Với giải Luyện tập - vận dụng 3 trang 27 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều chi tiết trong Bài 1: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính

Luyện tập - vận dụng 3 trang 27 Chuyên đề Toán 12: Một kho hàng có hai loại hàng hoá A và B. Người ta dùng hai loại xe tải để chở hàng từ kho đó. Mỗi chiếc xe tải loại thứ nhất chi phí hết 6 triệu đồng chở được 4 tấn hàng hoá A và 3 tấn hàng hoá B. Mỗi chiếc xe tải loại thứ hai chi phí hết 4 triệu đồng chở được 3 tấn hàng hoá A và 2 tấn hàng hoá B. Người ta cần chuyển đi từ kho đó ít nhất 21 tấn hàng hoá A và 15 tấn hàng hoá B. Hỏi phải dùng bao nhiêu xe tải mỗi loại để chi phí vận chuyển là ít nhất?

Lời giải:

Gọi x là số xe tải loại thứ nhất và y là số xe tải loại thứ hai cần dùng (x ∈ ℕ, y ∈ ℕ).

Chi phí vận chuyển là: T = 6x + 4y (triệu đồng).

Số tấn hàng hóa A chở được là: 4x + 3y (tấn).

Số tấn hàng hóa B chở được là: 3x + 2y (tấn).

Theo giả thiết, x và y cần thỏa mãn các điều kiện:

x ∈ ℕ, y ∈ ℕ;

4x + 3y ≥ 21;

3x + 2y ≥ 15.

Vì lượng nguyên liệu sử dụng không vượt quá lượng dự trữ nên ta có thể viết dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (x, y là các số thực):

Bài toán đưa về: Tìm x và y là nghiệm của hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 4x+3y\ge 21\\ 3x+2y\ge 15\end{array}\right.\left(I\right)$ sao cho T = 6x + 4y có giá trị nhỏ nhất và x ∈ ℕ, y ∈ ℕ.

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).

Miền nghiệm S của hệ bất phương trình (I) là hình phẳng giới hạn bởi tia Ay, các cạnh AB và BC, tia Cx kể cả biên với A(0; 7,5), B(3; 3), C(5,25; 0) (hình vẽ).

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức T(x; y) = 6x + 4y tại các đỉnh của miền nghiệm (S):

T(0; 7,5) = 30; T(3; 3) = 30; T(0; 5,25) = 21.

Bước 3. Ta thừa nhận biểu thức T = 6x + 4y có giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của miền nghiệm (S). So sánh ba giá trị thu được của T ở Bước 2, kết hợp với điều kiện x và y là các số tự nhiên, ta được giá trị nhỏ nhất cần tìm là T(3; 3) = 30.

Vậy phải dùng 3 xe tải mỗi loại để chi phí vận chuyển là ít nhất.