Tailieumoi.vn xin giới thiệu Giải bài tập Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Tính chất đường phân giác của tam giác lớp 8.

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi 1 trang 65 Toán 8 Tập 2: Vẽ tam giác ABC, biết:

AB = 3cm; AC = 6cm; $\widehat{A}$= 100^o.

Dựng đường phân giác AD của góc A (bằng compa, thước thẳng), đo độ dài các đoạn thẳng DB, DC rồi so sánh các tỉ số  $\frac{AB}{AC};\frac{DB}{DC}$ (h.20).

Lời giải:

Dùng thước đo độ dài ta được: BD ≈ 2 cm; DC ≈ 4 cm

Suy ra:

$\begin{array}{l}\frac{AB}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2};\frac{BD}{DC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}\end{array}$

Câu hỏi 2 trang 67 Toán 8 Tập 2: Xem hình 23a.

a) Tính $\frac{x}{y}$ .

b) Tính x khi y = 5.

Hình 23

Lời giải:

a) Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác, ta có

$$\begin{gathered} \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC} \\ \Rightarrow \frac{3,5}{7,5}=\frac{x}{y} \\ \Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{7}{15} \end{gathered}$$

b) Khi y = 5 thì:

$$\begin{gathered} \frac{x}{5}=\frac{7}{15} \\ \Rightarrow x=\frac{7.5}{15}=\frac{7}{3} \end{gathered}$$

Câu hỏi 3 trang 67 Toán 8 Tập 2: Tính x trong hình 23b.

Hình  23

Lời giải:

Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác, ta có

$\begin{array}{l}\frac{DE}{DF}=\frac{EH}{FH}\\ \Rightarrow \frac{5}{8,5}=\frac{3}{FH}\Rightarrow FH=\frac{3.8,5}{5}=5,1\end{array}$

⇒ x = EF = EH + HF = 3 + 5,1 = 8,1

Vậy x = 8,1.

Bài tập (trang 67; 68)

Bài 15 trang 67 Toán 8 Tập 2: Tính x trong hình 24 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.

Lời giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác trong các tam giác ta có:

a) ΔABC có AD là đường phân giác:

$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

Thay số: 

$$\begin{gathered} \frac{3,5}{x}=\frac{4,5}{7,2} \\ \Rightarrow x=\frac{3,5.7,2}{4,5}=5,6 \end{gathered}$$

b) Ta có: MQ + QN = MN nên

MQ = MN - QN = 12,5 - x

ΔPMN có PQ là phân giác nên: 

$\frac{MQ}{QN}=\frac{PM}{PN}$

Thay số:

 $\frac{12,5-x}{x}=\frac{6,2}{8,7}$

⇔ 8,7.(12,5 – x) = x.6,2

⇔ 108,75 – 8,7.x = 6,2.x

⇔ 108,75 = 14,9x

Hay 14,9.x = 108,75

⇔ x ≈ 7,3.

Bài 16 trang 67 Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường phân giác. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của tam giác ABD và diện tích của tam giác ACD bằng $\frac{m}{n}$.

Lời giải:

Kẻ AH là đường cao của tam giác ABC

Ta có:

$$\begin{gathered} S_{ABD}=\frac{1}{2}AH.BD; \\ {S}_{ADC}=\frac{1}{2}AH.CD \\ \Rightarrow \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AH.BD}{\frac{1}{2}AH.CD}=\frac{BD}{CD}\left(1\right) \end{gathered}$$

Vì tam giác ABC có AD là đường phân giác nên:

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

 $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{m}{n}$

Vậy tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác ACD bằng $\frac{m}{n}$.

Bài 17 trang 68 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng DE // BC (h.25).

Hình 25

Lời giải:

Ta có: MD là đường phân giác của tam giác ABM nên:

$\frac{AD}{BD}=\frac{AM}{BM}\left(1\right)$.

ME là đường phân giác của tam giác ACM nên:

$\frac{AE}{CE}=\frac{AM}{MC}$  (2)

Mà M là trung điểm BC nên MB = MC. Suy ra: 

$\frac{AM}{BM}=\frac{AM}{MC}\left(3\right)$

Từ (1); (2); (3) suy ra:

 $\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$

Suy ra: DE // BC ( định lí Ta- let đảo).

Bài 18 trang 68 Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm và BC = 7cm. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại E. Tính các đoạn EB, EC.

Lời giải:

Do AE là đường phân giác của tam giác ABC nên:

$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{EC}\Rightarrow \frac{EC}{AC}=\frac{BE}{AB}$( tính chất của tỉ lệ thức).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$$\begin{gathered} \frac{EC}{AC}=\frac{BE}{AB}=\frac{EC+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}BE}{AC+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}AB} \\ =\frac{BC}{6+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}5}=\frac{7}{11} \end{gathered}$$

+ Ta có:

 $$\begin{gathered} \frac{EC}{AC}=\frac{7}{11} \\ \Rightarrow \frac{EC}{6}=\frac{7}{11} \\ \Rightarrow EC=\frac{6.7}{11}=\frac{42}{11} \end{gathered}$$

Suy ra: 

$$\begin{gathered} EB=BC\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}-EC \\ =7-\frac{42}{11}=\frac{35}{11} \end{gathered}$$

Bài 19 trang 68 Toán 8 Tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD).

Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng:

a) $\frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC}$;

b) $\frac{AE}{AD}=\frac{BF}{BC}$;

c) $\frac{DE}{DA}=\frac{CF}{CB}$.

