Trả lời nhanh
Trong tam giác ABC, nếu AD là đường phân giác của góc A (D thuộc BC) thì DB/DC = AB/AC: đường phân giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề. Với phân giác ngoài, tỉ lệ thức này vẫn đúng nhưng chân đường phân giác nằm ngoài đoạn BC. Bên dưới là 22 bài tập có lời giải.
Tóm tắt kiến thức cần nhớ
- Phân giác trong: AD là phân giác góc A, D thuộc cạnh BC thì DB/DC = AB/AC. Suy ra DB/BC = AB/(AB + AC) và DC/BC = AC/(AB + AC).
- Phân giác ngoài: AE là phân giác góc ngoài tại A, E thuộc đường thẳng BC thì EB/EC = AB/AC (E nằm ngoài đoạn BC, về phía cạnh ngắn hơn).
- Hệ quả về diện tích: hai tam giác ABD và ACD có chung đường cao kẻ từ A nên SABD/SACD = DB/DC = AB/AC.
Mẹo nhớ: “đoạn nào nằm cạnh cạnh nào thì tỉ lệ với cạnh đó”. Đoạn DB nằm kề cạnh AB, đoạn DC nằm kề cạnh AC, nên DB đi với AB và DC đi với AC. Lý thuyết đầy đủ xem thêm tại Lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác.
Phương pháp giải nhanh
- Xác định rõ góc có tia phân giác và điểm D nằm trên cạnh nào (cạnh đối diện của góc đó).
- Viết tỉ lệ thức DB/DC = AB/AC theo đúng thứ tự đỉnh.
- Nếu đề cho tổng BC = DB + DC, dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau hoặc đặt DB = AB·k, DC = AC·k để tính.
- Kiểm tra lại: đoạn gần cạnh dài hơn thì phải dài hơn, và DB + DC phải bằng BC.
Phần 1. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, BC = 5 cm, AD là phân giác (D thuộc BC). Chọn phát biểu đúng.
A. BD = 20/7 cm; CD = 15/7 cm B. BD = 15/7 cm; CD = 20/7 cm C. BD = 1,5 cm; CD = 2,5 cm D. BD = 2,5 cm; CD = 1,5 cm
Giải. Theo Pytago, AC = √(25 − 9) = 4 cm. Có DB/DC = AB/AC = 3/4, mà DB + DC = 5 nên DB = 5·3/7 = 15/7 cm, DC = 20/7 cm. Đáp án B. Cạnh AB ngắn hơn AC nên DB phải ngắn hơn DC, vậy loại A và D; hai đoạn ở C có tỉ lệ 3 : 5 chứ không phải 3 : 4 nên loại C.
Câu 2. Tam giác ABC có AB = 8 cm, BC = 10 cm, AC = 6 cm, BD là phân giác (D thuộc AC). Chọn phát biểu đúng.
A. DA = 8/3 cm, DC = 10/3 cm B. DA = 10/3 cm, DC = 8/3 cm C. DA = 4 cm, DC = 2 cm D. DA = 3,5 cm, DC = 2,5 cm
Giải. Phân giác từ B nên D nằm trên AC: DA/DC = BA/BC = 8/10 = 4/5. Vì DA + DC = 6 nên DA = 6·4/9 = 8/3 cm, DC = 10/3 cm. Đáp án A. Lỗi hay gặp: viết nhầm DA/DC = AB/AC (lấy cạnh AC chứa D thay vì cạnh BC).
Câu 3. Tam giác ABC có AB = 10 cm, AC = 14 cm, BC = 12 cm, AD là phân giác. Độ dài BD là:
A. 4,8 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 7 cm
Giải. BD/BC = AB/(AB + AC) = 10/24, nên BD = 12·10/24 = 5 cm. Đáp án B. (Khi đó DC = 7 cm, đáp án D chính là độ dài DC, dễ chọn nhầm.)
Câu 4. Tam giác ABC, phân giác trong góc A cắt BC tại D. Cho AB = 6, AC = x, BD = 9, BC = 21. Tính x.
A. 14 B. 12 C. 8 D. 6
Giải. DC = 21 − 9 = 12. Từ DB/DC = AB/AC ta có 9/12 = 6/x, suy ra x = 12·6/9 = 8. Đáp án C.
Câu 5. Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Phân giác góc BAC cắt BC tại D. Tỉ số diện tích tam giác ABD và ACD là:
A. 1/4 B. 1/2 C. 3/4 D. 1/3
Giải. Hai tam giác chung đường cao từ A nên SABD/SACD = BD/CD = AB/AC = 15/20 = 3/4. Đáp án C. Không cần dùng đến BC = 25.
