Phương pháp giải bài tập tính chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác

1. Lý thuyết cần nhớ

Định lý phân giác trong

Trong tam giác ABC, nếu AD là đường phân giác của góc A (D thuộc BC) thì:

DB/DC = AB/AC

Nói bằng lời: phân giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.

Tính chất phân giác ngoài

Cho tam giác ABC có AB ≠ AC. Gọi AE là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A (E thuộc đường thẳng BC). Khi đó:

EB/EC = AB/AC

Nếu AB = AC thì phân giác ngoài song song với BC, không cắt BC, nên không có điểm E. Đây là lý do đề bài luôn cho AB ≠ AC khi nhắc đến phân giác ngoài.

Định lý đảo

• D thuộc đoạn BC và DB/DC = AB/AC thì AD là phân giác trong của góc A.
• E thuộc đường thẳng BC, nằm ngoài đoạn BC và EB/EC = AB/AC thì AE là phân giác ngoài của góc A.

Hình dưới đây vẽ cả hai đường phân giác trong cùng một tam giác để em thấy vị trí của D và E.

2. Vì sao tỉ lệ thức đúng? (chứng minh ngắn gọn)

Phân giác trong. Qua C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt tia BA tại M. Theo định lý Ta-lét trong tam giác BCM: DB/DC = AB/AM. Mặt khác góc AMC = góc BAD (đồng vị), góc ACM = góc DAC (so le trong), mà góc BAD = góc DAC nên tam giác AMC cân tại A, suy ra AM = AC. Thay vào ta được DB/DC = AB/AC.

Phân giác ngoài. Giả sử AB < AC nên E nằm về phía B. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AE tại F. Cộng góc cho thấy tam giác ABF cân tại B, tức BF = AB. Áp dụng Ta-lét trong tam giác ECA: EB/EC = BF/AC = AB/AC.

Hiểu cách chứng minh giúp em tự dựng lại kết quả khi quên, và là cách vẽ đường phụ quen thuộc trong các bài chứng minh.

3. Công thức tính nhanh độ dài

Đặt BC = a, CA = b, AB = c (giả sử c < b với phân giác ngoài). Từ tỉ lệ thức kết hợp tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có bảng:

Loại phân giác	Vị trí điểm	Công thức
Phân giác trong AD	D nằm giữa B và C: DB + DC = a	DB = ac/(b + c); DC = ab/(b + c)
Phân giác ngoài AE	B nằm giữa E và C: EC − EB = a	EB = ac/(b − c); EC = ab/(b − c)

Mẹo nhớ: điểm chân phân giác luôn nằm gần đầu mút của cạnh ngắn hơn. Với phân giác trong, ta dùng tổng (b + c); với phân giác ngoài, ta dùng hiệu (b − c) vì E nằm ngoài đoạn BC nên hai đoạn EB, EC hơn kém nhau đúng BC.

Hệ quả đẹp: AD vuông góc AE (hai phân giác của hai góc kề bù), và DE = 2abc/(b² − c²) khi b ≠ c.

4. Các dạng bài tập và cách giải

Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng với phân giác trong

Cách làm: (1) viết tỉ lệ thức DB/DC = AB/AC; (2) đặt DB = x, DC = BC − x; (3) giải phương trình, hoặc dùng công thức ở mục 3.

Ví dụ 1. Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm, BC = 10 cm, AD là phân giác. Tính BD, DC.

Giải. Theo tính chất phân giác: BD/DC = 6/9 = 2/3. Suy ra BD/(BD + DC) = 2/(2 + 3), tức BD/10 = 2/5, nên BD = 4 cm và DC = 10 − 4 = 6 cm.

Ví dụ 2. Tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm, AD là phân giác. Tính BD, DC.

Giải. Theo Pi-ta-go, BC = 10 cm. Ta có BD/DC = 6/8 = 3/4, nên BD = 10 · 3/7 = 30/7 cm và DC = 10 · 4/7 = 40/7 cm. Kiểm tra: 30/7 + 40/7 = 10 ✓.

Dạng 2. Tính độ dài với phân giác ngoài

Cách làm: xác định E nằm về phía đỉnh có cạnh kề ngắn hơn; viết EB/EC = AB/AC rồi đặt EB = x, EC = x + BC.

Ví dụ 3. Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm, BC = 10 cm. Phân giác ngoài tại A cắt BC tại E. Tính EB, EC.

Giải. Vì AB < AC nên E nằm ngoài đoạn BC, về phía B, và EC = EB + 10. Từ EB/EC = 6/9 = 2/3 ta có 3·EB = 2(EB + 10), suy ra EB = 20 cm, EC = 30 cm. Kiểm tra: 20/30 = 2/3 ✓ và 30 − 20 = 10 ✓.

Ví dụ 4. Tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 20 cm, BC = 16 cm. Tính độ dài EB và EC của phân giác ngoài.

Giải. Dùng công thức: EB = ac/(b − c) = 16·12/(20 − 12) = 24 cm; EC = ab/(b − c) = 16·20/8 = 40 cm. Kiểm tra EC − EB = 16 ✓ và 24/40 = 12/20 ✓.

Dạng 3. Chứng minh hệ thức, kết hợp đường song song

Cách làm: dùng tính chất phân giác để đổi tỉ số đoạn thẳng trên BC thành tỉ số cạnh AB/AC, sau đó dùng Ta-lét hoặc tam giác đồng dạng.

Ví dụ 5. Tam giác ABC có phân giác AD. Qua D kẻ DE song song với AB (E thuộc AC). Chứng minh 1/DE = 1/AB + 1/AC.