Lời giải:

Gọi giao điểm của AC và EF là O.

a) Áp dụng định lí Ta – let ta có:

Tam giác ADC có EO // CD nên

$\frac{AE}{ED}=\frac{AO}{OC}$.(1)

Tam giác ABC có  OF// AB nên

$\frac{AO}{OC}=\frac{BF}{FC}$(2)

Từ (1) (2) suy ra: $\frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC}$.

b) Xét tam giác ADC có EO // CD nên:

$\frac{AE}{AD}=\frac{AO}{AC}$ (3)

Xét tam giác ABC có OF // AB nên

 $\frac{AO}{AC}=\frac{BF}{BC}$  (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

$\frac{A\text{}E}{AD}=\frac{BF}{BC}$.

c) Từ câu b ta có:

$$\begin{gathered} \frac{AE}{AD}=\frac{B\text{}F}{BC} \\ \Rightarrow 1-\frac{AE}{AD}=1-\frac{B\text{}F}{BC} \\ \iff \frac{AD-AE}{AD}=\frac{BC-BF}{BC} \\ \iff \frac{DE}{DA}=\frac{CF}{BC} \end{gathered}$$

Bài 20 trang 68 Toán 8 Tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh AD, BC theo thứ tự tại E và F (h.26).

Chứng minh rằng OE = OF

Lời giải:

Xét tam giác ADC có EO // CD nên :

$\frac{OE}{CD}=\frac{AO}{AC}\left(1\right)$ (Hệ quả định lí ta- let).

Xét tam giác BDC có OF // CD nên:

$\frac{OF}{CD}=\frac{BF}{BC}\left(2\right)$  ( hệ quả định lí Ta- let)

Xét tam giác ABC có OF // AB nên theo định lí  Ta – let :

$\frac{AO}{AC}=\frac{BF}{BC}\left(3\right)$

Từ (1); (2); (3) suy ra: 

$\text{}\frac{OE}{CD}=\frac{AO}{AC}=\frac{BF}{BC}=\frac{OF}{CD}$

$\Rightarrow OE=OF$ (đpcm)

Bài 21 trang 68 Toán 8 Tập 2: a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác trong AD. Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) và diện tích tam giác ABC là S.

b) Khi cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi rằng diện tích tam giác ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác ABC?

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\frac{BD}{BC}$  (do hai tam giác có chung chiều cao từ đỉnh A)  (1)

ΔABC có AD là phân giác nên:

 $\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}$ (tính chất đường phân giác).

Suy ra:

 $\frac{CD}{BD}+\text{\hspace{0.17em}}1=\frac{AC}{AB}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{CD+BD}{BD}=\frac{AC\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+AB}{AB} \\ \iff \frac{BC}{BD}=\frac{AB+AC}{AB} \end{gathered}$$

$\iff \frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}AC}$ (2)

Từ (1) (2) suy ra:

$\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\frac{AB}{AB+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}AC}$.

Hay $S_{ABD}=\frac{m}{m+n}S$.

Lại có:

 $$\begin{gathered} \frac{S_{ABM}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow S_{ABM}=\frac{1}{2}{S}_{ABC} \end{gathered}$$

Do đó, 

$$\begin{gathered} S_{ADM}=S_{ABM}-S_{ABD} \\ =\frac{1}{2}S-\frac{m}{m+\text{\hspace{0.17em}}n}S \\ =\frac{n-m}{2(m+n)}S \end{gathered}$$

b) Với n = 7; m = 3, thay vào kết quả phần a ta có:

$$\begin{gathered} S_{ADM}=\frac{7-3}{2(7+\text{}3)}S \\ =\frac{4}{20}S=\frac{1}{5}S \\ =20\%.S \end{gathered}$$

Vậy diện tích tam giác ADM chiếm 20% diện tích tam giác ABC.

Bài 22 trang 68 Toán 8 Tập 2: Đố: Hình 27 cho biết có 6 góc bằng nhau:

$\widehat{O_1}=\widehat{O_2}=\widehat{O_3}=\widehat{O_4}=\widehat{O_5}=\widehat{O_6}$

Hình 27

Kích thước các đoạn thẳng đã được ghi trên hình. Hãy thiết lập những giá trị từ các kích thước đã cho.

Lời giải:

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có:

OB là tia phân giác của tam giác OAC nên $\frac{x}{a}=\frac{y}{c}$.

OC là tia phân giác của tam giác BOD nên $\frac{y}{b}=\frac{z}{d}$

OD là tia phân giác của tam giác OCE nên $\frac{z}{c}=\frac{t}{e}$

OE là tia phân giác của tam giác ODF nên $\frac{t}{d}=\frac{u}{f}$

OF là tia phân giác của tam giác OEG nên $\frac{u}{e}=\frac{v}{g}$

OC là tia phân giác của tam giác OAE nên

 $\frac{AC}{OA}=\frac{CE}{OE}\Rightarrow \frac{x+y}{a}=\frac{z+t}{e}$

OE là tia phân giác của tam giác OCG nên

 $\frac{z+t}{c}=\frac{u+v}{g}$

OD là tia phân giác của tam giác AOG nên

 $\frac{x+\text{\hspace{0.17em}}y+z}{a}=\frac{t+u+\text{\hspace{0.17em}}v}{g}$

OD là tia phân giác của tam giác OBF nên

$\frac{y+\text{\hspace{0.17em}}z}{b}=\frac{t+u}{f}$.