Với giải sách bài tập Toán 12 Bài 3: Tích phân sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 12 Bài 3: Tích phân

Bài 26 trang 19 SBT Toán 12 Tập 2: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x), G(x) là các nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. F(a) – F(b) = G(a) – G(b).

B. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right).$

C. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=f\left(b\right)-f\left(a\right).$

D. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=G\left(b\right)-G\left(a\right).$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Vì F(x), G(x) là các nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b] nên ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)=G\left(b\right)-G\left(a\right).$

Vậy phát biểu C là phát biểu sai. Chọn C.

Bài 27 trang 20 SBT Toán 12 Tập 2: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }dx=b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}.$

B. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }dx=\alpha \left(b^{\alpha -1}-a^{\alpha -1}\right).$

C. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }dx=\frac{b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}}{\alpha +1}$ (α ≠ −1).

D. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }dx=\frac{b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}}{\alpha }$ (α ≠ 0).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Với α ≠ −1, ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }dx={\left.\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\right|}_a^b=\frac{b^{\alpha +1}}{\alpha +1}-\frac{a^{\alpha +1}}{\alpha +1}=\frac{b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}}{\alpha +1}$

Bài 28 trang 20 SBT Toán 12 Tập 2: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin xdx=\sin a-\sin b.$

B. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin xdx=\sin b-\sin a.$

C. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin xdx=\cos a-\cos b.$

D. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin xdx=\cos b-\cos a.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin xdx={\left.-\cos x\right|}_a^b=$$-\cos b-(-\cos a)=\cos a-\cos b.$

Bài 29 trang 20 SBT Toán 12 Tập 2: Phát biểu nào sau đây là đúng?

Biết f(x) = $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ liên tục trên [a; b].

A. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=\cot a-\cot b$

B. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=\cot b-\cot a$

C. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=\tan a-\tan b$

D. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=\tan b-\tan a$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx={\left.-\cot x\right|}_a^b=$$-\cot b-(-\cot a)=\cot a-\cot b$

Bài 30 trang 20 SBT Toán 12 Tập 2: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{x}dx=e^{b+1}-e^{a+1}.$

B. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{x}dx=e^{a+1}-e^{b+1}.$

C. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{x}dx=e^b-e^a.$

D. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{x}dx=e^a-e^b.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{x}dx={\left.e^x\right|}_a^b=e^b-e^a.$

Bài 31 trang 20 SBT Toán 12 Tập 2: Tích phân $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{x}dx$ bằng:

A. lnb – lna.

B. |lnb| − |lna|.

C. ln|b| − ln|a|.

D. ln|a| − ln|b|.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{x}dx$ = ${\left.\ln \left|x\right|\right|}_a^b=\ln \left|b\right|-\ln \left|a\right|.$

Bài 32 trang 20 SBT Toán 12 Tập 2: Tích phân $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{-3}{x^3}dx$ có giá trị bằng:

A. $\frac{9}{8}$

B. $-\frac{45}{64}$

C. $\frac{15}{8}$

D. -$\frac{9}{8}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{-3}{x^3}dx$=$-3\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{-3}dx={\left.\frac{3}{2}{x}^{-2}\right|}_1^2=\frac{3}{2}{.2}^{-2}-\frac{3}{2}\cdot 1^{-2}=-\frac{9}{8}.$

Bài 33 trang 20 SBT Toán 12 Tập 2: Tích phân $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x\sqrt{x}}dx$ có giá trị bằng:

A. 2 − $\sqrt{2}$

B. 2 + $\sqrt{2}$

C. $\frac{-\sqrt{2}+8}{20}$

D. $\frac{-\sqrt{2}-8}{20}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x\sqrt{x}}dx$=$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}dx$=$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{\frac{-3}{2}}dx={\left.\frac{-2}{\sqrt{x}}\right|}_1^2=\frac{-2}{\sqrt{2}}-\left(\frac{-2}{\sqrt{1}}\right)=-\sqrt{2}+2.$

Bài 34 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Nếu $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=4$ thì $\underset{0}{\overset{1}{\int }}2f\left(x\right)dx$ bằng:

A. 16.

B. 4.

C. 2.

D. 8.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D 

Ta có: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}2f\left(x\right)dx$ = $2\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=2.4=8$

Bài 35 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Nếu $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=-2$ và $\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=1$ thì $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng:

A. −3.

B. −1.

C. 1.

D. 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ + $\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ = −2 + 1 = −1.

