Áp dụng định lý Py – ta – go ta có: AC = $\sqrt{(B{C}^2 - A{B}^2)}$ = $\sqrt{(5^2 - 3^2)}$ = 4( cm )

Δ ABC, AD là đường phân giác của góc $\widehat{BAC}$ ( D ∈ BC )

Ta có: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ hay $\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}$

Khi đó ta có: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{(DB + DC)}=\frac{AB}{\left(AB+AC\right)}$

hay $\frac{DB}{5}=\frac{3}{3+4}$ ⇒ DB = $\frac{15}{7}$ cm; DC = $\frac{20}{7}$ ( cm )

Chọn đáp án B.

BD là đường phân giác của Δ ABC

Ta có: $\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{BC}\iff \frac{DA}{(DA + DC)}=\frac{AB}{(AB + BC)}$

Hay $\frac{DA}{6}=\frac{8}{(8 + 10)}\Rightarrow DA=\frac{\left(6.8\right)}{18}=\frac{8}{3}$ ( cm ); DC = $\frac{10}{3}$ (cm)

Chọn đáp án A.

Δ ABC có AD là đường phân giác

Ta có: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ và $\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}$

+ AC là phân giác góc ngoài của Δ ABD

Có: $\frac{AD}{AB}=\frac{DC}{BC}$

+ AB là phân giác góc ngoài của Δ ADC

Có: $\frac{AD}{AC}=\frac{BD}{BC}$

Khi đó ta có: $\frac{AD}{AB}+\frac{AD}{AC}=\frac{DC}{BC}+\frac{DB}{BC}$ = 1 ⇒ $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AD}$

Chọn đáp án B.

Δ ABC có AD là phân giác trong của góc A.

Ta có: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{(BC - DB)}=\frac{AB}{AC}$

Hay $\frac{9}{(21 - 9)}=\frac{6}{x}\Rightarrow x=\frac{(12.6)}{9}$ = 8

Chọn đáp án C.

Đường phân giác $\widehat{BAC}$ cắt BC tại D

Ta có: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$

Chọn đáp án C.

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ABC ta có:

Chọn đáp án B

Chọn đáp án B

Theo tính chất tia phân giác của góc ta có:

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC nên:

Suy ra : DB = DC.

Mà DB + DC = BC nên:

Chọn đáp án C

Suy ra:

Chọn đáp án D

Do M là trung điểm của BC nên:

Theo tính chất tia phân giác của góc ta có:

Suy ra:

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Suy ra:

Do đó:

Chọn đáp án A

Bài 11: Cho ΔABC, AD là phân giác trong của góc A. Hãy chọn câu đúng:

Lời giải:

Vì AD là phân giác góc  (tính chất đường phân giác của tam giác).

Đáp án cần chọn là: B

Bài 12: Cho ΔABC, AD là phân giác trong của góc A. Hãy chọn câu sai:

Lời giải:

Vì AD là phân giác góc  (tính chất đường phân giác của tam giác).

Chỉ có C sai

Đáp án cần chọn là: C

Bài 13: Hãy chọn câu đúng. Tỉ số x/y của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết rằng các số trên hình cùng đơn vị đo là cm.

Lời giải:

Xét tam giác ABC, vì AD là phân giác góc 

Đáp án cần chọn là: A

II. Bài tập tự luận có giải

Lời giải

Lời giải

Vì AD là đường phân giác của tam giác ABC nên: 

Vậy chỉ có 2 khẳng định đúng.

Lời giải

Mà tam giác ABC cân tại A nên AC = AB = 15cm

Lời giải

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB² + AC² = BC²

⇔ 15² + 20² = BC² ⇒ BC = 25

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác AHB vuông tại H, ta có:

AB² = AH² + HB²

⇔ 15² = 12² + HB²

⇒ HB² = 81 ⇒ HB = 9

⇒ HC = BC – HB = 25 – 9 = 16

Vì AD là phân giác của tam giác ABH nên:

Bài 6 Vẽ tam giác ABC, biết:

AB = 3cm; AC = 6cm; $\hat{A}$ = 100^o.

Dựng đường phân giác AD của góc A (bằng compa, thước thẳng), đo độ dài các đoạn thẳng DB, DC rồi so sánh các tỉ số

(h.20).

Lời giải

BD ≈ 2 cm; DC ≈ 4 cm

Bài 7 Xem hình 23a.

a) Tính $\frac{x}{y}$.

b) Tính x khi y = 5.

Lời giải

a) Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác, ta có

Bài 8 Tính x trong hình 23b.

Lời giải

Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác, ta có

Bài 9 Tính x trong hình 24 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.

Hình 24

Lời giải:

Bài 10 Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường phân giác. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của tam giác ABD và diện tích của tam giác ACD bằng $\frac{m}{n}$.

Lời giải:

Kẻ AH là đường cao của tam giác ABC

Ta có:

Vậy tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác ACD bằng $\frac{m}{n}$.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng DE // BC (h.25).

Bài 2 Tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm và BC = 7cm. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại E. Tính các đoạn EB, EC.

Bài 3 Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng:

Bài 4 Cho hình thang ABCD (AB // CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh AD, BC theo thứ tự tại E và F (h.26). Chứng minh rằng OE = OF

a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác trong AD. Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) và diện tích tam giác ABC là S.

b) Khi cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi rằng diện tích tam giác ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác ABC?

Bài 5 Hình 27 cho biết có 6 góc bằng nhau:

Hình 27

Bài 6 Kích thước các đoạn thẳng đã được ghi trên hình. Hãy thiết lập những giá trị từ các kích thước đã cho.

Bài 7 Tính x trong hình 24 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.

Bài 8 Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường phân giác. Chứng minh rẳng tỉ số diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác ACD bằng .

Bài 9 Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng DE // BC. (h. 25)

Bài 10 Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự là E và F.

Chứng minh rằng:

a) $\frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC}$;     

b) $\frac{AE}{AD}=\frac{BF}{BC}$;    

c) $\frac{DE}{DA}=\frac{CF}{CB}$.

B. Lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác

1. Định lý

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.

Tổng quát: Δ ABC, AD là đường phân giác của góc BACˆ ( D ∈ BC )

Ta có: DB/DC = AB/AC hay DB/AB = DC/AC

Ví dụ: Cho Δ ABC có AD là đường phân giác của góc BACˆ ( D ∈ BC ) sao cho DB = 2cm, có AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài cạnh DC.

Hướng dẫn:

Áp dụng định lí trên ta có: Δ ABC, AD là đường phân giác của góc BACˆ ( D ∈ BC )

Ta có DB/AB = DC/AC hay 2/3 = DC /4 ⇒ DC = (2.4)/ 3 = 8/3 = 2,(6 ) ( cm )

2. Chú ý

Định lí vẫn đúng với đường phân giác của góc ngoài của tam giác

AE' là phân giác của góc BAxˆ ( AB ≠ AC )

Ta có: AB/AC = E'B/E'C hay E'B/AB = E'C/AC