Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác chi tiết sách Toán 7 Tập 2 Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 7. Mời các bạn đón xem:
Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác
1. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác
Câu hỏi trang 72 Toán lớp 7: Mỗi tam giác có mấy đường trung tuyến?
Phương pháp giải:
Đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với trung điểm cạnh đối diện được gọi là một đường trung tuyến của tam giác.
Lời giải:
Tương ứng với mỗi đỉnh của tam giác có 1 đường trung tuyến nên mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.
Phương pháp giải:
Gấp theo hướng dẫn
Lời giải:
Ba nếp gấp đi qua cùng một điểm.
Vẽ hai đường trung tuyến BN, CP, chúng cát nhau tại G, tia AG cắt cạnh BC tại M.
Phương pháp giải:
Lời giải:
Do đó, AM có là đường trung tuyến của tam giác ABC
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí về sự đồng quy của ba đường trung tuyến của tam giác.
Lời giải:
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên
Ta có: GN = NB – GB =
Mà GN = 1 cm nên 1 = ( cm)
( cm)
Vậy GB = 2 cm, NB = 3 cm.
Tranh luận trang 74 Toán lớp 7:
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí về sự đồng quy của ba đường trung tuyến của tam giác.
Lời giải:
Cách 1: Tìm giao điểm của 2 đường trung tuyến.
Cách 2: Vẽ 1 đường trung tuyến. Lấy điểm G cách đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó. Ta được G là trọng tâm tam giác.
Phương pháp giải:
Bước 1: Cắt mảnh bìa hình tam giác.
Bước 2: Kẻ 2 đường trung tuyến của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại G.
Bước 3: Đặt mảnh bìa đó lên một giá nhọn tại trọng tâm G.
Lời giải:
Cắt mảnh bìa hình tam giác. Kẻ 2 đường trung tuyến của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại G.
Đặt mảnh bìa đó lên một giá nhọn tại trọng tâm G thì thấy mảnh bìa thăng bằng.
2. Sự đồng quy của ba đường phân giác trong một tam giác
Câu hỏi trang 74 Toán lớp 7: Mỗi tam giác có mấy đường phân giác?
Phương pháp giải:
Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D thì AD là đường phân giác của tam giác ABC.
Lời giải:
Từ mỗi đỉnh của tam giác, ta kẻ được 1 đường phân giác của tam giác nên mỗi tam giác có 3 đường phân giác.
Phương pháp giải:
Gấp theo hướng dẫn
Lời giải:
Ba nếp gấp đi qua cùng một điểm.
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí về sự đồng quy của ba đường phân giác của tam giác.
Lời giải:
Xét tam giác ABC có 2 đường phân giác của tam giác cắt nhau điểm I nên đường phân giác còn lại của tam giác cũng đi qua điểm I ( tính chất đồng quy của 3 đường phân giác)
Vậy CI có là đường phân giác của góc C.
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất trong tam giác cân.
Lời giải:
Vì đều nên AB = AC = BC (tính chất tam giác đều)
Vì I là điểm cách đều 3 cạnh của tam giác nên là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABC
Áp dụng ví dụ 2, ta được, AI là đường trung tuyến của
Tương tự, ta cũng được BI, CI là đường trung tuyến của
Vậy I là giao điểm của ba đường đường trung tuyến của nên I là trọng tâm của .
Chú ý:
Với tam giác đều, giao điểm của 3 đường trung tuyến cũng là giao điểm của 3 đường phân giác.
Bài tập
BG = ? BN, CG = ? CP;
BG = ? GN, CG = ? GP.
Phương pháp giải:
+) Sử dụng định lí về sự đồng quy của ba đường trung tuyến của tam giác.
+) Quy tắc cộng đoạn thẳng.
Lời giải:
Vì G là trọng tâm của nên
Ta có: GN = BN – BG = BN - BN = BN; GP = CP – CG = CP - CP = CP
Do đó, BN = 3. GN ; CP = 3. GP
Như vậy,
Vậy ;
BG = 2GN; CG = 2GP.
