Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Bài 1: Tỉ số lượng giác của góc nhọn sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

A. Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Tip học thuộc nhanh:

Ví dụ:

Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác, ta có:

$\sin \alpha =\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}$, $\cos \alpha =\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$, $\tan \alpha =\frac{AC}{AB}=\frac{4}{3}$, $\cot \alpha =\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Nhận xét: Hai góc nhọn có tổng bằng ${90}^0$ được gọi là hai góc phụ nhau.

Định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Cho $\alpha$ và $\beta$ là hai góc phụ nhau, ta có:

$\sin \alpha =\cos \beta$, $\cos \alpha =\sin \beta$, $\tan \alpha =\cot \beta$, $\cot \alpha =\tan \beta$.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}\sin {60}^0=\cos \left({90}^0-{60}^0\right)=\cos {30}^0;\\ \cos {52}^0{30}^{\prime }=\sin \left({90}^0-{52}^0{30}^{\prime }\right)=\sin {37}^0{30}^{\prime };\\ \tan {80}^0=\cot \left({90}^0-{80}^0\right)=\cot {10}^0;\\ \cot {82}^0=\tan \left({90}^0-{82}^0\right)=\tan 8^0.\end{array}$

Bảng giá trị lượng giác của các góc ${30}^0,{45}^0,{60}^0$

Quy ước:

$\begin{array}{l}{\sin }^2\alpha ={\left(\sin \alpha \right)}^2;\\ {\cos }^2\alpha ={\left(\cos \alpha \right)}^2;\\ {\tan }^2\alpha ={\left(\tan \alpha \right)}^2;\\ {\cot }^2\alpha ={\left(\cot \alpha \right)}^2.\end{array}$

3. Sử dụng máy tính cầm tay tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Người ta thường dùng các đơn vị số đo góc là độ (kí hiệu: ${}^0$), phút (kí hiệu: ${}^{\prime }$), giây (kí hiệu: ${}^{″}$).

Ta có thể sử dụng nhiều loại máy tính cầm tay để tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn và tính số đo của góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác của nó.

Lưu ý: ta cần đổi đơn vị đo về độ.

Tính các tỉ số lượng giác của các góc nhọn

Để tính tỉ số lượng giác của một góc $\alpha$, ta dùng các nút:

Để tính $\cot \alpha$, ta tính $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }$ hoặc $\tan \left({90}^0-\alpha \right)$.

Bảng tóm tắt cách tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Ví dụ:

Xác định số đo của góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác của góc đó

Bảng tóm tắt cách tính số đo của một góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác

Để tìm $\alpha$ khi biết $\cot \alpha$, ta tính $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }$ và dùng $\tan \alpha$ để tính $\alpha$.

Ví dụ:

Một số công thức mở rộng:

+) ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

+) $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

+) $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$

+) $\tan \alpha .\cot \alpha =1$

+) $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }={\tan }^2\alpha +1$

+) $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }={\cot }^2\alpha +1$

Sơ đồ tư duy Tỉ số lượng giác của góc nhọn

B. Bài tập Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3; AC = 4. Tính cotC.

A. $\frac{3}{4}$;

B. $\frac{3}{5}$;

C. $\frac{4}{3}$;

D. $\frac{4}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tam giác ABC vuông tại A, có: $\cot C=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{3}$.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 2. Cho α và β là hai góc nhọn bất kì thỏa mãn α + β = 90°. Khẳng định đúng là

A. tanα = sinβ;

B. tanα = cotβ;

C. tanα = cosα;

D. tanα = tanβ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có α và β là hai góc nhọn bất kì thỏa mãn α + β = 90°.

Suy ra α và β là hai góc phụ nhau và β = 90° – α.

Áp dụng định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta được:

tanα = cot(90° – α) = cotβ.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 3. Khi sử dụng máy tính cầm tay để tính (gần đúng) tỉ số lượng giác cos15°25’, ta nhập vào máy tính cầm tay như thế nào? (Giả sử máy tính cầm tay ở chế độ “độ”).

