Trả lời nhanh
Hàm số cần tìm là hàm bậc hai y = ax² + bx + c. Trục đối xứng x = 3 cho −b/(2a) = 3 nên b = −6a. Cắt trục tung tại tung độ 16 cho c = 16. Vậy y = ax² − 6ax + 16, rồi thay hoành độ giao điểm với Ox để tìm a. Ví dụ: nếu một giao điểm có hoành độ 2 thì a = 2 và y = 2x² − 12x + 16.
Lưu ý: đề gốc của câu này thường cho thêm hoành độ của một giao điểm với trục hoành. Phần cuối đề không hiển thị đầy đủ trong tiêu đề, nên bên dưới mình trình bày phương pháp tổng quát và giải hai ví dụ tự đặt (ghi rõ là ví dụ). Em chỉ cần thay số trong đề của mình vào đúng các bước là ra đáp án.
Trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai
Đồ thị hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0) là một parabol. Parabol luôn đối xứng qua đường thẳng đứng đi qua đỉnh, gọi là trục đối xứng:
- Trục đối xứng: x = −b/(2a).
- Đỉnh: I(−b/(2a); yI), với yI tính bằng cách thay xI vào hàm số.
- Hai điểm của parabol đối xứng qua trục thì có cùng tung độ, và trung điểm hoành độ của chúng bằng hoành độ của trục.
Hệ quả quan trọng: nếu parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ x1, x2 thì (x1 + x2)/2 = −b/(2a). Với trục x = 3, ta có x1 + x2 = 6.
Các bước giải bài toán
- Đọc dữ kiện trục đối xứng: −b/(2a) = 3 ⇒ b = −6a.
- Đọc dữ kiện cắt trục tung: giao điểm với Oy có x = 0, nên y = c. Tung độ bằng 16 ⇒ c = 16.
- Hàm số có dạng y = ax² − 6ax + 16, chỉ còn một ẩn a.
- Dùng giao điểm với Ox: thay x = x1 và y = 0 để tìm a.
- Kiểm tra lại: a ≠ 0, và hai giao điểm có tổng hoành độ bằng 6.
Ví dụ 1 (tự đặt): một giao điểm có hoành độ 2
Thay x = 2, y = 0 vào y = ax² − 6ax + 16:
4a − 12a + 16 = 0 ⇒ −8a = −16 ⇒ a = 2.
Vậy y = 2x² − 12x + 16, hay b = −12, c = 16.
Kiểm tra: 2x² − 12x + 16 = 2(x − 2)(x − 4), nên hai giao điểm với Ox có hoành độ 2 và 4, tổng bằng 6 ✓. Đỉnh có x = 3, y = 2·9 − 36 + 16 = −2, tức I(3; −2).
Ví dụ 2 (tự đặt): một giao điểm có hoành độ 8
Thay x = 8, y = 0: 64a − 48a + 16 = 0 ⇒ 16a = −16 ⇒ a = −1.
Vậy y = −x² + 6x + 16 = −(x − 8)(x + 2). Giao điểm còn lại có hoành độ −2 (vì 8 + (−2) = 6) ✓. Vì a < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới, đỉnh I(3; 25).
Cách giải nhanh bằng tích hai nghiệm
Nếu một giao điểm có hoành độ m thì giao điểm còn lại là 6 − m. Khi đó y = a(x − m)(x − 6 + m), và tại x = 0 ta có c = a·m(6 − m) = 16, suy ra:
a = 16 / [m(6 − m)] (cần m ≠ 0 và m ≠ 6).
| m | Giao điểm còn lại | a | Hàm số |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 2 | y = 2x² − 12x + 16 |
| 8 | −2 | −1 | y = −x² + 6x + 16 |
| 1 | 5 | 16/5 | y = (16/5)x² − (96/5)x + 16 |
Lỗi sai thường gặp
- Viết trục đối xứng là x = b/(2a) (quên dấu trừ) nên ra b = 6a.
- Nhầm “tung độ bằng 16” với “hoành độ bằng 16”: giao điểm với Oy là (0; 16), không phải (16; 0).
- Quên rằng giao điểm còn lại đối xứng qua x = 3, dẫn đến tìm sai nghiệm thứ hai.
- Chọn giao điểm có hoành độ 0 hoặc 6 thì không thoả mãn, vì khi đó c = 0, mâu thuẫn với c = 16.
Mẹo nhớ: “Trục cho b, trục tung cho c, trục hoành cho a”.
Bài luyện tập
- Parabol có trục đối xứng x = −1, đi qua (0; 3) và một giao điểm với Ox có hoành độ 1. Tìm hàm số.
Đáp án: giao điểm còn lại là −3; y = a(x − 1)(x + 3), x = 0 cho −3a = 3 ⇒ a = −1. Vậy y = −x² − 2x + 3. - Parabol có trục đối xứng x = 3, cắt Oy tại tung độ 16 và đỉnh có tung độ −2. Tìm hàm số.
Đáp án: y = a(x − 3)² − 2; x = 0 cho 9a − 2 = 16 ⇒ a = 2. Vậy y = 2x² − 12x + 16. - Parabol có trục đối xứng x = 1, cắt Oy tại tung độ −3 và một giao điểm với Ox có hoành độ 3. Tìm hàm số.
Đáp án: giao điểm còn lại là −1; c = a·3·(−1) = −3 ⇒ a = 1. Vậy y = x² − 2x − 3.
Câu hỏi thường gặp
Trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai có công thức thế nào?
Với y = ax² + bx + c (a ≠ 0), trục đối xứng là đường thẳng x = −b/(2a), đi qua đỉnh của parabol.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ 16 thì suy ra điều gì?
Giao điểm với trục tung có hoành độ 0 nên là (0; 16). Thay x = 0 vào hàm số được y = c, vậy c = 16.
Hai giao điểm với trục hoành liên hệ với trục đối xứng ra sao?
Hai giao điểm đối xứng nhau qua trục đối xứng. Với trục x = 3, tổng hoành độ hai giao điểm bằng 6, nên biết một hoành độ là suy ra hoành độ còn lại.
Nếu một giao điểm với Ox có hoành độ 2 thì hàm số là gì?
Khi đó b = −6a, c = 16 và 4a − 12a + 16 = 0 nên a = 2. Hàm số là y = 2x² − 12x + 16. Đây là ví dụ minh hoạ, em thay số theo đề của mình.