Câu 6. Tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 9 cm, AD là phân giác góc BAC. Tỉ số CD/BD bằng:
A. 4/9 B. 9/4 C. 4/13 D. 13/9
Giải. BD/CD = AB/AC = 4/9 nên CD/BD = 9/4. Đáp án B. Đọc kĩ đề hỏi CD/BD hay BD/CD, đừng chọn phương án đảo ngược.
Câu 7. Tam giác ABC có AC = 4 cm, AB = 6 cm, BC = 8 cm, AD là phân giác góc A. BD bằng:
A. 4,2 cm B. 4,8 cm C. 5,2 cm D. 5,4 cm
Giải. BD/DC = 6/4 = 3/2 nên BD = 8·3/5 = 4,8 cm. Đáp án B.
Câu 8. Tam giác ABC cân tại A, BC = 10 cm, AD là phân giác góc A. Độ dài CD là:
A. 10 cm B. 2,5 cm C. 5 cm D. 7,5 cm
Giải. AB = AC nên DB/DC = 1, tức DB = DC = BC/2 = 5 cm. Đáp án C. Nhận xét: trong tam giác cân, phân giác ở đỉnh cũng là trung tuyến.
Câu 9. Tam giác ABC có AD là phân giác góc A, AB = 3 cm, BD = 4 cm, CD = 6 cm. Độ dài AC là:
A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 4,5 cm
Giải. AB/AC = BD/CD = 4/6 = 2/3, suy ra AC = 3·3/2 = 4,5 cm. Đáp án D.
Câu 10. Tam giác ABC có trung tuyến AM và phân giác AD (D, M thuộc BC), AB = 12 cm, AC = 8 cm, BC = 15 cm. Tỉ số BM/BD bằng:
A. 5/6 B. 6/5 C. 3/5 D. 5/3
Giải. BM = 15/2 = 7,5 cm. BD/DC = 12/8 = 3/2 nên BD = 15·3/5 = 9 cm. Vậy BM/BD = 7,5/9 = 5/6. Đáp án A.
Phần 2. Bài tập tự luận
Bài 11. Tam giác ABC có AC = 2AB, AD là phân giác. Tính tỉ số BD/BC.
Giải. DB/DC = AB/AC = 1/2, nên DC = 2DB và BC = 3DB. Vậy BD/BC = 1/3.
Bài 12. Tam giác ABC cân tại A có AB = 15 cm, BC = 10 cm. Phân giác góc B cắt AC tại D. Tính AD.
Giải. Phân giác từ B nên AD/DC = BA/BC = 15/10 = 3/2. Do AC = AB = 15 cm nên AD = 15·3/5 = 9 cm (và DC = 6 cm).
Bài 13. Tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Phân giác góc B cắt AC tại D. Tính AD.
Giải. BC = √(36 + 64) = 10 cm. AD/DC = BA/BC = 6/10 = 3/5, mà AD + DC = AC = 8 nên AD = 8·3/8 = 3 cm.
Bài 14. Tam giác ABC vuông tại A, AB = 15 cm, AC = 20 cm, đường cao AH. Phân giác góc BAH cắt BC tại D, phân giác góc HAC cắt BC tại E. Tính DH, EH và DE.
Giải. BC = √(225 + 400) = 25 cm. Từ AB² = BH·BC có BH = 225/25 = 9 cm, HC = 25 − 9 = 16 cm, AH = √(AB² − BH²) = √(225 − 81) = 12 cm.
- Trong tam giác ABH, AD là phân giác: DH/DB = AH/AB = 12/15 = 4/5. Mà DH + DB = 9 nên DH = 4 cm.
- Trong tam giác AHC, AE là phân giác: EH/EC = AH/AC = 12/20 = 3/5. Mà EH + EC = 16 nên EH = 6 cm.
- D, E nằm hai phía của H nên DE = 4 + 6 = 10 cm.
Bài 15 (phân giác ngoài). Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm, BC = 5 cm. Tia phân giác góc ngoài tại A cắt đường thẳng BC tại E. Tính EB và EC.
Giải. EB/EC = AB/AC = 2/3 nên EB < EC, E nằm ngoài đoạn BC về phía B, tức EC = EB + 5. Đặt EB = x: x/(x + 5) = 2/3, suy ra 3x = 2x + 10, x = 10. Vậy EB = 10 cm, EC = 15 cm.
Bài 16. Tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 18 cm, phân giác AD. Biết DC − DB = 2 cm. Tính BC.
Giải. DB/DC = 12/18 = 2/3. Đặt DB = 2k, DC = 3k, khi đó k = 2 nên DB = 4 cm, DC = 6 cm, BC = 10 cm.
