Với giải Hoạt động 1 trang 17 Toán 12 Tập 2 Cánh diều chi tiết trong Bài 3: Tích phân giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 3: Tích phân

Hoạt động 1 trang 17 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số y = f(x) = x². Xét hình phẳng (được tô màu) gồm tất cả các điểm M(x; y) trên mặt phẳng tọa độ sao cho 1 ≤ x ≤ 2 và 0 ≤ y ≤ x² (Hình 4). Hình phẳng đó được gọi là hình thang cong AMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) = x², trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 2.

Chia đoạn [1; 2] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia:

x₀ = 1, $x_1=1+\frac{1}{n},x_2=1+\frac{2}{n},\mathrm{...}$ ,

$x_{n-1}=1+\frac{n-1}{n},x_n=1+\frac{n}{n}=2$ (Hình 5).

a) Tính diện tích T₀ của hình chữ nhật dựng trên đoạn [x₀; x₁] với chiều cao là f(x₀).

Tính diện tích T_1­ của hình chữ nhật dựng trên đoạn [x₁; x₂] với chiều cao là f(x₁).

Tính diện tích T_2­ của hình chữ nhật dựng trên đoạn [x₂; x₃] với chiều cao là f(x₂).

…

Tính diện tích T_{n – 1­} của hình chữ nhật dựng trên đoạn [x_{n – 1}; x_n] với chiều cao là f(x_n–1).

b) Đặt S_n = T₀ + T₁ + T₂ + … + T_{n – 1}. Chứng minh rằng:

S_n = $\frac{1}{n}$ ∙ [f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + … + f(x_{n – 1})].

Tổng S_n gọi là tổng tích phân cấp n của hàm số f(x) = x² trên đoạn [1; 2].

Lời giải:

a) T₀ = f(x₀) ∙ (x₁ – x₀) = f(1) ∙ $\left(1+\frac{1}{n}-1\right)$ = $\frac{f\left(1\right)}{n}$ .

T₁ = f(x₁) ∙ (x₂ – x₁) = f(x₁) ∙ $\left[1+\frac{2}{n}-\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]$ = $\frac{f\left(x_1\right)}{n}$ .

T₂ = f(x₂) ∙ (x₃ – x₂) = f(x₂) ∙ $\left[1+\frac{3}{n}-\left(1+\frac{2}{n}\right)\right]$ = $\frac{f\left(x_2\right)}{n}$ .

…

T_{n – 1} = f(x_{n – 1} ) ∙ (x_n – x_{n – 1}) = f(x_{n – 1}) ∙ $\left[2-\left(1+\frac{n-1}{n}\right)\right]$ = $\frac{f\left(x_{n-1}\right)}{n}$ .

b) T₀ = $\frac{f\left(1\right)}{n}$ = $\frac{f\left(x_0\right)}{n}$ .

Ta có S_n = T₀ + T₁ + T₂ + … + T_{n – 1}