Giải SGK Toán 9 Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

Admin Vietjack Ngày: 08-11-2022 Lớp 9

1.8 K

Tailieumoi.vn xin giới thiệu Giải bài tập Toán 9 Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp lớp 9.

Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi 1 trang 91 SGK Toán lớp 9 Tập 2: a) Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 2cm.

b) Vẽ một lục giác đều ABCDEF có tất cả các đỉnh nằm trên đường tròn (O).

c) Vì sao tâm O cách đều các cạnh của lục giác đều ? Gọi khoảng cách này là r.

d) Vẽ đường tròn (O; r).

Lời giải:

Tài liệu VietJack

b) Cách vẽ lục giác đều có tất cả các đỉnh nằm trên đường tròn (O)

Vẽ các dây cung AB = BC = CD = DE = EF = FA = R = 2 cm

c) Vì các dây cung AB = BC = CD = DE = EF = FA bằng nhau nên khoảng cách từ O đến các dây là bằng nhau.

d) Vẽ như hình trên.

Bài tập (trang 91; 92)

Bài 61 trang 91 SGK Toán lớp 9 Tập 2: a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.

b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a).

c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O; r).

Lời giải:

Cách vẽ:

- Chọn điểm O làm tâm, mở compa có độ dài 2cm, vẽ đường tròn tâm O bán kính 2cm

Cách vẽ:

- Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau

- Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 2cm)

Kẻ OH vuông góc với AD tại H

Khi đó, OH = r là bán kính của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.

Vì AB = BC = CD = DA (do ABCD là hình vuông)

nên khoảng cách từ tâm O đến AB, BC, CD, DA bằng nhau và cùng bằng OH (định lý liên hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây)

Ta có: Tam giác OAD vuông tại O (do AC vuông góc với BD tại O)

Mà: OA = OD (cùng bằng bán kính đường tròn (O; OA))

Do đó, tam giác OAD vuông cân tại O

Có: OH là đường cao (do OH vuông góc với AD tại H) vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Tài liệu VietJack

Xét tam giác OHD vuông tại H (do OH vuông góc với AD tại H)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

Tài liệu VietJack

Vẽ đường tròn (O; $\sqrt{2}$ cm). Đường tròn này nội tiếp hình vuông ABCD, tiếp xúc cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh.

Bài 62 trang 91 SGK Toán lớp 9 Tập 2: a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm.

b) Vẽ đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.

c) Vẽ đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r.

d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O; R).

Lời giải:

- Dựng đoạn thẳng AB = 3cm

- Dựng cung tròn (A, 3) và cung tròn (B, 3). Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm C.

Nối A với C, B với C ta được tam giác đều ABC cạnh 3cm.

Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB

Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời là ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường phân giác AA’, BB’, CC’ của tam giác đều ABC)

Dựng đường trung trực của đoạn thẳng BC và CA

Hai đường trung trực cắt nhau tại O

Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = OA = OB = OC ta được đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Tính AA’:

Xét tam giác AA’C vuông tại A’ (do AA’ là đường cao)

Có: AC = 3cm

A’ là trung điểm của BC $\Rightarrow A' C = \frac{1}{2} B C = \frac{3}{2} (c m)$

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

Tài liệu VietJack

Theo cách dựng, ta có O cũng là trọng tâm tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung tuyến)

$\Rightarrow O A = \frac{2}{3} A A'$ $= \frac{2}{3} . \frac{3 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} (c m)$

Do đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: $R = O A = \sqrt{3}$ (cm)

Do tam giác ABC là tam giác đều các trung điểm A’; B’; C’ của các cạnh BC; CA; AB đồng thời là chân đường phân giác hạ từ A, B, C đến BC, AC, AB.

Đường tròn nội tiếp tam giác (O; r) tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều ABC tại các trung điểm A’, B’, C’ của các cạnh.

$\Rightarrow r = O A' = O B' = O C'$

Theo cách dựng, ta có O cũng là trọng tâm tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung tuyến)

Tài liệu VietJack

Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O; R) tại A, B, C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K

Ta có: Tam giác IJK là tam giác đều ngoại tiếp (O; R).

Bài 63 trang 92 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Vẽ các hình lục giác đều, hình vuông, hình tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn (O; R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R.

Lời giải:

a) Hình a

Cách vẽ:

Vẽ đường tròn (O; R)

Trên đường tròn ta đặt liên tiếp các cung $\overset{⏜}{A_{1} A_{2}}, \overset{⏜}{A_{2} A_{3}}, .... \overset{⏜}{A_{6} A_{1}}$ mà dây căng cung có độ dài bằng R.

Nối $A_{1}$ với $A_{2}$ , $A_{2}$ với $A_{3}$ , …. $A_{6}$ với $A_{1}$ ta được hình lục giác đều $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$ nội tiếp đường tròn

Tính cạnh:

Do $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$ là lục giác đều nên ta có:

Tài liệu VietJack

Do đó , tam giác $O A_{1} A_{2}$ là tam giác đều

$\Rightarrow A_{1} A_{2} = O A_{1} = O A_{2} = R$

Do đó, lục giác đều $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$ nội tiếp đường tròn (O; R) có cạnh là R.

b) Hình b

Cách vẽ:

- Vẽ đường kính $A_{1} A_{3}$ của đường tròn (O; R)

- Vẽ đường kính $A_{2} A_{4} ⊥ A_{1} A_{3}$

Tứ giác $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ có hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình vuông

Nối $A_{1}$ với $A_{2}$ , $A_{2}$ với $A_{3}$ , $A_{3}$ với $A_{4}$ , $A_{4}$ với $A_{1}$ ta được hình vuông nội tiếp đường tròn (O; R)

Tính cạnh:

Xét hình vuông $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ có:

Hai đường chéo $A_{2} A_{4} ⊥ A_{1} A_{3}$ tại O nên tam giác $O A_{1} A_{2}$ vuông tại O

Tài liệu VietJack

Vậy hình vuông $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ nội tiếp đường tròn (O; R) có cạnh là $\sqrt{2} R$ .

c) Hình c

Cách vẽ:

Vẽ đường tròn (O; R)

Trên đường tròn ta đặt liên tiếp các cung $\overset{⏜}{A_{1} A_{2}}, \overset{⏜}{A_{2} A_{3}}, .... \overset{⏜}{A_{6} A_{1}}$ mà dây căng cung có độ dài bằng R.