Bài 17. Tam giác ABC có AB = 9 cm, AC = 12 cm, diện tích bằng 84 cm², AD là phân giác. Tính diện tích tam giác ABD và ACD.
Giải. SABD/SACD = AB/AC = 3/4. Do đó SABD = 84·3/7 = 36 cm² và SACD = 84·4/7 = 48 cm².
Bài 18. Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm, phân giác AD. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E. Tính DE và chứng minh AE = DE.
Giải. BD/DC = 6/9 = 2/3 nên DC/BC = 3/5. Vì DE // AB, theo định lí Ta-lét (hệ quả) DE/AB = CD/CB = 3/5, suy ra DE = 3,6 cm. Mặt khác góc EDA = góc BAD (so le trong) và góc BAD = góc EAD (AD là phân giác), nên tam giác AED cân tại E, vậy AE = DE = 3,6 cm.
Bài 19. Tam giác ABC có phân giác AD, biết DB = 3 cm, DC = 5 cm và AC − AB = 4 cm. Tính AB và AC.
Giải. AB/AC = DB/DC = 3/5. Đặt AB = 3k, AC = 5k thì 2k = 4, k = 2. Vậy AB = 6 cm, AC = 10 cm.
Bài 20. Tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 12 cm, BC = 10 cm; AM là trung tuyến, AD là phân giác. Tính DM và cho biết D nằm giữa hai điểm nào.
Giải. DB/DC = 8/12 = 2/3 nên DB = 10·2/5 = 4 cm. M là trung điểm nên BM = 5 cm. Vì 4 < 5 nên D nằm giữa B và M, DM = 5 − 4 = 1 cm. Nhận xét: phân giác luôn nằm "lệch" về phía cạnh ngắn hơn so với trung tuyến.
Bài 21 (chứng minh định lí). Chứng minh nếu AD là phân giác của tam giác ABC thì DB/DC = AB/AC.
Giải. Qua C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt tia BA tại E. Vì AD // CE nên góc BAD = góc AEC (đồng vị) và góc DAC = góc ACE (so le trong). Do góc BAD = góc DAC nên góc AEC = góc ACE, tam giác ACE cân tại A, suy ra AE = AC. Áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác BCE có AD // CE: DB/DC = AB/AE = AB/AC. (đpcm)
Bài 22. Tam giác ABC có AB < AC, AD là phân giác. Chứng minh DB < DC.
Giải. Có DB/DC = AB/AC. Vì AB < AC nên tỉ số này nhỏ hơn 1, do đó DB < DC.
Lỗi sai thường gặp
- Đảo tỉ lệ: viết DB/DC = AC/AB. Hãy kiểm tra bằng trực giác: đoạn nào gần cạnh dài hơn thì dài hơn.
- Nhầm cạnh đối diện: phân giác từ đỉnh B thì chân đường phân giác nằm trên AC, tỉ số lập với BA và BC.
- Quên cộng tổng: sau khi có tỉ số, cần dùng DB + DC = BC để tìm độ dài cụ thể.
- Dùng sai tính chất cho tam giác vuông: với góc A = 90° không có hệ thức 1/AB + 1/AC = 1/AD. Qua diện tích có thể chứng minh hệ thức đó chỉ đúng khi góc A = 120°; còn khi A = 90° thì 1/AB + 1/AC = √2/AD.
Ôn luyện thêm
- Phương pháp giải và bài tập về Tính chất đường phân giác của tam giác
- 22 câu trắc nghiệm Tính chất đường phân giác của tam giác
- Giải SGK Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác
- Bài tập Khái niệm hai tam giác đồng dạng
Câu hỏi thường gặp
Công thức tính chất đường phân giác của tam giác là gì?
Nếu AD là phân giác trong của góc A (D thuộc BC) thì DB/DC = AB/AC. Nói cách khác, chân đường phân giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề.
Tính chất đường phân giác có đúng với phân giác ngoài không?
Có. Nếu AE là phân giác góc ngoài tại A và E thuộc đường thẳng BC thì EB/EC = AB/AC, nhưng điểm E nằm ngoài đoạn BC, về phía cạnh ngắn hơn. Điều kiện là AB khác AC.
Làm sao tìm độ dài BD khi biết ba cạnh tam giác?
Dùng BD = BC·AB/(AB + AC). Ví dụ AB = 10, AC = 14, BC = 12 thì BD = 12·10/24 = 5.
Khi nào dùng tính chất đường phân giác để so sánh diện tích?
Khi hai tam giác ABD và ACD có chung đường cao kẻ từ A. Khi đó tỉ số diện tích bằng DB/DC, tức bằng AB/AC.