Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác chi tiết sách Toán 7 Tập 2 Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 7. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

Giải Toán 7 trang 72 Tập 2

1. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác

Câu hỏi trang 72 Toán lớp 7: Mỗi tam giác có mấy đường trung tuyến?

Phương pháp giải:

Đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với trung điểm cạnh đối diện được gọi là một đường trung tuyến của tam giác.

Lời giải:

Tương ứng với mỗi đỉnh của tam giác có 1 đường trung tuyến nên mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.

HĐ 1 trang 72 Toán lớp 7: Hãy lấy một mảnh giấy hình tam giác, gấp giấy đánh dấu trung điểm của các cạnh. Sau đó, gấp giấy để được các nếp gấp đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện ( tức là các đường trung tuyến của tam giác). Mở tờ giấy ra, quan sát và cho biết ba nếp gấp ( ba đường trung tuyến) có cùng đi qua một điểm không?

Phương pháp giải:

Gấp theo hướng dẫn

Lời giải:

Ba nếp gấp đi qua cùng một điểm.

Giải Toán 7 trang 73 Tập 2

HĐ 2 trang 73 Toán lớp 7: Trên mảnh giấy kẻ ô vuông, mỗi chiều 10 ô, hãy đếm dòng, đánh dấu các đỉnh A,B,C rồi vẽ tam giác ABC. (H.9.29)

Vẽ hai đường trung tuyến BN, CP, chúng cát nhau tại G, tia AG cắt cạnh BC tại M.

• AM có phải là đường trung tuyến của tam giác ABC không?
• Hãy xác định các tỉ số ${\displaystyle \frac{GA}{MA}};{\displaystyle \frac{GB}{NB}};{\displaystyle \frac{GC}{PC}}$

Phương pháp giải:

• Kiểm tra M có là trung điểm của BC không?
• Đếm các độ dài và tính tỉ số.

Lời giải:

• Ta có: MB = MC và M nằm giữa B và C nên M là trung điểm của BC.

Do đó, AM có là đường trung tuyến của tam giác ABC

• Ta có:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{GA}{MA}}={\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}};\\ {\displaystyle \frac{GB}{NB}}={\displaystyle \frac{2}{3}};\\ {\displaystyle \frac{GC}{PC}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$

Luyện tập 1 trang 73 Toán lớp 7: Trong tam giác ABC ở ví dụ 1, cho trung tuyến BN và GN = 1 cm. Tính GB và NB.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí về sự đồng quy của ba đường trung tuyến của tam giác.

Lời giải:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ${\displaystyle \frac{GB}{NB}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\iff GB={\displaystyle \frac{2}{3}}NB$

Ta có: GN = NB – GB = $NB-{\displaystyle \frac{2}{3}}NB={\displaystyle \frac{1}{3}}NB$

Mà GN = 1 cm nên 1 = ${\displaystyle \frac{1}{3}}.NB\Rightarrow NB=3$( cm)

$GB={\displaystyle \frac{2}{3}}NB={\displaystyle \frac{2}{3}}.3=2$ ( cm)

Vậy GB = 2 cm, NB = 3 cm.

Giải Toán 7 trang 74 Tập 2

Tranh luận trang 74 Toán lớp 7:

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí về sự đồng quy của ba đường trung tuyến của tam giác.

Lời giải:

Cách 1: Tìm giao điểm của 2 đường trung tuyến.

Cách 2: Vẽ 1 đường trung tuyến. Lấy điểm G cách đỉnh một khoảng bằng ${\displaystyle \frac{2}{3}}$độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó. Ta được G là trọng tâm tam giác.

Vận dụng 1 trang 74 Toán lớp 7: Trong tình huống mở đầu, người ta chứng minh được G chính là trọng tâm của tam giác ABC. Em hãy cắt một mảnh bìa hình tam giác. Xác định trọng tâm của tam giác và đặt mảnh bìa đó lên một giá nhọn tại trọng tâm vừa xác định. Quan sát xem mảnh bìa có thăng bằng không?

2. Sự đồng quy của ba đường phân giác trong một tam giác

Câu hỏi trang 74 Toán lớp 7: Mỗi tam giác có mấy đường phân giác?

Phương pháp giải:

Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D thì AD là đường phân giác của tam giác ABC.

Lời giải:

Từ mỗi đỉnh của tam giác, ta kẻ được 1 đường phân giác của tam giác nên mỗi tam giác có 3 đường phân giác.

HĐ 3 trang 74 Toán lớp 7: Cắt một tam giác bằng giấy. Hãy gấp tam giác vừa cắt để được ba đường phân giác của nó. Mở tờ giấy ra, hãy quan sát và cho biết ba nếp gấp đó có cùng đi qua một điểm không (H.9.33)

Phương pháp giải:

Gấp theo hướng dẫn

Lời giải:

Ba nếp gấp đi qua cùng một điểm.

