Với giải sách bài tập Toán 9 Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 9 Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 3.15 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tính giá trị biểu thức $P={\left(\sqrt{20}+2\sqrt{45}-3\sqrt{80}\right)}^2$.

Lời giải:

$P={\left(\sqrt{20}+2\sqrt{45}-3\sqrt{80}\right)}^2$

$={\left(\sqrt{4.5}+2\sqrt{9.5}-3\sqrt{16.5}\right)}^2$

$={\left(\sqrt{2^2.5}+2\sqrt{3^2.5}-3\sqrt{4^2.5}\right)}^2$

$={\left(2\sqrt{5}+2.3\sqrt{5}-3.4\sqrt{5}\right)}^2$

$={\left(2\sqrt{5}+6\sqrt{5}-12\sqrt{5}\right)}^2$

$={\left(-4\sqrt{5}\right)}^2 = 42 . 5 = 80$

Vậy P = 80.

Bài 3.16 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: $9\sqrt{2};8\sqrt{3};5\sqrt{6};4\sqrt{7}$

Lời giải:

Ta có:

$9\sqrt{2}=\sqrt{9^2.2}=\sqrt{162}$

$8\sqrt{3}=\sqrt{8^2.3}=\sqrt{192}$

$5\sqrt{6}=\sqrt{5^2.6}=\sqrt{150}$

$4\sqrt{7}=\sqrt{4^2.7}=\sqrt{112}$

Do $\sqrt{112}<\sqrt{150}<\sqrt{162}<\sqrt{192}$ nên $4\sqrt{7}<5\sqrt{6}<9\sqrt{2}<8\sqrt{3}$

Bài 3.17 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Thực hiện phép tính ${\left(\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}+\sqrt{175}-2\sqrt{2}\right)}^2.$

Lời giải:

${\left(\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}+\sqrt{175}-2\sqrt{2}\right)}^2$

$={\left(\frac{\sqrt{8}-\sqrt{7}}{\left(\sqrt{8}+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{8}-\sqrt{7}\right)}+\sqrt{25.7}-\sqrt{2^2.2}\right)}^2$

$={\left(\frac{\sqrt{8}-\sqrt{7}}{8-7}+\sqrt{5^2.7}-\sqrt{8}\right)}^2$

$={\left(\sqrt{8}-\sqrt{7}+5\sqrt{7}-\sqrt{8}\right)}^2$

$={\left(4\sqrt{7}\right)}^2 = 42 . 7 = 112.$

Bài 3.18 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Thực hiện phép tính $\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{17-12\sqrt{2}}}-\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{17+12\sqrt{2}}}.$

Lời giải:

$\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{17-12\sqrt{2}}}-\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{17+12\sqrt{2}}}$

$=\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{9-\mathrm{2.3.2}\sqrt{2}+8}}-\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{9+\mathrm{2.3.2}\sqrt{2}+8}}$

$=\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{3^2-\mathrm{2.3.2}\sqrt{2}+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}}-\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{3^2+\mathrm{2.3.2}\sqrt{2}+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}}$

$=\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{{\left(3-2\sqrt{2}\right)}^2}}-\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{{\left(3+2\sqrt{2}\right)}^2}}$

$=\sqrt{\frac{1}{3-2\sqrt{2}}}-\sqrt{\frac{1}{3+2\sqrt{2}}}$

$=\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(3+2\sqrt{2}\right)}}-\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(3+2\sqrt{2}\right)}}$

$=\sqrt{\frac{2+2\sqrt{2}.1+1}{3^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}}-\sqrt{\frac{2-2\sqrt{2}.1+1}{3^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}}$

$=\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{2}+1\right)}^2}{9-8}}-\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}{9-8}}$

$=\left(\sqrt{2}+1\right)-\left(\sqrt{2}-1\right)= 2$

Bài 3.19 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên:

$P=\left(\frac{\sqrt{5}+1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}}\right)\left(\sqrt{3}-\frac{4}{\sqrt{3}}+2\right)\sqrt{\mathrm{0,2}}$

Lời giải:

Ta có:

$\frac{\sqrt{5}+1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$

$=\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)\left(1+\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)+\left(\sqrt{5}-1\right)\left(1+\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{\left(1+\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}$

$=\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)\left[\left(1+\sqrt{3}\right)-\sqrt{5}\right]+\left(\sqrt{5}-1\right)\left[\left(1+\sqrt{3}\right)+\sqrt{5}\right]}{\left[\left(1+\sqrt{3}\right)+\sqrt{5}\right]\left[\left(1+\sqrt{3}\right)-\sqrt{5}\right]}$