Vậy $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx = -1$

Bài 36 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Cho $\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=3$ và $\underset{2}{\overset{3}{\int }}g\left(x\right)dx=1$. Khi đó $\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$ bằng:

A. 4.

B. 2.

C. −2.

D. 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$ = $\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ + $\underset{2}{\overset{3}{\int }}g\left(x\right)dx$ = 3 + 1 = 4.

Vậy $\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=4$

Bài 37 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho f(x) là hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn [a; b].

Lời giải:

Ta có: f(x) có đạo hàm là f'(x), f(x) có đạo hàm cấp hai là f''(x), tức là [f'(x)]' = f''(x).

Do đó, f'(x) là một nguyên hàm của f''(x).

Vậy $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)dx={\left.f^{\text{'}}\left(x\right)\right|}_a^b=f^{\text{'}}\left(b\right)-f^{\text{'}}\left(a\right).$

Bài 38 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Nêu một ví dụ chỉ ra rằng $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}dx\ne \frac{{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx}}{{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx}}$ với f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b], g(x) ≠ 0 ∀x ∈ [a; b]

Lời giải:

Lấy f(x) = 1, g(x) = x, a = 1, b = 2. Ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}dx$= $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x}dx={\left.\ln \left|x\right|\right|}_1^2=\ln 2-\ln 1=\ln 2$

$\frac{{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx}}{{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx}}$ = $\frac{{\displaystyle \underset{1}{\overset{2}{\int }}1dx}}{{\displaystyle \underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx}}=\frac{{\left.x\right|}_1^2}{{\left.\frac{x^2}{2}\right|}_1^2}=\frac{2-1}{2-\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}.$

Ta có: ln2 ≠ $\frac{2}{3}$ nên $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x}dx\ne \frac{{\displaystyle \underset{1}{\overset{2}{\int }}1dx}}{{\displaystyle \underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx}}$

Bài 39 trang 21 SBT Toán 12 Tập 2: Cho $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}g\left(x\right)dx=6$, G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên đoạn [−1; 2] và G(−1) = 8. Tính G(2).

Lời giải:

Vì G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên đoạn [−1; 2] nên ta có:

$\underset{-1}{\overset{2}{\int }}g\left(x\right)dx=G\left(2\right)-G(-1)$ , suy ra G(2) – G(−1) = 6 hay G(2) – 8 = 6, suy ra G(2) = 14.

Bài 40 trang 22 SBT Toán 12 Tập 2: Cho $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=5$ và $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx=-4$. Tính:

a) $\underset{1}{\overset{-2}{\int }}f\left(x\right)dx$;

b) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}-4f\left(x\right)dx$;

c) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\frac{-2g\left(x\right)}{3}dx$;

d) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$;

e) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx$

g) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left[3f\left(x\right)-5g\left(x\right)\right]dx$

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{1}{\overset{-2}{\int }}f\left(x\right)dx$ = $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=-5$

Vậy $\underset{1}{\overset{-2}{\int }}f\left(x\right)dx = -5$

b) Ta có: $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}-4f\left(x\right)dx = -4\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx = -4.5 = -20$

Vậy $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}-4f\left(x\right)dx = -20$

c) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\frac{-2g\left(x\right)}{3}dx$ = $\frac{-2}{3}\underset{-2}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx$ = $\frac{-2}{3}.(-4)=\frac{8}{3}.$