Bài 9.21 trang 76 Toán lớp 7: Chứng minh rằng:
a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.
b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.
Phương pháp giải:
Xét các tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
Lời giải:
Gọi BM, CN là 2 đường trung tuyến của
MA = MC = AC; NA = NB = AB
Vì cân tại A nên AB = AC ( tính chất)
Do đó, AM = MC = NA = NB
Xét ANC và AMB, ta có:
AN = AM
chung
AC = AB
ANC = AMB (c.g.c)
NC = MB ( 2 cạnh tương ứng)
Vậy 2 đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên của tam giác cân là hai đoạn thẳng bằng nhau.
Vì có hai đường trung tuyến và cắt nhau ở
là trọng tâm của tam giác .
; ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác)
Mà (giả thiết) nên
Tam giác có nên cân tại .
(Tính chất tam giác cân).
Xét và có:
+) là cạnh chung
+) (giả thiết)
+) (chứng minh trên)
Suy ra (c.g.c)
(hai góc tương ứng).
cân tại (tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân)
Phương pháp giải:
Xét các tam giác bằng nhau, suy ra cặp góc tương ứng bằng nhau.
Lời giải:
Ta có: AM = bán kính đường tròn tâm A
BM = bán kính đường tròn tâm B
Mà 2 đường tròn này có bán kính bằng nhau
Do đó, AM = BM
Xét OAM và ONM có:
OA = OB( = bán kính đường tròn tâm O)
MA = MB
OM chung
OAM và ONM ( c.c.c)
( 2 góc tương ứng)
Mà OM nằm giữa 2 tia OA và OB
OM là tia phân giác của góc AOB.
Phương pháp giải:
Áp dụng tính chất tia phân giác của một góc và tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180 độ.
Lời giải:
Vì BI là tia phân giác của góc ABC nên
Vì CI là tia phân giác của góc ACB nên
Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có:
Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác BIC, ta có:
Vậy
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất của tam giác cân, xét 2 tam giác bằng nhau rồi chỉ ra 2 cạnh tương ứng bằng nhau.
Lời giải:
Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC; ( tính chất)
Vì BE là là tia phân giác của góc ABC nên
Vì CF là tia phân giác của góc ACB nên
Do đó,
Xét và , ta có:
chung
AB = AC
BE = CF ( 2 cạnh tương ứng)
a) Hãy giải thích tại sao DP = DR.
b) Hãy giải thích tại sao DP = DQ.
c) Từ câu a và b suy ra DR = DQ. Tại sao D nằm trên tia phân giác của góc A? ( Đây là một cách chứng minh định lí 2)
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc, xét 2 tam giác bằng nhau, suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.
Lời giải:
a) Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên
Vì CD là tia phân giác của góc ACB nên
Xét vuông tại P và vuông tại R, ta có:
BD chung
( cạnh huyền – góc nhọn)
DP = DR ( 2 cạnh tương ứng) (1)
b) Xét vuông tại P và vuông tại Q, ta có:
CD chung
( cạnh huyền – góc nhọn)
DP = DQ ( 2 cạnh tương ứng) (2)
c) Từ (1) và (2), ta được: DR = DQ ( cùng bằng DP).
D nằm trên tia phân giác của góc A do D cách đều AB và AC.
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác
1. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác
a) Đường trung tuyến của tam giác
Trong hình dưới đây, đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC.
b) Sự đồng quy của ba đường trung tuyến
Định lí 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (hay đồng quy tại một điểm). Điểm đó cách mổi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Ví dụ: Trong tam giác ABC có các đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại điểm G.
Ta có:
Chú ý: Điểm đồng quy của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác.
Ví dụ: Tam giác ABC có các đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại điểm G.
Khi đó, G được gọi là trọng tâm tam giác ABC.
2. Sự đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác
a) Đường phân giác của tam giác
Trong hình dưới đây, cho tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D thì đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC.
b) Sự đồng quy của ba đường phân giác
Định lí 2: Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
Ví dụ: Trong tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF đồng quy tại điểm O.
Ta có: OI = OJ = OK.