A. $\boxed{\cos }\boxed{1}\boxed{5}\boxed{°’”}\boxed{2}\boxed{5}\boxed{°’”}\boxed{=};$

B. $\boxed{SHIFT}\boxed{\cos }\boxed{1}\boxed{5}\boxed{°’”}\boxed{2}\boxed{5}\boxed{°’”}\boxed{=};$

C. $\boxed{\cos }\boxed{1}\boxed{5}\boxed{°’”}\boxed{0}\boxed{°’”}\boxed{2}\boxed{5}\boxed{°’”}\boxed{=};$

D. $\boxed{SHIFT}\boxed{\cos }\boxed{1}\boxed{5}\boxed{°’”}\boxed{0}\boxed{°’”}\boxed{2}\boxed{5}\boxed{°’”}\boxed{=}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta thực hiện như sau:

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sau mà không sử dụng máy tính bỏ túi:

a) M = sin15° + sin20° – cos70° – cos75°.

b) $N=\frac{\tan 74°\cdot \tan 59°}{\cot 16°\cdot \cot 31°}$.

c) P = 3cos50° – 3sin40° + 2cot45°.

d) $Q=\frac{4{\cos }^{2}60°}{\sin 30°}-\tan 30°$.

Hướng dẫn giải

a) M = sin15° + sin20° – cos70° – cos75°

= cos(90° – 15°) + cos(90° – 20°) – cos70° – cos75°

= cos75° + cos70° – cos70° – cos75°

= (cos75° – cos75°) + (cos70° – cos70°)

= 0.

b) $N=\frac{\tan 74°\cdot \tan 59°}{\cot 16°\cdot \cot 31°}$

$=\frac{\tan 74°\cdot \tan 59°}{\tan \left(90°-16°\right)\cdot \tan \left(90°-31°\right)}$

$=\frac{\tan 74°.\tan 59°}{\tan 74°.\tan 59°}$

= 1.

c) P = 3cos50° – 3sin40° + 2cot45°

= 3cos50° – 3cos(90° – 40°) + 2cot45°

= 3cos50° – 3cos50° + 2cot45°

= 2cot45°

= 2.1 = 2.

d)$Q=\frac{4{\cos }^{2}60°}{\sin 30°}-\tan 30°$

$=\frac{4{\cos }^{2}60°}{\cos \left(90°-30°\right)}-\tan 30°$

$=\frac{4{\cos }^{2}60°}{\cos 60°}-\tan 30°$

= 4cos60° – tan30°

$=4\cdot \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{6-\sqrt{3}}{3}.$

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH chia cạnh BC thành hai đoạn thẳng CH = 4 cm, BH = 9 cm. Kẻ HM ⊥ AB tại M, HN ⊥ AC tại N. Tính độ dài đoạn thẳng AH và số đo góc B, góc C của tam giác ABC (làm tròn kết quả đến phút).

Hướng dẫn giải

Xét ∆ACH và ∆BAH, có:

$\widehat{AHC}=\widehat{BHA}=90°$

$\widehat{CAH}=\widehat{HBA}$ (cùng phụ với $\widehat{ACB}).$

Do đó ∆ACH ᔕ∆BAH (g.g).

Suy ra $\frac{CH}{AH}=\frac{AH}{BH}$.

Do đó AH² = CH.BH = 4.9 = 36.

Vì vậy AH = 6 (cm).

Tam giác AHB vuông tại H nên $\tan \widehat{ABH}=\frac{AH}{BH}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.

Suy ra $\widehat{ABH}\approx 33°{41}^{\text{'}}$.

Tam giác ACH vuông tại H nên $\tan \widehat{ACH}=\frac{AH}{CH}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.

Suy ra $\widehat{ACH}\approx 56°{19}^{\text{'}}$.

Vậy AH = 6 cm; $\widehat{ABH}\approx 33°{41}^{\text{'}}$ và $\widehat{ACH}\approx 56°{19}^{\text{'}}$.

Bài 6. Một khúc sông rộng khoảng 250 m. Một con đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320 m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc α bằng bao nhiêu(làm tròn đến phút)?

Hướng dẫn giải

Đặt các điểm A, B, C như hình vẽ.

Tam giác ABC vuông tại A nên $\cos \alpha =\frac{AC}{BC}=\frac{250}{320}=\frac{25}{32}$.

Suy ra α ≈ 38°37’.

Vậy dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc α khoảng 38°37’.

Xem thêm các bài tóm tắt Lý thuyết Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số

Lý thuyết Bài 1: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lý thuyết Bài 2: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Lý thuyết Bài 3: Ứng dụng của tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lý thuyết Bài 1: Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Lý thuyết Bài 2: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn