Cho tam giác ABC có góc A < 90 độ. Chứng minh rằng: AM vuông góc với DE

Với giải Bài 4.31 trang 65 SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.31 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{A} < 90 ° .$ Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:

a) AM vuông góc với DE;

b) BE vuông góc với CD;

c) Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) +) Vì M là trung điểm của BC nên $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$

+) Theo quy tắc ba điểm ta có: $\vec{D E} = \vec{A E} - \vec{A D}$

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Mà AB ⊥ AD nên $\vec{A B} . \vec{A D} = 0$

Và AC ⊥ AE nên $\vec{A C} . \vec{A E} = 0$

Do đó $\vec{A M} . \vec{D E} = \frac{1}{2} (\vec{A B} . \vec{A E} - \vec{A C} . \vec{A D})$

Ta có:

• $\vec{A B} . \vec{A E} = A B . A E . c o s \hat{B A E}$

Và $\vec{A C} . \vec{A D} = A C . A D . c o s \hat{C A D}$

• AB = AD (do ∆ABD vuông cân tại A)

Và AC = AE (do ∆ACE vuông cân tại A)

• $\hat{B A E} = \hat{B A C} + \hat{C A E} = \hat{B A C} + 90 °$

Và $\hat{C A D} = \hat{B A C} + \hat{B A D} = \hat{B A C} + 90 °$

$\Rightarrow \hat{B A E} = \hat{C A D}$

Do đó

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

b) Ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta có:

• $\vec{A E} . \vec{A D} = A E . A D . c o s \hat{D A E}$

Và $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c o s \hat{B A C}$

• AB = AD và AC = AE

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Þ BE ⊥ CD.

c) Ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

=> BE = CD (1)

Xét tam giác BCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD

Nên MN là đường trung bình của ∆BCD

$\Rightarrow M N = \frac{1}{2} C D$ và MN // CD (2)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

MP là đường trung bình của ∆BCE

$\Rightarrow M P = \frac{1}{2} B E$ và MP // BE (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MN = MP.

Vì BE ⊥ CD (câu b), MN // CD và MP // BE

Nên MN ⊥ MP

$\Rightarrow \hat{N M P} = 90 °$

Tam giác MNP có MN = MP và $\hat{N M P} = 90 °$

Suy ra tam giác MNP là tam giác vuông cân tại M.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 4.29 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1...

Bài 4.30 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, $B C = \sqrt{2} .$ Gọi M là trung điểm của AD...

Bài 4.32 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thoả mãn $|\vec{a}| = 6, |\vec{b}| = 8$ và $|\vec{a} + \vec{b}| = 10.$ ..

Bài 4.33 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C; gọi M, N, P tương ứng là trung điềm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng...

Bài 4.34 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3)...

Bài 4.35 trang 65 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm toạ độ các đỉnh B, D, biết rằng tung độ của B là một số âm...

Bài 4.36 trang 66 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5)...

Bài 4.37 trang 66 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1)...

Bài 4.38 trang 66 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm M, N, P. Nếu một lực không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm, thì các công sinh bởi lực trong hai trường hợp sau có mối quan hệ gì với nhau?...

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4

Bài 12: Số gần đúng và sai số

Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Cho tam giác ABC có góc A < 90 độ. Chứng minh rằng: AM vuông góc với DE

Từ khóa :

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Tìm kiếm

Bài Viết Xem Nhiều