Giải. Vì DE ∥ AB nên DE/AB = CD/CB. Theo tính chất phân giác, DB/DC = AB/AC, nên CD/CB = AC/(AB + AC). Do đó DE/AB = AC/(AB + AC), suy ra DE = AB·AC/(AB + AC). Lấy nghịch đảo hai vế: 1/DE = (AB + AC)/(AB·AC) = 1/AC + 1/AB. ∎

Áp dụng số: AB = 4 cm, AC = 6 cm thì 1/DE = 1/4 + 1/6 = 5/12, nên DE = 2,4 cm.

Ví dụ 6 (diện tích). Chứng minh S_ABD/S_ACD = AB/AC. Giải. Hai tam giác chung đường cao hạ từ A nên tỉ số diện tích bằng DB/DC, mà DB/DC = AB/AC. ∎

Dạng 4. Dùng định lý đảo để nhận biết phân giác

Ví dụ 7. Tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 5 cm. Điểm D thuộc đoạn BC với BD = 1,5 cm, DC = 2,5 cm. Chứng minh AD là phân giác góc A.

Giải. Ta có BD/DC = 1,5/2,5 = 3/5 = AB/AC và D thuộc đoạn BC. Theo định lý đảo, AD là phân giác trong của góc BAC. ∎

Lưu ý: nếu D không nằm trong đoạn BC mà nằm ngoài, cùng tỉ số đó cho ta phân giác ngoài, không phải phân giác trong.

5. Lỗi sai thường gặp

• Viết ngược tỉ số: DB/DC = AC/AB. Hãy nhớ B đi với AB, C đi với AC, cùng thứ tự.
• Nhầm cạnh kề: tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đang chia, không phải cạnh đối BC.
• Dùng BD + DC = BC cho phân giác ngoài: với E thì phải dùng EC − EB = BC (hoặc ngược lại tuỳ vị trí).
• Quên điều kiện AB ≠ AC khi dùng phân giác ngoài.
• Đặt E sai phía: E luôn nằm ngoài đoạn BC, gần đỉnh có cạnh kề ngắn hơn.
• Không kiểm tra lại: sau khi tính, thử bằng tỉ số ban đầu và hệ thức tổng/hiệu để phát hiện sai sót nhanh.

6. Bài luyện tập có đáp án

1. Tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 12 cm, BC = 15 cm, AD là phân giác trong. Tính BD, DC.
2. Với tam giác ở bài 1, AE là phân giác ngoài tại A (E thuộc BC). Tính EB, EC.
3. Tam giác ABC có AB = 9 cm, AC = 12 cm, AD là phân giác, BD = 6 cm. Tính DC và BC.
4. Với tam giác ở bài 1, tính độ dài DE.

Đáp án và gợi ý.

1. BD/DC = 8/12 = 2/3 nên BD = 15·2/5 = 6 cm, DC = 9 cm.
2. AB < AC nên E ở phía B, EC = EB + 15. Từ EB/EC = 2/3 suy ra 3·EB = 2·EB + 30, EB = 30 cm, EC = 45 cm. Kiểm tra: 30/45 = 2/3 ✓.
3. DC = BD·AC/AB = 6·12/9 = 8 cm; BC = 6 + 8 = 14 cm.
4. D cách B là 6 cm về phía C, E cách B là 30 cm về phía ngược lại, nên DE = 6 + 30 = 36 cm. Kiểm tra bằng công thức: 2·15·8·12/(12² − 8²) = 2880/80 = 36 ✓.

7. Tài liệu luyện thêm

• Tính chất đường phân giác của tam giác
• Lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác
• Giải SGK Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác
• 50 bài tập Tính chất đường phân giác của tam giác
• 22 câu trắc nghiệm Tính chất đường phân giác của tam giác
• Các trường hợp đồng dạng của tam giác
• Bài tập về Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng

Câu hỏi thường gặp

Tính chất đường phân giác ngoài của tam giác là gì?

Nếu AE là phân giác góc ngoài tại A của tam giác ABC (AB khác AC) và E thuộc đường thẳng BC thì EB/EC = AB/AC. Điểm E nằm ngoài đoạn BC, về phía đỉnh có cạnh kề ngắn hơn.

Khi nào không tồn tại chân đường phân giác ngoài?

Khi tam giác cân tại A (AB = AC). Lúc đó phân giác ngoài tại A song song với BC nên không cắt BC.

Làm sao tính nhanh EB và EC khi biết ba cạnh?

Đặt BC = a, CA = b, AB = c với b > c. Khi đó EB = ac/(b − c) và EC = ab/(b − c). Có thể kiểm tra bằng hệ thức EC − EB = BC.

Phân giác trong và phân giác ngoài tại cùng một đỉnh có quan hệ gì?

Chúng vuông góc với nhau vì hai góc kề bù có hai tia phân giác tạo thành góc 90 độ. Hai chân D và E cùng chia BC theo tỉ số AB/AC, một điểm chia trong và một điểm chia ngoài.

Bài học liên quan

• Cho a – b = 4 và ab = 3, tính a³ – b³: đáp án và cách giải
• Giải các phương trình: 3x − 2 = 2x − 3; 3 − 4y + 24 + 6y = y + 27 + 3y
• Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức: cách làm, ví dụ lớp 8
• Hình lăng trụ đứng tứ giác có bao nhiêu đỉnh, cạnh, mặt?
• Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình gì?
• Hình lăng trụ đứng tam giác có bao nhiêu cạnh? Đáp án và cách đếm