Với giải Bài 9 trang 27 Toán 12 Tập 2 Cánh diều chi tiết trong Bài 3: Tích phân giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 3: Tích phân

Bài 9 trang 27 Toán 12 Tập 2: Ở nhiệt độ 37 °C, một phản ứng hoá học từ chất đầu A, chuyển hoá thành chất sản phẩm B theo phương trình: A → B. Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol L­^{– 1}) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với x ≥ 0, thoả mãn hệ thức y'(x) = – 7 ∙ 10^{– 4}y(x) với x ≥ 0. Biết rằng tại x = 0, nồng độ ban đầu của chất A là 0,05 mol L^{– 1}.

a) Xét hàm số f(x) = ln y(x) với x ≥ 0. Hãy tính f'(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x).

b) Giả sử ta tính nồng độ trung bình chất A (đơn vị mol L^{– 1}) từ thời điểm a (giây) đến thời điểm b (giây) với 0 < a < b theo công thức $\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}y\left(x\right)dx$. Xác định nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây.

Lời giải:

a) Ta có f(x) = ln y(x). Lấy đạo hàm hai vế ta được: f'(x) = $\frac{y^{\text{'}}\left(x\right)}{y\left(x\right)}$.

Mà y'(x) = – 7 ∙ 10^{– 4}y(x), suy ra = – 7 ∙ 10^{– 4}.

Do đó, f'(x) = – 7 ∙ 10^{– 4}.

Hàm số f(x) là một nguyên hàm của hàm số f'(x).

Ta có $\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=\int \left(-7\cdot {10}^{-4}\right)dx=-7\cdot {10}^{-4}x+C$ .

Suy ra f(x) = – 7 ∙ 10^{– 4}x + C.

Mà f(x) = ln y(x) nên ln y(x) = – 7 ∙ 10^{– 4}x + C. Suy ra y(x) = $e^{-7\cdot {10}^{-4}x+C}$ .

Vì tại x = 0, nồng độ ban đầu của chất A là 0,05 mol L^{– 1}, tức là y(0) = 0,05 nên

e^C = 0,05 ⇔ C = ln0,05.

Vậy f(x) = – 7 ∙ 10^{– 4}x + ln0,05.

b) Từ câu a, ta có y(x) = $e^{-7\cdot {10}^{-4}x+\ln 0,05}$ .

Khi đó nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây là:

$\frac{1}{30-15}\underset{15}{\overset{30}{\int }}y\left(x\right)dx$$=\frac{1}{15}\underset{15}{\overset{30}{\int }}{e}^{-7\cdot {10}^{-4}x+\ln 0,05}dx=\frac{e^{\ln 0,05}}{15}\underset{15}{\overset{30}{\int }}{\left(e^{-7\cdot {10}^{-4}}\right)}^{x}dx$

$=\frac{1}{300}\cdot {\left.\frac{{\left(e^{-7\cdot {10}^{-4}}\right)}^x}{\ln e^{-7\cdot {10}^{-4}}}\right|}_{15}^{30}=\frac{-100}{21}\left(e^{-7\cdot {10}^{-4}\cdot 30}-e^{-7\cdot {10}^{-4}\cdot 15}\right)\approx 0,049$(mol L^{– 1}).