Với giải Bài 3 trang 63 Toán 12 Tập 1 Cánh diều chi tiết trong Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Bài 3 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính:

a) $\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\cdot \overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}};\overrightarrow{D^{\text{'}}A}\cdot \overrightarrow{BC}$ ;

b) Các góc $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}D},\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right);\left(\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}},\overrightarrow{BD}\right)$ .

Lời giải:

a)

Ta có: $\overrightarrow{A^{\text{'}}B}=\overrightarrow{D^{\text{'}}C}$.

Do đó, $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}C},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\widehat{C{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CDD'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{C{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=45°$ . Vậy $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=45°$ .

Ta có ,

Do đó,

Ta có: $\overrightarrow{D^{\text{'}}A}=\overrightarrow{C^{\text{'}}B}$. Do đó, $\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}A},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{C^{\text{'}}B},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{CB{C}^{\text{'}}}$.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{CB{C}^{\text{'}}}=45°$. Vậy $\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}A},\overrightarrow{BC}\right)=45°$ .

Ta có ,

Do đó,

b)

Ta có: $\overrightarrow{A^{\text{'}}D}=\overrightarrow{B^{\text{'}}C}$ .

Do đó, $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}D},\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{B^{\text{'}}C},\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\widehat{C{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{C{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=45°$ . Vậy $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}D},\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=45°$ .

Ta có: $\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{C}^{\text{'}}}$ .

Do đó, $\left(\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}},\overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{B{C}^{\text{'}}},\overrightarrow{BD}\right)=\widehat{C^{\text{'}}BD}$ .

Ta tính được BC' = BD = C'D = $a\sqrt{2}$ nên tam giác C'BD là tam giác đều.

Suy ra $\widehat{C^{\text{'}}BD}=60°$ .

Vậy $\left(\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}},\overrightarrow{BD}\right)=60°$ .