đổi 40 phút = 2/3 giờ

Gọi vận tốc của xe nhanh là x (km/h) , vận tốc của xe chậm là y (km/h); (x > y >0)

Hai xe cùng khởi hành một lúc và đi ngược chiều sau 5h gặp nhau nên ta có phương trình:

5(x + y) = 400 (1)

Vậy vận tốc cần tìm là x = 44 (km/h), y = 36 (km/h)

Câu 7: Hai người cùng làm chung 1 công việc dự định trong 12 giờ thì xong. Họ làm chung với nhau được 8 giờ thì người thứ nhất nghỉ, còn người thứ hai vẫn tiếp tục làm. Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi nên người thứ hai đã làm xong phần việc còn lại trong 3 giờ 20 phút. Hỏi nếu mỗi người thợ ấy làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì phải mất bao lâu làm xong công việc nói trên?

Lời giải

Gọi x giờ là thời gian người thứ nhất làm một mình xong việc (x > 12)

y giờ là thời gian người thứ hai làm một mình xong việc (y > 12)

Một giờ người thứ 1 làm được: 1/x (công việc).

Một giờ người thứ 2 làm được: 1/y (công việc).

Một giờ hai người làm chung được công việc nên ta có:

Do tăng nâng suất lên gấp đôi nên trong 1 giờ người thứ hai làm được 2/y (công việc)

Người thứ hai phải làm trong 3 giờ 20 phút (10/3 h) mới xong công việc nên

( thỏa mãn điều kiện)

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc mất 30 giờ, người thứ hai làm một mình xong công việc mất 20 giờ.

Câu 8: Cho hệ phương trình: 

Tìm số nguyên m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y đều là số nguyên.

Lời giải

Câu 9: Cho hệ phương trình:  . Giải và biện luận hệ theo m.

Lời giải

Câu 10: Cho hệ phương trình: 

Giải và biện luận hệ phương trình theo m

Lời giải