Vậy $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\frac{-2g\left(x\right)}{3}dx =\frac{8}{3}$

 d) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$ = $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{-2}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx$ = 5 + (−4) = 1

Vậy $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx = 1$

e) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx$ = $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{-2}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx$ = 5 – (−4) = 9

Vậy $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx = 9$

g) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left[3f\left(x\right)-5g\left(x\right)\right]dx$ = $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}3f\left(x\right)dx-\underset{-2}{\overset{1}{\int }}5g\left(x\right)dx$

$3\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-5\underset{-2}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx$ = 3.5 – 5. (−4) = 35

Vậy $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left[3f\left(x\right)-5g\left(x\right)\right]dx = 35$

Bài 41 trang 22 SBT Toán 12 Tập 2: Cho $\underset{-1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=2$, $\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=-5$. Tính tích phân $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

Lời giải:

Ta có: $\underset{-1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ hay 2 = $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ + (−5).

Suy ra $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ = 2 + 5 = 7.

Vậy $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx = 7$

Bài 42 trang 22 SBT Toán 12 Tập 2: Một ô tô đang chạy với vận tốc 18 m/s thì người lái ô tô đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −6t + 18 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được quãng đường bao nhiêu mét?

Lời giải:

Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0, tức là −6t + 18 = 0 hay t = 3 (s).

Quãng đường mà ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là:

$\underset{0}{\overset{3}{\int }}(-6t+18)dt={\left.(-3t^2+18t)\right|}_0^3$ = 27 (m).

Bài 43 trang 22 SBT Toán 12 Tập 2: Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở Hình 3.

a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 5 giây đầu tiên.

b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được từ thời điểm 1 giây đến 5 giây.

Lời giải:

Đồ thị hàm số biểu diễn vận tốc theo thời gian là đường thẳng qua gốc tọa độ, nên ta có: v(t) = at (a ∈ ℝ).

Khi t = 5 thì v = 10 nên ta có: 10 = 5a hay a = 2.

Vậy v(t) = 2t.

a) Quãng đường mà vật di chuyển được trong 5 giây đầu tiên là:

 $\underset{0}{\overset{5}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{5}{\int }}2tdt={\left.t^2\right|}_0^5$ = 25 (m).

b) Quãng đường mà vật di chuyển được từ thời điểm 1 giây đến 5 giây là:

$\underset{1}{\overset{5}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{1}{\overset{5}{\int }}2tdt={\left.t^2\right|}_1^5$ = 24 (m).

Bài 44 trang SBT Toán 12 Tập 2: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình 4, có vận tốc tức thời cho bởi v(t) = 2cost, trong đó t tính bằng giây và v(t) tính bằng cm/s. Tại thời điểm t = 0, con lắc đó ở vị trí cân bằng.

Tính quãng đường mà con lắc lò xo di chuyển được sau 1 giây kể từ vị trí cân bằng theo đơn vị centimét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải:

Quãng đường mà con lắc lò xo di chuyển được sau 1 giây kể từ vị trí cân bằng là:

$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}2\cos tdt={\left.2\sin t\right|}_0^1=2\sin 1\approx \mathrm{1,68}$ (cm).

Lý thuyết Tích phân

1. Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Chú ý:

+ Kí hiệu ${\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$  và đọc là F(x) thế cận từ a đến b.

Vậy $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx={\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ .

Gọi:$\underset{a}{\overset{b}{\int }}$ là dấu tích phân; a là cận dưới, b là cận trên; f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

+ Ta quy ước: $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=0;\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx$ .

+ Tích phân của hàm số f từ a đến b chỉ phụ thuộc vào các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t, nghĩa là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt$ .

Ví dụ 1. Tính:

a) $\underset{2}{\overset{3}{\int }}2xdx$ ;

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{e}^{x}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\underset{2}{\overset{3}{\int }}2xdx$$={\left.x^2\right|}_2^3$  = 3² – 2² = 5. 

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{e}^{x}dx$$={\left.e^x\right|}_1^2$  = e² – e¹ = e² – e.