Giải Toán 7 trang 75 Tập 2

Luyện tập 2 trang 75 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC có hai đường phân giác AM, BN cắt nhau tại điểm I. Hỏi CI có là đường phân giác của góc C không?

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí về sự đồng quy của ba đường phân giác của tam giác.

Lời giải:

Xét tam giác ABC có 2 đường phân giác của tam giác cắt nhau điểm I nên đường phân giác còn lại của tam giác cũng đi qua điểm I ( tính chất đồng quy của 3 đường phân giác)

Vậy CI có là đường phân giác của góc C.

Vận dụng 2 trang 75 Toán lớp 7: Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều 3 cạnh của tam giác là trọng tâm của tam giác đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trong tam giác cân.

Lời giải:

Vì $\mathrm{\Delta }ABC$ đều nên AB = AC = BC (tính chất tam giác đều)

Vì I là điểm cách đều 3 cạnh của tam giác nên là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABC

Áp dụng ví dụ 2, ta được, AI là đường trung tuyến của $\mathrm{\Delta }ABC$

Tương tự, ta cũng được BI, CI là đường trung tuyến của $\mathrm{\Delta }ABC$

Vậy I là giao điểm của ba đường đường trung tuyến của $\mathrm{\Delta }ABC$ nên I là trọng tâm của $\mathrm{\Delta }ABC$.

Chú ý:

Với tam giác đều, giao điểm của 3 đường trung tuyến cũng là giao điểm của 3 đường phân giác.

Giải Toán 7 trang 76 Tập 2

Bài tập

Bài 9.20 trang 76 Toán lớp 7: Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến BN, CP và trọng tâm G. Hãy tìm số thích hợp vào chỗ chấm hỏi để được các đẳng thức

BG = ? BN, CG = ? CP;

BG = ? GN, CG = ? GP.

Lời giải:

Vì G là trọng tâm của $\mathrm{\Delta }ABC$ nên $BG={\displaystyle \frac{2}{3}}BN,CG={\displaystyle \frac{2}{3}}CP$

Ta có: GN = BN – BG = BN - ${\displaystyle \frac{2}{3}}$BN = ${\displaystyle \frac{1}{3}}$BN; GP = CP – CG = CP - ${\displaystyle \frac{2}{3}}$CP = ${\displaystyle \frac{1}{3}}$CP

Do đó, BN = 3. GN ; CP = 3. GP

Như vậy, $BG={\displaystyle \frac{2}{3}}BN={\displaystyle \frac{2}{3}}.3.GN=2GN;CG={\displaystyle \frac{2}{3}}CP={\displaystyle \frac{2}{3}}.3.GP=2GP$

Vậy $BG={\displaystyle \frac{2}{3}}BN,CG={\displaystyle \frac{2}{3}}CP$;

BG = 2GN; CG = 2GP.

Bài 9.21 trang 76 Toán lớp 7: Chứng minh rằng:

a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Lời giải:

Gọi BM, CN là 2 đường trung tuyến của $\mathrm{\Delta }ABC$

$\Rightarrow$MA = MC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC; NA = NB = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB

Vì $\mathrm{\Delta }ABC$ cân tại A nên AB = AC ( tính chất)

Do đó, AM = MC = NA = NB

Xét $\mathrm{\Delta }$ANC và $\mathrm{\Delta }$AMB, ta có:

AN = AM

$\hat{A}$ chung

AC = AB

$\Rightarrow$$\mathrm{\Delta }$ANC = $\mathrm{\Delta }$AMB (c.g.c)

$\Rightarrow$ NC = MB ( 2 cạnh tương ứng)

Vậy 2 đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên của tam giác cân là hai đoạn thẳng bằng nhau.

Vì $∆ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau ở $G$

$\Rightarrow$ $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

$\Rightarrow GB={\displaystyle \frac{2}{3}}BM$; $GC={\displaystyle \frac{2}{3}}CN$ ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác)

Mà $BM=CN$ (giả thiết) nên $GB=GC.$

Tam giác $GBC$ có $GB=GC$ nên $∆GBC$ cân tại $G$.

$\Rightarrow$ $\widehat{GCB}=\widehat{GBC}$ (Tính chất tam giác cân).

Xét $∆BCN$ và $∆CBM$ có: 

+) $BC$ là cạnh chung

+) $CN=BM$ (giả thiết)

+) $\widehat{GCB}=\widehat{GBC}$ (chứng minh trên)

Suy ra $∆BCN=∆CBM$ (c.g.c)

 $\Rightarrow$ $\widehat{NBC}=\widehat{MCB}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow ∆ABC$ cân tại $A$ (tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân)

Bài 9.22 trang 76 Toán lớp 7: Cho góc xOy khác góc bẹt. Dùng compa dựng đường tròn tâm O cắt Ox tại A và cắt Oy tại B. Sau đó dựng hai đường tròn tâm A, tâm B có bán kính bằng nhau sao cho chúng cắt nhau tại M nằm nên trong góc xOy. Chứng minh rằng tia OM là tia phân giác của góc xOy.