$=\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left[\left(\sqrt{5}+1\right)+\left(\sqrt{5}-1\right)\right]+\sqrt{5}.\left[-\left(\sqrt{5}+1\right)+\left(\sqrt{5}-1\right)\right]}{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2-5}$

$=\frac{2\sqrt{5}\left(1+\sqrt{3}\right)-2\sqrt{5}}{4+2\sqrt{3}-5}$$=\frac{2\sqrt{5}\left(1+\sqrt{3}-1\right)}{2\sqrt{3}-1}$

$=\frac{2\sqrt{5}.\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}=\frac{2\sqrt{15}}{2\sqrt{3}-1}$

$\sqrt{3}-\frac{4}{\sqrt{3}}+2=\frac{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+4+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{-1+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Do đó $P=\frac{2\sqrt{15}}{2\sqrt{3}-1}.\frac{2\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}.\sqrt{\mathrm{0,2}}=2\sqrt{\mathrm{5.0,2}}=2\sqrt{1}=2$

Vậy P có giá trị là một số nguyên (P = 2).

Bài 3.20 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Trục căn ở mẫu của biểu thức $\frac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$

b) Tính giá trị biểu thức $P=x\left(x^4-6x^2+1\right)$ tại $x=\frac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$

Lời giải:

a) $\frac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$$=\frac{\left(3+\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)}$

$=\frac{6\sqrt{2}+4+3+\sqrt{2}}{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2-1}$$=\frac{7\sqrt{2}+7}{8-1}$

$=\frac{7\left(\sqrt{2}+1\right)}{7}$$=\sqrt{2}+1$

b) Theo câu a, ta có $x=\frac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$

Khi đó ta có $x^2={\left(\sqrt{2}+1\right)}^2=3+2\sqrt{2}$

$P=x\left(x^4-6x^2+1\right)$

$=x\left(x^4-\mathrm{2.3.}{x}^2+9-8\right)$

$=x\left[{\left(x^2-3\right)}^2-8\right]$

$=\left(\sqrt{2}+1\right)\left[{\left(3+2\sqrt{2}-3\right)}^2-8\right]$

$=\left(\sqrt{2}+1\right)\left[{\left(2\sqrt{2}\right)}^2-8\right]=0$

Vậy với $x=\frac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$ thì P = 0.

Lý thuyết Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Ví dụ:

$\sqrt{45}=\sqrt{3^2.5}=3\sqrt{5}$;

$\sqrt{243a}=\sqrt{9^2.3a}=9\sqrt{3a}$.

Ví dụ: $\sqrt{\frac{4}{7}}=\sqrt{\frac{4.7}{7^2}}=\sqrt{{\left(\frac{2}{7}\right)}^2.7}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$.

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Phép đưa thừa số vào trong dấu căn

Ví dụ:

$5\sqrt{2}=\sqrt{5^2.2}=\sqrt{50}$;

Với $a\ge 0$ thì $-2\sqrt{a}=-\sqrt{2^2.a}=-\sqrt{4a}$.

3. Trục căn thức ở mẫu

Cách trục căn thức ở mẫu

Ví dụ:

$\frac{2}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{3{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{5}}{3.5}=\frac{2\sqrt{5}}{15}$;

$\frac{a}{3-2\sqrt{2}}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{\left(3-2\sqrt{2}\right).\left(3+2\sqrt{2}\right)}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{3^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{9-8}=\left(3+2\sqrt{2}\right)a$.

4. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Ví dụ:

$\begin{array}{l}A=2\sqrt{3}-\sqrt{75}+\sqrt{{\left(1-\sqrt{3}\right)}^2}\\ =2\sqrt{3}-\sqrt{{3.5}^2}+\left|1-\sqrt{3}\right|\\ =2\sqrt{3}-5\sqrt{3}+\sqrt{3}-1\\ =-1-2\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{l}B=x\sqrt{x}-\frac{x^2-x}{\sqrt{x}+1}\\ =x\sqrt{x}-\frac{\left(x^2-x\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\\ =x\sqrt{x}-\frac{x\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\\ =x\sqrt{x}-\frac{x\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{x-1}\\ =x\sqrt{x}-x\left(\sqrt{x}-1\right)\\ =x\sqrt{x}-x\sqrt{x}+x\\ =x\end{array}$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 10: Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Bài tập cuối chương 3

Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng