Với giải Bài 4 trang 28 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều chi tiết trong Bài 1: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài 4 trang 28 Chuyên đề Toán 12: Một cơ sở sản xuất đồ gỗ dự định sản xuất ba loại sản phẩm là bàn, ghế và tủ. Định mức sử dụng lao động, chi phí sản xuất và giá bán mỗi sản phẩm mỗi loại ước tính trong Bảng 4:

Biết rằng cơ sở sản xuất đó sử dụng không quá 500 ngày công, số tiền dành cho chi phí sản xuất là không quá 40 triệu đồng và số ghế gấp sáu lần số bàn. Tìm số sản phẩm mỗi loại cần phải sản xuất sao cho tổng doanh thu đạt được cao nhất.

Lời giải:

Đổi 40 triệu đồng = 40 000 nghìn đồng.

Gọi x là số chiếc bàn và y là số chiếc tủ cần sản xuất (x ∈ ℕ, y ∈ ℕ).

Số ghế cần sản xuất là: 6x (chiếc).

Tổng doanh thu đạt được là: T = 260.x + 120.6x + 600.y = 980x + 600y (nghìn đồng).

Công lao động để sản xuất các loại sản phẩm trên là:

2x + 1.6x + 3y ≤ 500 hay 8x + 3y ≤ 500.

Chi phí sản xuất các loại sản phẩm trên là:

100x + 40.6x + 250y ≤ 40 000 hay 34x + 25y ≤ 4 000.

Vì vậy, yêu cầu của cơ sở sản xuất có thể viết ở dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (x, y là các số thực): $\left\{\begin{array}{l}8x+3y\le 500\\ 34x+25y\le 4000\\ x\ge 0\\ y\ge 0.\end{array}\right.\left(I^{\text{'}}\right)$

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 980x + 600y khi (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình (I’).

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I’).

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh O(0; 0), A(0; 160), $B\left(\frac{250}{49};\frac{7500}{49}\right),$ C(62,5; 0) (hình vẽ).

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức T(x; y) = 980x + 600y tại các đỉnh của tứ giác này:

T(0; 0) = 0; T(0; 160) = 96 000; $T\left(\frac{250}{49};\frac{7500}{49}\right)=\frac{4745000}{49};$ T(62,5; 0) = 61 250.

Bước 3. Ta đã biết biểu thức T = 980x + 600y đạt giá trị lớn nhất tại cặp số thực (x; y) là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác OABC. So sánh bốn giá trị thu được của T ở Bước 2, kết hợp điều kiện x và y là các số tự nhiên, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là T(0; 160) = 96 000.

Vậy chỉ cần sản xuất 160 chiếc tủ để tổng doanh thu đạt được cao nhất.