2. Tính chất của tích phân

● Tính chất 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

 $\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ (k là hằng số).

Ví dụ 2. Cho $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=-3$ . Tính $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}5f\left(x\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}5f\left(x\right)dx=5\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=5\cdot \left(-3\right)=-15$ .

● Tính chất 2: Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$;

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$.

Ví dụ 3. Tính $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x-1\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x-1\right)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{2}dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}xdx-\underset{0}{\overset{2}{\int }}1dx$$={\left.\frac{x^3}{3}\right|}_0^2+{\left.\frac{x^2}{2}\right|}_0^2-{\left.x\right|}_0^2$

                                    $=\left(\frac{8}{3}-0\right)+\left(\frac{4}{2}-0\right)-\left(2-0\right)=\frac{8}{3}$ .

● Tính chất 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử c là số thực tùy ý thuộc đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Ví dụ 4. Tính $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x-1\right|dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x-1\right|dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x-1\right|dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x-1\right|dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x-1\right)dx$

 $={\left.\left(x-\frac{x^2}{2}\right)\right|}_0^1+{\left.\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\right|}_1^2$$=\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)-0\right]+\left[\left(\frac{4}{2}-2\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)\right]$= 1.

3. Tích phân của một số hàm số sơ cấp

3.1. Tích phân của hàm số lũy thừa

Với α ≠ – 1, ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }dx={\left.\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\right|}_a^b=\frac{b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}}{\alpha +1}$ .

Ví dụ 5. Tính:

a) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}4x^{3}dx$ ;

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{\sqrt{3}}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}4x^{3}dx$$={\left.x^4\right|}_{-1}^1$ = 1⁴ – (– 1)⁴ = 0.

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{\sqrt{3}}dx$$={\left.\frac{x^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}\right|}_1^2=\frac{2^{\sqrt{3}+1}-1^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}=\frac{2^{\sqrt{3}+1}-1}{\sqrt{3}+1}$.

3.2. Tích phân của hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$

Với hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{x}dx={\left.\ln \left|x\right|\right|}_a^b=\ln \left|b\right|-\ln \left|a\right|$.

Ví dụ 6. Tính $\underset{2}{\overset{e}{\int }}\frac{6}{5x}dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $=\frac{6}{5}{\left.\ln \left|x\right|\right|}_2^e=\frac{6}{5}\left(\ln \left|e\right|-\ln \left|2\right|\right)=\frac{6}{5}\left(1-\ln 2\right)$ .

3.3. Tích phân của hàm số lượng giác

● $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin xdx={\left.-\cos x\right|}_a^b=-\cos b-\left(-\cos a\right)=\cos a-\cos b$ .

● $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\cos xdx={\left.\sin x\right|}_a^b=\sin b-\sin a$ .

● Với hàm số f(x) = $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$  liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx={\left.-\cot x\right|}_a^b=-\cot b-\left(-\cot a\right)=\cot a-\cot b$.

● Với hàm số f(x) = $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$  liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx={\left.\tan x\right|}_a^b=\tan b-\tan a$.

Ví dụ 7. Tính:

a) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\cos x-\sin x\right)dx$ ;

b) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\frac{4}{{\sin }^{2}x}-\frac{5}{{\cos }^{2}x}\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

3.4. Tích phân của hàm số mũ

Với a > 0, a ≠ 1, ta có: $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{a}^{x}dx={\left.\frac{a^x}{\ln a}\right|}_{\alpha }^{\beta }=\frac{a^{\beta }-a^{\alpha }}{\ln a}$ .

Chú ý: Áp dụng công thức trên, ta có: $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{e}^{x}dx={\left.e^x\right|}_{\alpha }^{\beta }=e^{\beta }-e^{\alpha }$ .

Ví dụ 8. Tính:

a) $\underset{2}{\overset{4}{\int }}{5}^{x}dx$ ;

b) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(2\cdot 3^x+e^x\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác: